柳 萍 毛劍琴 張 偉 周克敏

(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京100191)(美國路易斯安那州立大學電氣工程與計算機系，巴屯魯日70803)

遲滯非線性系統(tǒng)是工程中廣泛存在的一類系統(tǒng).土木工程、電力工程和控制工程領域中都會遇到這類系統(tǒng).例如，當系統(tǒng)中有彈塑性構件或者存在干摩擦時，力與位移或者力與應變的關系不再是可逆的，從而形成滯后回線.當系統(tǒng)輸入信號的頻率發(fā)生變化時，滯后回線的形狀也隨之改變，即表現(xiàn)出率相關性，這樣的一類系統(tǒng)稱為率相關遲滯非線性系統(tǒng)［1］.

超磁致伸縮作動器(GMA，Giant Magnetostrictive Actuator)是一類典型的率相關遲滯非線性系統(tǒng).盡管其以高能量密度、快響應速度等優(yōu)勢在微位移與微定位系統(tǒng)控制中得到了廣泛關注，但其固有的率相關遲滯非線性較壓電等智能材料更為顯著，從而使得系統(tǒng)控制中會遇到難以獲得精確控制模型、系統(tǒng)穩(wěn)定性變差和需要增強抗干擾能力等難題.

目前率相關遲滯系統(tǒng)建模方法大致可分為3類:① 以改進的 Preisach 模型［2］、改進的 PI(Prandtl-Ishlinskii)模型［3］、廣義 PI模型［4］為代表的唯象模型，這類模型中參數(shù)沒有明確的物理意義，只是根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)進行建模;②以J-A(Jile-Atherton)模型、Duhem 模型［5］為代表的物理建模方法，這類方法是基于不同遲滯對象的物理機制，采用連續(xù)系統(tǒng)力學等方法描述遲滯行為;③基于各種智能方法的使用，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡［6］，模糊樹［7］等.有關遲滯非線性控制方法的研究也引起很多人的關注，一種比較有效的處理遲滯行為的方法就是先建立精確的非線性模型，再通過其逆模型進而抵消遲滯環(huán)［8］，另外還有學者也進行了反饋控制策略的研究，如自適應控制［9］、魯棒控制［10］以及最優(yōu)控制［11］等.

本文針對具有率相關遲滯非線性特性的GMA，建立了一定頻率范圍內的統(tǒng)一模型，設計了跟蹤控制策略且通過實驗進行了驗證.

1 率相關遲滯非線性模型

1.1 Hammerstein-like模型

通常實際工業(yè)過程都具有強烈的復雜非線性特征，找到一個能對非線性過程進行準確描述的模型不是很容易.在實際應用中，許多非線性系統(tǒng)都可以用靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)與線性子系統(tǒng)內連來模型化.因此文獻［12］提出了Hammerstein模型.

Hammerstein模型是一種模塊模型，由1個靜態(tài)無記憶非線性環(huán)節(jié)和1個動態(tài)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成［12］.對于某些復雜的非線性，標準Hammerstein模型已不能夠描述其特征.基于此，就有了Hammerstein-like模型，它與Hammerstein模型有著相同的模塊結構，其差別在于前面的非線性部分由原來的靜態(tài)變?yōu)榱藙討B(tài)，這樣的結構能夠描述更為廣泛的復雜非線性行為［13］.

針對率相關遲滯非線性模型，如果非線性部分仍保持靜態(tài)，整個模型的特征就不能得到很好地描述，故本文采用Hammerstein-like模型，圖1給出了模型構造.

圖1 率相關Hammerstein-like模型的結構圖

Hammerstein-like模型的辨識可以把前后兩個部分分別進行辨識.本文非線性部分采用最小二乘支持向量機(LS-SVM，Least Square Support Vector Machines)方法辨識，線性部分采用ARX(AutoRegressive eXogenous)模型.

1.2 用于辨識的LS-SVM

LS-SVM是支持向量機(SVM，Support Vector Machines)的一種改進算法.它使用二次損失函數(shù)代替SVM中的ε不敏感損失函數(shù)，并且將SVM算法中的不等式約束轉化為等式約束，最終將凸二次規(guī)劃問題轉化為求解線性方程組的問題，從而簡化了算法，進而加快了求解速度［14］.

給定一組數(shù)據(jù)集{xk，yk}Nk=1，其中輸入數(shù)據(jù)xk∈Rn，輸出數(shù)據(jù)yk∈R.在原始空間中模型為

其中，非線性映射φ(·):Rn→Rnh將訓練數(shù)據(jù)集映射到高維特征空間中，這樣原空間中的非線性回歸問題就可以轉化為特征空間中的線性回歸問題.ω∈Rnh為權重向量，b∈R為偏差.在特征空間中得到下面的最優(yōu)問題:

其中，γ∈R+為模型泛化能力和精度之間的一個折中參數(shù).

構建上述優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù):

其中，αk為拉格朗日因子.根據(jù)最優(yōu)性條件，分別求取偏微分，可得

整理方程組，消去變量ω和e，可得到以下矩陣:

其中，α=［α ，α ，…，α ］T為支持向量;1=［1，

12NN1，…，1］T;y=［y1，y2，…，yN］T.核之積可以寫為

其中，K為核函數(shù).引入核函數(shù)的目的是為了避免非線性映射φ(·)的大量乘積運算.在核函數(shù)的選擇上，徑向基核函數(shù)因其有很好的性能而被大多數(shù)人采用:

其中，σ為核寬度;‖·‖為歐氏距離.這樣整個LS-SVM模型就可以寫成如下形式:

其中，αk和b為線性系統(tǒng)(5)的解.另外，在以上過程中并沒有給出參數(shù)γ和σ的求解過程，這兩個參數(shù)是需要人為確定的.

1.3 LS-SVM參數(shù)辨識

微粒群算法(PSO，Particle Swarm Optimization)是1995年開發(fā)的一種演化計算技術，其基本思想是利用群體中的個體對信息的共享，使整個群體的運動在問題解空間中產(chǎn)生從無序到有序的演化過程，從而獲得最優(yōu)解［15］.

由于PSO具有概念簡單、實現(xiàn)容易等優(yōu)點，因此，本文就采用此算法來確定LS-SVM中的兩個參數(shù)γ和σ.在PSO算法中，LS-SVM的兩個參數(shù)就變成了兩個微粒，其尋優(yōu)過程可見圖2.

1.4 建 模

本文所建立的Hammerstein-like模型不僅對單頻輸入信號遲滯環(huán)適用，也對復合頻率輸入信號的遲滯環(huán)適用.因為復合頻率更能夠激發(fā)作動器的頻率特性，所以復合頻率輸入信號所激勵的遲滯環(huán)會更復雜，這對建模要求更高.

圖2 應用PSO調節(jié)LS-SVM參數(shù)的流程圖

遲滯非線性的典型特征是其具有非局部記憶性和多值映射性.因為LS-SVM方法不能直接對多值映射進行建模，所以需要把多值映射轉化成單值映射，同時為了體現(xiàn)遲滯非線性的非局部記憶性，引入了一個動態(tài)離散的非線性模型［16］:

其中，x(k)和y(k)分別為系統(tǒng)在k時刻的輸入輸出;y^(k+1)為模型在k+1時刻的預測輸出;m和n為輸入輸出的動態(tài)階數(shù).式(9)表示的動態(tài)模型的輸入向量由于包含了歷史時刻的輸入輸出，實際上隱含了作動器從一個狀態(tài)到達另一個狀態(tài)的過程信息，因而可以唯一地確定當前時刻的輸出.

Hammerstein-like模型線性部分L可以寫為

其中，A(z)與 B(z)為滯后算子 z－1的多項式，z－1y(t)=y(t－1):

其中，q和p分別為多項式A(z)和B(z)的階數(shù).而q和p的值是基于一種實用的判定模型階次的AIC(Akaike Information Criterion)準則確定的.

應用以上模型參數(shù)辨識方法，可以得到整個Hammerstein-like模型的幾個關鍵參數(shù)，σ=632.41，γ=3278612.52，m=4，n=4，p=2，q=2.

式(9)描述的是GMA遲滯曲線的非線性部分，式(10)描述的是曲線的動態(tài)頻率變化信息.本文基于LS-SVM應用1Hz變幅值單頻輸入信號的數(shù)據(jù)去建Hammerstein-like模型的前面非線性部分;基于ARX用1 Hz到100 Hz的掃描信號數(shù)據(jù)去建后面線性動態(tài)部分的模型;使用1 Hz到100 Hz的單頻信號和復合頻率信號的遲滯環(huán)去檢驗Hammerstein-like模型的建模效果.

實驗中使用的GMA是由北京航空航天大學材料科學與工程學院研制的［17］.實驗數(shù)據(jù)的采樣頻率是10 kHz.每組頻率都取500組數(shù)據(jù)作為檢驗數(shù)據(jù)，(xi，yi)，i=1，2，…，500.檢驗效果可以通過均方根誤差(RMSE，Root Mean Square Error)和相對誤差(RE，Relative Error)進行評價，定義為

其中，N為數(shù)據(jù)個數(shù);yi為實驗采集的GMA的實際輸出;y'i為模型計算的輸出.圖3中給出了兩組單頻和復合頻率的實驗采集的遲滯環(huán)和通過Hammerstein-like模型計算出的遲滯環(huán)的對比情況.表1給出了Hammerstein-like模型在不同輸入信號頻率下建模的均方根誤差和相對誤差.

圖3 Hammerstein-like建模結果與實驗采集數(shù)據(jù)對比

表1 Hammerstein-like建模誤差

通過圖3和表1看出，所建Hammerstein-like模型不僅對單頻遲滯環(huán)的檢驗效果好，而且還能夠適用于復合頻率的遲滯環(huán).此種建模方法只需要建立一個頻率的遲滯非線性模型，即基于LSSVM所建立的1 Hz遲滯非線性模型，而率相關性是通過Hammerstein-like模型后面的線性部分來實現(xiàn).這種建模方法為一定頻率范圍的遲滯環(huán)建模提供了一種新的思路.

2 跟蹤控制

2.1 控制器設計

為了提高跟蹤控制精度，文中采用了前饋逆補償與PID(Proportional-Integral-Derivative)反饋控制相結合的二自由度控制策略(圖4)，這樣既可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性又可以提高對輸入信號的跟蹤性能.

圖4 跟蹤控制框圖

在所建的Hammerstein-like模型中，有

因為L為嚴格正則的，故不能直接求逆，取一個近似逆:

Hammerstein-like模型中的非線性部分是基于式(9)建立的，要求取它的逆模型，首先要考慮它的可逆性.對于式(9)所示的非線性系統(tǒng)，若存在一個 Rm+n+1的子集 A，當［x(k－1)，…，x(k－m);y(k)…，y(k－n)］T∈A時，如果對于任意兩個不同輸入x1(k)和x2(k)，都有

成立，則系統(tǒng)在［x(k－1)，…，x(k－m);y(k)，…，y(k－n)］T處是可逆的［18］.從遲滯環(huán)曲線中很明顯看出，可逆性的條件是成立的，所以可建立非線性部分的逆模型為

本文所設計的控制器對單頻和復合頻率輸入信號具有通用性.

2.2 跟蹤控制實驗

圖5中給出了做控制實驗時的設備圖.其中，GMA的外形規(guī)格為φ50 mm×200 mm，GF-20型功率放大器用來為GMA提供放大能源，控制程序下載于dSPACE(DS1103)控制卡中，并同時實現(xiàn)輸入輸出信號的采集功能，GMA的輸出位移由電渦流傳感器測出的.

圖5 實驗設備圖

在實驗過程中有兩點需要注意:①由于GMA的輸出受到功放的限制，所以導致輸入?yún)⒖夹盘柕姆狄灿邢拗?，而這個限制范圍就需要在建模時測出;②所設計的控制器的PID反饋部分的參數(shù)是通過仿真先獲得的，然后再把仿真所得到的PID控制器參數(shù)應用到實驗中.

圖6 實時跟蹤控制結果

圖6中給出了兩組單頻和復合頻率的跟蹤效果對比圖.跟蹤控制的采樣頻率和建模采樣頻率是一致的.表2詳細地給出了多種頻率輸入信號跟蹤控制的均方根誤差和相對誤差.

表2 跟蹤控制誤差

從圖6和表2的數(shù)據(jù)可以看出，所涉及的復合控制器的控制效果是很好的，控制器對單頻和復合頻率的輸入信號均有效，保證了相對誤差都在12%以內，達到了工程上的要求.

3 結論

本文針對具有率相關遲滯非線性的GMA建立了一定頻率范圍內的統(tǒng)一模型，并基于此模型設計了跟蹤控制器，模型和控制器對單頻和復合頻率的輸入信號都具有適用性，通過實驗驗證了所建模型和所設計控制器的有效性.

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