李樹山，高丹盈，解 偉

（1.華北水利水電學(xué)院 土木與交通學(xué)院，鄭州450011；2.鄭州大學(xué) 新型建材與結(jié)構(gòu)研究中心，鄭州450002）

國際上現(xiàn)行混凝土設(shè)計規(guī)范中，鋼筋混凝土梁在受彎、剪、扭等荷載作用下，結(jié)構(gòu)設(shè)計采用了桁架模型理論。但是基于標(biāo)準(zhǔn)桁架模型的設(shè)計只適宜于結(jié)構(gòu)的普通部分。在幾何或荷載的不連讀區(qū)域，如集中力作用點、孔洞周圍、框架節(jié)點、支托等，桁架模型就不適用，這些部位一般只能根據(jù)試驗或憑經(jīng)驗設(shè)計。為了使結(jié)構(gòu)的所有部分都按照有依據(jù)的和協(xié)調(diào)一致的設(shè)計思想來設(shè)計，從桁架模型推廣發(fā)展而來的拉壓桿模型（strut－and－tie model）的方法逐漸成熟而被推薦應(yīng)用［1］。拉壓桿模型由節(jié)點、壓桿和拉桿組成，可按結(jié)構(gòu)的彈性主應(yīng)力跡線建模，充分發(fā)揮了桁架軸力計算的簡便［2］。根據(jù)截面的特性和受力情況，截面可分為B區(qū)（B表示梁或伯努利）和D區(qū)（D表示不連續(xù)、擾亂）［3］。實踐表明，拉壓桿模型用于D區(qū)的計算具有相當(dāng)好的工程精度［4－11］。根據(jù)美國規(guī)范ACI 318－08［12］，介紹了拉壓桿模型的設(shè)計計算方法，并根據(jù)中國規(guī)范GB 50010－2010［13］的設(shè)計表達式，建議了采用國內(nèi)規(guī)范參數(shù)表達的牛腿結(jié)構(gòu)承載力的拉壓桿模型計算公式，并進行了安全度分析。

1 拉壓桿模型介紹

圖1為深梁結(jié)構(gòu)的拉壓桿模型，由壓桿、拉桿和節(jié)點組成。拉壓桿模型以塑性理論為基礎(chǔ)［1］，拉桿代表鋼筋的作用，壓桿代表受壓混凝土的作用。拉桿和壓桿軸力可通過節(jié)點平衡法或截面法等方法求得。下面根據(jù)ACI 318－08規(guī)范，對拉壓桿模型的組成及設(shè)計表達式進行介紹。

圖1 深梁結(jié)構(gòu)的拉壓桿模型

1.1 節(jié)點

拉壓桿模型連接處的點，作用有拉壓桿的軸力和作用于交點處的集中力，稱之為節(jié)點，如圖2所示，圖2（a）顯示一個C－C－C節(jié)點模型，即3面受壓的節(jié)點。節(jié)點周圍的混凝土假定為可以通過節(jié)點傳遞拉壓力，稱之為節(jié)點區(qū)。按傳統(tǒng)做法，采用流體靜力學(xué)的節(jié)點區(qū)域，如圖3所示。流體靜力學(xué)節(jié)點區(qū)域含有垂直于作用于節(jié)點處的桿軸線的承載面，并在承載面上受均部力。如果節(jié)點區(qū)表面的壓力等于3個壓桿中的合力，節(jié)點區(qū)域3邊的長度比例wn1∶wn2∶wn3的值應(yīng)與C1∶C2∶C3的值相同。流體靜力學(xué)節(jié)點區(qū)域表面垂直于作用于節(jié)點處的桿軸線。這些節(jié)點區(qū)被稱為流體靜力學(xué)節(jié)點區(qū)的原因是同一平面內(nèi)的作用力在任何方向的作用都是相同的。嚴(yán)格來說，這一術(shù)語是不正確的，因為同一平面內(nèi)的作用力并不等效于非同一平面的作用力。

節(jié)點區(qū)標(biāo)準(zhǔn)抗壓強度Fnn

式中：fce為節(jié)點區(qū)混凝土的有效抗壓強度。ACI318－08規(guī)定，除采用被實驗分析研究驗證的約束鋼筋，拉壓桿模型中節(jié)點區(qū)的任意表面積有效抗壓強度不應(yīng)超過下述規(guī)定：

其中：βn可按表1規(guī)定取值；f′c為美國規(guī)范中圓柱體混凝土的抗壓強度設(shè)計值；Anz為節(jié)點區(qū)垂直于拉桿或壓桿的截面面積。

圖2 節(jié)點類型

圖3 節(jié)點區(qū)示意圖

1.2 壓桿

在設(shè)計中，壓桿通常被簡化為等截面的壓縮構(gòu)件，若壓桿兩端節(jié)點區(qū)強度不同或有不同的支撐長度引起兩端抗壓強度fce不同時，壓桿可簡化為一均勻的變截面壓縮構(gòu)件。

無縱向鋼筋的壓桿標(biāo)準(zhǔn)強度應(yīng)取壓桿兩端較小的Fns，

式中：Acs為壓桿端部橫截面積，計算Acs時所取的壓桿寬度Ws，應(yīng)為壓桿兩端垂直于主軸方向的較小者。壓桿寬度示意圖見圖2（a）。在二維結(jié)構(gòu)中，如牛腿，壓桿厚度可取為構(gòu)件寬度。fce為壓桿或節(jié)點區(qū)混凝土有效抗壓強度中的較小值。其中，壓桿混凝土有效抗壓強度fce取

式中：βs按照表1取值；f′c為美國規(guī)范中的圓柱體混凝土的抗壓強度設(shè)計值。

表1 ACI 318－08規(guī)定的壓桿和節(jié)點有效抗壓強度

1.3 拉桿

拉桿由鋼筋或預(yù)應(yīng)力筋及外包混凝土組成。外包混凝土也包括以上定義的用于拉壓桿力錨固的節(jié)點區(qū)混凝土部分，拉桿中混凝土不參與拉桿受力。盡管在設(shè)計中不予考慮，外包的混凝土卻能夠減少荷載作用下特別是工作荷載作用下的拉桿延長率。

拉桿標(biāo)準(zhǔn)強度Fnt為

其中：（fse＋Δfp）≤ftp，對非預(yù)應(yīng)力構(gòu)件Atp＝0。采用有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋時，Δfp＝420MPa，采用無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力筋時，Δfp＝70MPa，其余情況可根據(jù)實驗分析確定。

拉壓桿模型中拉桿主軸方向應(yīng)與拉桿中鋼筋主軸方向重合。設(shè)計拉桿有效寬度Wt時，可根據(jù)受拉鋼筋的分布，采用以下規(guī)定：1）若拉桿配置單層鋼筋，拉桿有效寬度取5倍鋼筋直徑，見圖4（a）；2）拉桿寬度的最大值可取為與節(jié)點區(qū)相對應(yīng)的寬度：

其中：fce為節(jié)點區(qū)混凝土有效抗壓強度值。若拉桿寬度超過（1）計算值，拉桿鋼筋應(yīng)均勻分布在拉桿寬度和厚度范圍內(nèi)，見圖4（b）。

1.4 拉壓桿模型設(shè)計步驟

拉壓桿模型能夠簡化為桁架模型，應(yīng)能將設(shè)計極限荷載轉(zhuǎn)移至支座或相鄰的B區(qū)域。結(jié)構(gòu)構(gòu)件中D區(qū)域的設(shè)計主要包括以下4個步驟：1）定義并規(guī)定D區(qū)域范圍。2）計算D區(qū)域所有邊界上所受合力。3）選擇合理的桁架模型承受D區(qū)域所受合力。拉桿和壓桿的主軸應(yīng)分別近似的與壓縮和張拉區(qū)域主軸重合。計算拉桿和壓桿受力。4）應(yīng)用第3）步計算出的各桿件受力與有效混凝土強度，計算壓桿和節(jié)點區(qū)的有效寬。應(yīng)用拉桿區(qū)鋼筋強度計算拉桿鋼筋用量。

2 建議的拉壓桿模型設(shè)計方法

2.1 設(shè)計表達式

美國規(guī)范ACI 318－08中承載力設(shè)計表達式不同于中國規(guī)范GB 50010－2010，美國規(guī)范中Fu相當(dāng)于中國規(guī)范的荷載效應(yīng)設(shè)計值，φFn相當(dāng)于中國規(guī)范的抗力設(shè)計值。因此，在進行拉壓桿模型設(shè)計時，應(yīng)考慮兩國規(guī)范設(shè)計表達式的差異性，進行必要轉(zhuǎn)換。

圖4 鋼筋層數(shù)對拉桿有效寬度的影響

根據(jù)中國規(guī)范規(guī)定，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)承載能力極限狀態(tài)的設(shè)計應(yīng)滿足下式要求：

式中：S為承載能力極限狀態(tài)的作用組合的效應(yīng)設(shè)計值；R（＊）為結(jié)構(gòu)構(gòu)件的抗力設(shè)計值；γ0是結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)；fc、fs為材料強度設(shè)計值；ak為構(gòu)件幾何參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)值。

2.2 荷載效應(yīng)

GB50010－2010采用以可靠度為基礎(chǔ)的分項系數(shù)設(shè)計法，荷載設(shè)計值為分項系數(shù)乘以效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)值。ACI318－08規(guī)范采用基于可靠度的荷載系數(shù)，乘系數(shù)的荷載相當(dāng)于中國規(guī)范的荷載設(shè)計值［14］。因此，在參考ACI 318－08規(guī)范進行拉壓桿模型進行設(shè)計時，荷載效應(yīng)采用荷載效應(yīng)設(shè)計值。

2.3 壓桿和節(jié)點區(qū)的受壓承載力

對于壓桿和節(jié)點區(qū)，其承載力主要取決于混凝土抗壓強度，根據(jù)文獻［15］的研究，φ×0.85f′c與中國規(guī)范中的fc相近似，因此壓桿和節(jié)點區(qū)的承載力計算公式可直接套用ACI 318－08規(guī)范公式，僅將其用GB 50010－2010規(guī)范中的符號表示。

按式（4）和（5），壓桿乘系數(shù)的強度按下式計算

因此，對于式（9）采用中國規(guī)范的符號表示，壓桿的受壓承載力Nsu為

式中：折減系數(shù)φ＝0.75；fc為中國規(guī)范中的混凝土抗壓強度設(shè)計值；βs按表1取值。

按照式（2）和（3），節(jié)點區(qū)乘系數(shù)的強度按下式計算

因此，對于式（11）采用中國規(guī)范的符號表示，節(jié)點區(qū)承載力Nnu為

式中：折減系數(shù)φ＝0.75；fc為中國規(guī)范中的混凝土抗壓強度設(shè)計值；βn按表1取值。

2.4 拉桿的受拉承載力

按式（6），拉桿乘系數(shù)的強度按下式計算

式中的fy是ACI318－08規(guī)范中的鋼筋屈服強度規(guī)定值。

ACI318－08中抗力折減系數(shù)φ相當(dāng)于GB 50010－2010規(guī)范中抗力分項系數(shù)γR的倒數(shù)，即由于ACI 318－08規(guī)范認(rèn)為“D區(qū)”受剪破壞均為脆性破壞，故其拉壓桿模型中壓桿、拉桿或節(jié)點區(qū)的承載力計算統(tǒng)一取φ＝0.75。對于拉桿，其承載力主要取決于鋼筋受拉強度，因與ACI318－08規(guī)范的φ＝0.75相差較大，故在抗拉承載力設(shè)計中引入抗力折減系數(shù)φ1介于0.82和0.9之間，近似取φ1＝0.85。

因此，對于公式（13）采用中國規(guī)范的符號表示，即拉桿的受拉承載力

式中：fy是GB 50010－2010規(guī)范中鋼筋屈服強度設(shè)計值，與公式（13）中的概念fy不同。

2.5 安全度分析

針對鋼筋混凝土牛腿結(jié)構(gòu)，采用文中建議的拉壓桿模型設(shè)計方法時，在GB 50010－2010規(guī)范中恒荷載、活荷載標(biāo)準(zhǔn)值、普通鋼筋、預(yù)應(yīng)力鋼筋強度標(biāo)準(zhǔn)值與ACI 318－08規(guī)范中恒荷載、活荷載名義值、普通鋼筋、預(yù)應(yīng)力鋼筋強度規(guī)定值相同的前提下，由于按GB 50010－2010規(guī)范計算的荷載效應(yīng)小于ACI 318－08規(guī)范，但抗力設(shè)計值也小于ACI 318－08規(guī)范，因此，按文中方法設(shè)計的壓桿安全度水平與按ACI 318－08規(guī)范方法大體相當(dāng)；而按本文方法設(shè)計的拉桿和節(jié)點的安全度水平較按美國規(guī)范方法低，但仍與GB 50010－2010規(guī)范安全度水平相當(dāng)。

3 算例

如圖6所示的牛腿結(jié)構(gòu)。承受的集中永久荷載GK＝500kN，可變荷載QK＝250kN。采用拉壓桿模型方法對牛腿構(gòu)件進行設(shè)計。

圖5 牛腿結(jié)構(gòu)尺寸

圖6 牛腿結(jié)構(gòu)拉壓桿模型

解：混凝土強度等級為C50，fc＝23.1N／mm2；縱向受力鋼筋選用 HRB500級，fy＝435N／mm2，箍筋采用HRB335級，fyv＝300N／mm2，Es＝2.1×105N／mm2。保護層厚度c＝40mm。豎向荷載設(shè)計值V＝1.2GK＋1.4QK＝1.2×500＋1.4×250＝950kN，根據(jù)已有研究，承受的水平荷載設(shè)計值可取為N＝0.2V＝190kN。

1）加載處承壓板尺寸驗算

支座承壓板取為600mm×150mm×20mm。承壓板面積Ac＝600×150＝90 000mm2。

2）建立拉壓桿模型，進行內(nèi)力和尺寸估算

建立如圖6所示的拉壓桿模型。假定拉桿AB的中心距離牛腿上表面50mm。因此，h0＝800－50＝750mm。

根據(jù)計算的寬度a1確定壓桿CE中心的位置。根據(jù)力的平衡，NCE＝950kN。

通過靜力分析求得的拉壓桿模型中各桿件的內(nèi)力如表2所示，正號表示受拉，負(fù)號表示受壓。

表2 靜力分析得到的拉壓桿內(nèi)力

3）拉桿設(shè)計

拉桿AB所需要的鋼筋面積

選取8D16鋼筋，面積為1 608mm。

4）節(jié)點區(qū)設(shè)計和錨固驗算

為了錨固拉桿AB，采用端部焊接鋼筋。為了滿足節(jié)點區(qū)極限應(yīng)力，拉筋必須埋入混凝土的有效高度至少為

實際節(jié)點區(qū)高度為100mm，滿足要求。

5）壓桿驗算

首先計算壓桿寬度，然后驗算這一寬度是否符合實際空間要求。

斜壓桿AC極限應(yīng)力下的寬度要求

如圖6所示，斜壓桿寬度符合牛腿區(qū)的外形尺寸。因此，可以接受這一方案。

6）裂縫控制要求的最小配筋

對于斜壓桿，為使βs取為0.75，箍筋最小配筋必須滿足另外，規(guī)范要求閉合箍筋在拉桿AB鄰近處的2／3有效高度范圍內(nèi)均為布置，即2／3×750＝500mm。這些箍筋的面積必須大于0.5（As－An），其中An為抵抗水平拉力的鋼筋面積。因此，所需最小面積為0.5（As－An）＝0.5

取用8－B10的閉合箍筋，平均間距為500／8＝62.5mm。

這一鋼筋量滿足二者的要求，配置箍筋為B10＠62.5，保護層厚度為30mm。

4 結(jié) 語

中國混凝土設(shè)計規(guī)范中關(guān)于牛腿的設(shè)計方法，都是根據(jù)試驗回歸統(tǒng)計而來，缺少理論模型的支持，而拉壓桿模型能夠較好地解決“D區(qū)”的受力問題。筆者根據(jù)ACI 318－08規(guī)范，采用GB 50010－2010規(guī)范設(shè)計參數(shù)，提出了適用于中國規(guī)范中牛腿結(jié)構(gòu)的拉壓桿設(shè)計方法。算例分析表明，該方法具有受力機理明確、概念清晰的特點，設(shè)計過程易于理解與掌握，便于設(shè)計人員靈活掌握牛腿結(jié)構(gòu)設(shè)計。

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