王翥 周炳海

(同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海201804)

制造單元是一種廣泛應(yīng)用于半導(dǎo)體、航空航天、光纖等制造行業(yè)的生產(chǎn)組織方式［1］．隨著制造單元的廣泛應(yīng)用，如何提高其生產(chǎn)效率受到了學(xué)術(shù)界和業(yè)界的關(guān)注．Sethi等［2］首次運(yùn)用解析法確定了2至3臺(tái)機(jī)器的制造單元中機(jī)械手動(dòng)作的最優(yōu)調(diào)度周期;Crama等［3］從分析調(diào)度周期出發(fā)，利用解析法求解了遞增移動(dòng)時(shí)間的制造單元的最優(yōu)調(diào)度周期;Dawande等［4］研究了機(jī)械手移動(dòng)時(shí)間為常數(shù)的制造單元，并構(gòu)造出任意數(shù)目機(jī)器的最優(yōu)調(diào)度周期;Geismar等［5］在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，又考慮了并行機(jī)的調(diào)度問題，給出了相應(yīng)的調(diào)度周期;針對(duì)多品種調(diào)度，Didem等［6］運(yùn)用兩階段啟發(fā)式算法解決了多品種、兩臺(tái)機(jī)器的制造單元的調(diào)度問題．

相對(duì)于單機(jī)械手的制造單元調(diào)度問題，多機(jī)械手制造單元的調(diào)度需考慮多個(gè)機(jī)械手之間的協(xié)作，其研究復(fù)雜性大大增加．目前，對(duì)于多機(jī)械手制造單元調(diào)度算法的研究還在起步階段．文獻(xiàn)［7－8］在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了三機(jī)械手、歐幾里得移動(dòng)時(shí)間的制造單元調(diào)度模型，并建立了最優(yōu)調(diào)度周期;文獻(xiàn)［9－10］分析了多個(gè)雙臂機(jī)械手的最優(yōu)調(diào)度方案并給出相應(yīng)的調(diào)度周期低界．上述文獻(xiàn)僅僅考慮了單一品種的工件在無駐留約束條件下的調(diào)度問題．對(duì)于多品種無駐留的制造單元的調(diào)度問題，Che等［11］提出了求解任意可行r級(jí)周期時(shí)間的機(jī)械手最小數(shù)目、最優(yōu)動(dòng)作順序的調(diào)度算法;在此基礎(chǔ)上，Che等［12］又將算法推廣．在考慮駐留約束的調(diào)度問題中，Rostami等［13］運(yùn)用搜索與規(guī)則相結(jié)合的方法，對(duì)單個(gè)帶有駐留約束的制造單元進(jìn)行了調(diào)度;Yoon等［14］運(yùn)用先搜索可行解空間，然后選擇最優(yōu)解的思路，解決了集束型設(shè)備的實(shí)時(shí)調(diào)度問題;劉明祥等［15］針對(duì)多品種工件的帶有駐留約束的集束型設(shè)備群的調(diào)度問題，提出了基于時(shí)間約束集的啟發(fā)式算法．

上述文獻(xiàn)中僅考慮了多品種或帶駐留約束的多機(jī)械手制造單元的調(diào)度問題，無法滿足實(shí)際生產(chǎn)需要．然而，目前還鮮有相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)同時(shí)包含多品種和駐留兩種約束的調(diào)度問題進(jìn)行研究．為了解決多品種、多機(jī)械手共享工作站的調(diào)度問題，文中在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，將駐留約束、機(jī)械手共享工作站約束引入多機(jī)械手制造單元調(diào)度的研究中，結(jié)合時(shí)間緩沖概念來解決帶駐留約束、共享工作站的機(jī)械手沖突等問題，建立調(diào)度模型，提出了基于瓶頸的制造單元的推拉式啟發(fā)式調(diào)度算法，并通過實(shí)例仿真對(duì)提出的算法進(jìn)行評(píng)估．

1 問題描述

多機(jī)械手制造單元由輸入緩沖、輸出緩沖、若干機(jī)械手和若干工作站組成，如圖1所示．工作站由一臺(tái)或多臺(tái)并行的機(jī)器組成，工件由輸入緩沖依次進(jìn)入各個(gè)工作站進(jìn)行加工，加工完成后從輸出緩沖搬離制造單元，機(jī)械手負(fù)責(zé)一個(gè)或幾個(gè)工作站間工件的搬運(yùn)、裝載、卸載任務(wù)．相鄰兩個(gè)機(jī)械手所負(fù)責(zé)的工作站的交集即為共享工作站，在機(jī)械手共享工作站上，由一個(gè)機(jī)械手負(fù)責(zé)該工作站上工件的裝載，另一個(gè)機(jī)械手負(fù)責(zé)該工作站上工件的卸載．

圖1 多機(jī)械手制造單元示意圖Fig．1 Configuration of multi－manipulator manufacturing cells

為了更加清楚地描述帶駐留約束的多機(jī)械手制造單元的調(diào)度問題，文中作如下假設(shè):①制造單元由K個(gè)相同的單臂機(jī)械手 Rk(k=1，2，…，K)組成，每個(gè)機(jī)械手一次僅能夠搬運(yùn)一件工件j(j=1，2，…，N)，且搬運(yùn)時(shí)間為常數(shù);②每個(gè)工作站Mi(i=1，2，…，M)僅有一臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器一次最多加工一件工件;③相鄰兩個(gè)機(jī)械手間有且僅有兩個(gè)共享工作站;④共享工作站處設(shè)置時(shí)間緩沖β，防止沖突;⑤工件在某一工作站上的駐留時(shí)間tri，j不得少于其加工時(shí)間tpi，，完成加工以后駐留時(shí)間不得超過該工作站所

j允許的最大駐留時(shí)間 Tri，j，輸入、輸出緩沖 BI、BO的最大駐留時(shí)間為無窮大;⑥每個(gè)工作站上工件加工完成后允許最大駐留時(shí)間不同，不同品種工件在同一工作站上的駐留約束可以不同;⑦工件被機(jī)械手卸載后，立即經(jīng)過搬運(yùn)，并裝載在目標(biāo)機(jī)器上，無等待現(xiàn)象;⑧工件允許跳過某一個(gè)或幾個(gè)工作站進(jìn)行加工;⑨不同種類的工件在各個(gè)工作站上的加工時(shí)間可以不同;⑩工件的加工時(shí)間遠(yuǎn)大于機(jī)械手的搬運(yùn)時(shí)間δ;○11工件一旦裝載于機(jī)器上就立即開始加工，無等待現(xiàn)象．

文中主要研究帶有駐留約束的、多品種、多機(jī)械手共享工作站的制造單元的調(diào)度問題，將運(yùn)用基于瓶頸的推拉式調(diào)度策略，有效地調(diào)度機(jī)械手動(dòng)作，達(dá)到系統(tǒng)Makespan最小的目的．具體目標(biāo)函數(shù)和約束條件如下所示．

目標(biāo)函數(shù):min Lrm+1，n

約束條件:

其中:j=1，2，…，Nj;ε表示機(jī)械手裝載、卸載工件的時(shí)間;Sri，j表示機(jī)械手將工件j在工作站i上卸載的時(shí)刻;Lri，j表示機(jī)械手將工件j裝載到工作站i上的時(shí)刻;Smi，j表示工件 j在工作站 i上開始加工的時(shí)刻;Lmi，j表示工件j在工作站i上完成加工的時(shí)刻;S(i)是用于判斷工作站i是否為共享工作站的函數(shù)，當(dāng)i為共享工作站時(shí)，S(i)取值為1，否則取值為0．

根據(jù)假設(shè)①，機(jī)械手每次僅能搬運(yùn)一個(gè)工件，機(jī)械手搬運(yùn)時(shí)間應(yīng)小于工件在工作站上的加工時(shí)間，于是可得式(1)．根據(jù)假設(shè)②，式(2)、(3)表示機(jī)械手對(duì)同一臺(tái)機(jī)器的兩次裝載時(shí)間間隔不得少于該工件在該工作站上的加工時(shí)間．式(4)、(6)表示共享工作站上工件卸載開始并經(jīng)過一段時(shí)間的緩沖后，前一工作站上的工件才能卸載并裝載在共享工作站上．式(5)表示工件在共享工作站上裝載后，為防止機(jī)械手沖突，負(fù)責(zé)該工作站的機(jī)械手卸載工件的最早時(shí)間．根據(jù)假設(shè)⑤和⑥，為保證工件的品質(zhì)，其在工作站上的加工時(shí)間必須滿足式(7)和(8)．式(9)表示工件在工作站上被卸載的時(shí)間為其自完成加工的時(shí)刻起，經(jīng)過駐留直至離開工作站的時(shí)刻．根據(jù)假設(shè)⑦，式(10)表示機(jī)械手搬運(yùn)動(dòng)作無等待現(xiàn)象．式(11)表示工件裝載完畢的時(shí)刻即為工件加工開始時(shí)刻．式(12)表示工件在工作站上自無中斷地對(duì)工件進(jìn)行加工直至加工完成．式(13)、(14)表示共享工作站上，相鄰機(jī)械手對(duì)共享工作站的動(dòng)作時(shí)間間隔不得少于時(shí)間緩沖．式(15)表示在非共享工作站上，一個(gè)工件加工完成后，經(jīng)卸載、搬運(yùn)、裝載在下一工作站上，然后機(jī)械手才能卸載下一片工件，并搬運(yùn)、裝載在這個(gè)非共享工作站上．

2 基于瓶頸的推拉式啟發(fā)式調(diào)度算法

在工作站總數(shù)為m，工件總數(shù)為N的情況下，通過計(jì)算，筆者提出了時(shí)間復(fù)雜度為O(m2N2)的算法．算法的核心思想為基于瓶頸的推拉式調(diào)度策略．以瓶頸工作站為界，首先運(yùn)用拉式的逐級(jí)回溯調(diào)度瓶頸以前的各級(jí)工作站，在滿足駐留約束的范圍內(nèi)通過左右滑動(dòng)時(shí)間塊，尋找最優(yōu)機(jī)械手動(dòng)作時(shí)間、最小化工件駐留時(shí)間，若無可行時(shí)間區(qū)間，則瓶頸工作站時(shí)間塊整體推遲一個(gè)單位，重新搜索機(jī)械手可行動(dòng)作組合和機(jī)器可行加工時(shí)間，直至完成瓶頸前工作站調(diào)度;然后，采用推式遞推調(diào)度瓶頸以后各級(jí)工作站直至輸出緩沖，完成工件在整個(gè)制造單元內(nèi)的調(diào)度．由于制造單元內(nèi)有多個(gè)機(jī)械手，機(jī)械手間有共享工作站存在，設(shè)置了時(shí)間緩沖，避免兩機(jī)械手在同一時(shí)間對(duì)共享工作站進(jìn)行操作而發(fā)生機(jī)械手沖突．

算法核心包括3個(gè)階段:①數(shù)據(jù)錄入(瓶頸識(shí)別，瓶頸工作站的調(diào)度);②順序逐級(jí)回溯(調(diào)度瓶頸以前工作站);③順序逐級(jí)遞推(調(diào)度瓶頸以后工作站)．

算法步驟具體描述如下:

步驟1 初始化各參數(shù)，當(dāng)前調(diào)度的工件為J．

步驟2 搜索工件J－1的瓶頸工作站I．

步驟3 判斷工作站I是否為共享工作站，計(jì)算SrI－1，J．

步驟4 若式(16)成立，按式(17)逐次疊加，直至式(18) 成立．若式(18) 成立，計(jì)算 LrI，J、SmI，J、LmI，J;用 Pi，j表示工件 j在工作站 1 到 i上的加工時(shí)間總和．

步驟5 判斷機(jī)械手是否空閑，取出卸載工作站I的機(jī)械手負(fù)責(zé)的所有工作站編號(hào)，代入式(19)判斷是否成立，若不成立，按式(17) 更新 SrI－1，J，直至式(19)成立;否則，讀取當(dāng)前各參數(shù)．其中 TRi，J表示機(jī)械手將當(dāng)前加工工件J從工作站i上卸載的時(shí)刻集．

步驟6 初始化參數(shù)w(實(shí)際駐留時(shí)間)、h(當(dāng)前被調(diào)度的工作站編號(hào))．

步驟7 判斷是否滿足駐留約束，如果滿足，繼續(xù)下一步;否則，若當(dāng)前工作站為共享工作站，則按式(17)更新 SrI－1，J，返回步驟 4，若為非共享工作站，則增加一單位駐留時(shí)間，返回步驟7．

步驟 8 計(jì)算 Lmh，J、Smh，J、Lrh，J、Srh－1，J．

步驟9 判斷機(jī)械手是否空閑，若機(jī)械手空閑，則繼續(xù)下一步;若機(jī)械手忙碌，則增加一單位駐留時(shí)間，返回步驟7．

步驟10 如果當(dāng)前工作站h為共享工作站，判斷是否滿足時(shí)間緩沖，如式(23)．如果不滿足時(shí)間緩沖，則增加一單位駐留時(shí)間;否則，記錄各參數(shù)．如果當(dāng)前工作站為非共享工作站，判斷其是否空閑，如式(24)．

步驟11 更新參數(shù)，判斷是否完成所有瓶頸前工作站的調(diào)度，如果已完成即進(jìn)入下一階段，否則返回步驟6．

步驟12 初始化參數(shù)w、h．

步驟13 判斷是否滿足駐留約束，若滿足，繼續(xù)下一步;否則:若當(dāng)前工作站為瓶頸工作站，則返回前一工作站，按式(17)更新 SrI－1，J，返回步驟 4．若當(dāng)前工作站為非瓶頸工作站，則增加一單位駐留時(shí)間，返回步驟13．

步驟 14 計(jì)算 Srh－1，J、Lrh，J、Smh，J．

步驟15 如果當(dāng)前工位h為共享工作站，判斷其是否滿足時(shí)間緩沖，如式(28)．若滿足時(shí)間緩沖，判斷機(jī)械手是否空閑，若機(jī)械手空閑，記錄各參數(shù);否則，增加一單位駐留時(shí)間，返回步驟13．如果當(dāng)前工作站為非共享工作站，判斷工作站是否繁忙，如式(29)，若繁忙，增加一單位駐留時(shí)間，并返回步驟13;否則，記錄各參數(shù)．

步驟16 更新參數(shù)，判斷是否完成瓶頸工作站以后的所有工作站的調(diào)度，若未完成，返回步驟12，否則計(jì)算結(jié)束，完成工件J的調(diào)度．

步驟17 算法結(jié)束．

上述步驟1－5屬第①階段，步驟6－11屬第②階段，步驟12－17屬第③階段．

3 實(shí)例

以圖2所示的2機(jī)械手、5工作站制造單元為例，運(yùn)用基于瓶頸的推拉式調(diào)度算法對(duì)其中6個(gè)不同種類的依次到達(dá)輸入緩沖的工件(分別用J1、J2、J3、J4、J5、J6表示)進(jìn)行調(diào)度，調(diào)度結(jié)果的甘特圖如圖3所示．

圖2 2機(jī)械手、5工作站制造單元示意圖Fig．2 Configuration of 5 workstation manufacturing cell with 2 manipulator

圖3 計(jì)算實(shí)例的甘特圖Fig．3 Gant chart of example

4 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

為了有效地評(píng)估文中提出的算法，進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并一一對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析．現(xiàn)引入幾個(gè)變量．

其中:Ct表示工件加工的周期時(shí)間;Rc表征算法因駐留約束而接近無駐留約束的調(diào)度算法的比率，此值越小，駐留時(shí)間越短，算法效果越好．

其中，Rr表征制造單元中機(jī)械手繁忙程度的函數(shù)，其值越大，說明機(jī)械手越繁忙，反之表明機(jī)械手越空閑．

采用C++語言實(shí)現(xiàn)了算法的仿真，仿真環(huán)境為主頻為2．53Hz，內(nèi)存2G的便攜式計(jì)算機(jī)．

4．1 加工時(shí)間對(duì)算法的影響

分析 m=5、K=2，m=8、K=2，m=12、K=4，m=18、K=3四種情況，采用基于瓶頸的算法的情況下，Pi，j分別服從方差為 0、1/16、1/8、1/4、1/2 倍均值的正態(tài)分布時(shí)與Rc值的關(guān)系如圖4所示．

圖4 加工時(shí)間對(duì)算法的影響Fig．4 Effect of producing time on algorithm

由圖4可知，當(dāng)工件的加工時(shí)間較均勻時(shí)，Rc較小，即運(yùn)用基于瓶頸的推拉式算法時(shí)，工件的駐留時(shí)間較短．當(dāng)加工時(shí)間的方差達(dá)到均值的1/2時(shí)，文中算法得出的結(jié)果略高于方差為0時(shí)的Rc，可見文中算法在調(diào)度加工時(shí)間差距懸殊的不同品種工件時(shí)，可以達(dá)到較好的效果．

4．2 運(yùn)行時(shí)間與工件數(shù)關(guān)系的分析

分析制造單元內(nèi) m=18、K=3、δ=5、ε =1 情形下的調(diào)度結(jié)果．工件在各個(gè)工作站上的加工時(shí)間服從均值為20至80、方差為均值的1/8的正態(tài)分布，駐留時(shí)間約束為常數(shù)Tres=50．仿真運(yùn)行結(jié)果如圖5所示．

圖5 算法運(yùn)行時(shí)間與工件數(shù)的關(guān)系Fig．5 Relationship between simulation time and number ofparts

從圖5可知，在工件數(shù)很小時(shí)，算法運(yùn)行時(shí)間幾乎為0．隨著工件數(shù)的增加，算法運(yùn)行時(shí)間近乎線性增長，但仍保持在6ms內(nèi)．

4．3 工件品種對(duì)算法精確度的影響

m=5、K=2、Pi，j服從均值為 20 至 80 且方差為1/8均值的正態(tài)分布、Tres=10時(shí)的調(diào)度仿真運(yùn)行結(jié)果如圖6所示．

由圖6可知，算法的運(yùn)行時(shí)間非常短，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析工具分析可知隨工件品種和數(shù)目的增加而呈五次多項(xiàng)式增長(R2為擬合系數(shù))．由此可見，文中算法可以做出快速反應(yīng)，適合于工件生產(chǎn)的實(shí)時(shí)調(diào)度．另一方面，隨著工件品種和數(shù)目的增長，Rc呈五次多項(xiàng)式增長，但最高值在1．4%以內(nèi)，說明運(yùn)用文中的算法可以減少駐留時(shí)間，提高機(jī)器利用率．

圖6 工件品種數(shù)與算法精度的關(guān)系Fig．6 Relationship between variety of parts and precision of algorithm

4．4 制造單元的對(duì)稱性對(duì)算法的影響

分析制造單元中m=12時(shí)的調(diào)度情況．分別取K=3，4，5，6，設(shè)備擺放的對(duì)稱性隨機(jī)械手?jǐn)?shù)目的增加而增加，仿真結(jié)果如圖7所示．

圖7 對(duì)稱性對(duì)算法的影響Fig．7 Effect of symmetry on algorithm

從圖7可知，機(jī)械手?jǐn)?shù)目的增加對(duì)算法的運(yùn)行時(shí)間幾乎沒有影響，Rc的結(jié)果也不受機(jī)械手?jǐn)?shù)目的影響．但是，隨著機(jī)械手?jǐn)?shù)目的增加，Rr呈線性減少，說明機(jī)械手的繁忙程度下降．

4．5 基于瓶頸的推拉式算法與拉式算法的比較

文中分別對(duì) m=5、K=2，m=8、K=2，m=12、K=4，m=18、K=3的情況進(jìn)行仿真，并對(duì)運(yùn)用拉式算法和基于瓶頸的推拉式算法在同一數(shù)據(jù)水平下的調(diào)度結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如圖8所示．仿真原始數(shù)據(jù)是基于呈正態(tài)分布的加工時(shí)間(均值為20至80、方差為1/2、1/4、1/8倍的均值)而隨機(jī)產(chǎn)生的，共9組，每組25件，以Rc為衡量指標(biāo)．

圖8 基于瓶頸的推拉式算法與拉式算法的比較Fig．8 Comparison of bottleneck－based push－pull algorithm and pull algorithm

由圖8可知，在同樣保證次品率為最小的條件下，隨著工位數(shù)目增加，文中所提出的基于瓶頸的推拉式算法效率累積提高程度高于拉式算法，即工位數(shù)目越多，基于瓶頸的推拉式算法的優(yōu)越性越明顯．

5 結(jié)論

對(duì)帶駐留約束的多機(jī)械手制造單元的調(diào)度算法進(jìn)行了研究，提出了一種基于瓶頸的推拉式啟發(fā)式調(diào)度算法．經(jīng)過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該算法可以實(shí)現(xiàn)多品種的調(diào)度，解決多機(jī)械手之間的沖突，提高設(shè)備的利用率．當(dāng)制造單元內(nèi)工作站對(duì)稱性設(shè)置出現(xiàn)變動(dòng)時(shí)，

此算法仍然能夠有效地解決機(jī)械手沖突，以及由于駐留約束產(chǎn)生的死鎖問題．文中提出的基于瓶頸的推拉式算法對(duì)于解決大規(guī)模的多機(jī)械手制造單元的調(diào)度問題具有指導(dǎo)意義，并且能有效提高生產(chǎn)率．

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