章 敏

(安徽建筑大學(xué) 數(shù)理系，安徽 合肥 230022)

1 經(jīng)典多普勒效應(yīng)

1.1 波源靜止，觀測者運(yùn)動

波在介質(zhì)的速度為u，波源靜止，觀測者在介質(zhì)的速度為v觀，波相對于觀測者的速度為u+v觀，觀測者接收的頻率為

1.2 波源運(yùn)動，觀測者靜止

波在介質(zhì)的速度為u，但由于波源的運(yùn)動，波長速短了λ-v源T。具體解釋如下：當(dāng)波源靜止時，前后相鄰兩個等相面間的距離為λ，但當(dāng)波源運(yùn)動時，前一個等相面自波源出發(fā)后，就以速度v源行進(jìn)，在后一個等相面自波源出發(fā)時，波源已向前移動了v源T，這時兩個等相面間的距離為λ-v源T，及波長變?yōu)棣?v源T。觀測者接收的頻率為

1.3 波源運(yùn)動，觀測者運(yùn)動

如果波源和觀測者遠(yuǎn)動方向在同一直線上，結(jié)合前兩者的結(jié)論，觀測者接收的頻率為

如果波源和觀測者遠(yuǎn)動方向不在同一直線上，那么情況更加復(fù)雜。可以將波源和觀測者速度沿著某一方向進(jìn)行分解，波源和觀測者速度在這個方向上的夾角分別是α和β，觀測者接收的頻率為

對該結(jié)論進(jìn)行討論可得出以下結(jié)果：1)v源和v觀在連線上運(yùn)動，α=0，β=0，(1-4)式即化簡為(1-3)式，即所說的縱向多普勒效應(yīng)。而一般情況下v源和v觀不變，α，β是隨時間變化的，因此，γ'是時間的函數(shù)。2)當(dāng) u=v源，γ'=γ

的頻率與源與觀測者的相對速度有關(guān)。

2 相對論多普勒效應(yīng)

電磁波的速度在相同環(huán)境下傳播速度是相同的，電磁波的傳播速度等于光速，即γλ=c。對不同的參考系測得的波的頻率和波長的乘積相同但頻率和波長卻不同。

我們?nèi)∠鄬庠挫o止的參考系為S系，相對于觀察者靜止的參考系為S'系，如圖。設(shè)光源位于S系的O點(diǎn)上，S系相對于S'系以速度v沿x正方向運(yùn)動。相對于S系，在某一時刻t，光源發(fā)出某一相位的等相面，經(jīng)過時間光源又發(fā)出同一相位的等相面，用相對論語言就是：在S系的O點(diǎn)處，發(fā)生了兩個事件，且時間間隔為如圖。

對于S'系：第一個等相面發(fā)出的時刻為

第二個等相面發(fā)出的時刻為

第一個等相面發(fā)出的坐標(biāo)為

第二個等相面發(fā)出的時刻為：

因此，兩個等相面的時間間隔為：

則觀察者接收的頻率為：

對該結(jié)論進(jìn)行討論可得出以下結(jié)果：1)觀測者在相對運(yùn)動方向上，即即所說的縱向多普勒效應(yīng)。2)觀測者垂直于相對運(yùn)動方向上，即即所說的橫向多普勒效應(yīng)。3)相對論多普勒效應(yīng)只與源與觀測者相對運(yùn)動有關(guān)。4)當(dāng)與經(jīng)典情況下的結(jié)論一致，所以經(jīng)典理論和與相對論理論解釋多普勒效應(yīng)是自洽的。

3 結(jié)語

綜上所述，運(yùn)用經(jīng)典理論和相對論理論，得出多普勒效應(yīng)的兩種不同表達(dá)形式。通過分析可得出以下結(jié)論：1.經(jīng)典多普勒效應(yīng)與源運(yùn)動和觀測者運(yùn)動都有關(guān)，且后兩者運(yùn)動產(chǎn)生多普勒效應(yīng)的機(jī)制也不同;而相對論多普勒效應(yīng)只與源與觀測者相對運(yùn)動有關(guān)。2.在經(jīng)典多普勒效應(yīng)中，只考慮縱向多普勒效應(yīng);而相對論多普勒效應(yīng)，不僅有縱向多普勒效應(yīng)，也有橫向多普勒效應(yīng)。3.兩種理論分別適用于多普勒效應(yīng)的低速源、高速源，在極端情況下，兩者的結(jié)論是一致的。

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