云 迪，劉 賀，張素梅

（1.吉林建筑工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130118；2.吉林農(nóng)業(yè)工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 四平 136001；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090）

0 引 言

自我國(guó)于1990年首次將鋼管混凝土作為拱肋用于公路橋梁建設(shè)以來(lái)，鋼管混凝土拱橋發(fā)展迅猛，2000年后鋼管混凝土拱橋超越鋼筋混凝土拱橋和鋼拱橋成為中國(guó)修建數(shù)量最多的拱橋橋型。已建成的跨徑在百米以上的鋼管混凝土拱橋占56.3%，即已有的鋼管混凝土拱橋多屬于大跨徑橋梁［1］。

鋼管混凝土拱橋較大的跨寬比、較小的構(gòu)件截面尺寸、良好的面內(nèi)整體性等特點(diǎn)使其面外剛度相對(duì)較弱。為了提高鋼管混凝土拱橋的面外剛度，改善其結(jié)構(gòu)性能，對(duì)橋型及結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了研究，提出了提籃拱、鋼管－鋼管混凝土復(fù)合拱、單肋斜撐拱等新橋型，確定了拱肋矢跨比、拱肋截面、橫撐布置等影響拱橋橫向剛度的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)。對(duì)上述結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行研究時(shí)，動(dòng)力特性分析以其快速直觀的特點(diǎn)得到重點(diǎn)研究，自振頻率及振型作為動(dòng)力特性分析的重要指標(biāo)被廣泛用于評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)參數(shù)取值的合理性［2-5］。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)原理，結(jié)構(gòu)自振特性僅與結(jié)構(gòu)彈性剛度矩陣和質(zhì)量矩陣有關(guān)，而結(jié)構(gòu)在外荷載作用下剛度降低，結(jié)構(gòu)剛度矩陣發(fā)生變化，僅依據(jù)自振特性分析結(jié)果評(píng)定結(jié)構(gòu)參數(shù)取值的合理性欠妥。研究鋼管混凝土拱橋穩(wěn)定性的一個(gè)常用方法是非線性穩(wěn)定分析，該方法基于實(shí)際構(gòu)件的失穩(wěn)屬于二類(lèi)穩(wěn)定問(wèn)題，即極值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題，分析過(guò)程中綜合考慮結(jié)構(gòu)幾何非線性與材料非線性的雙重影響，可以更精確地定量反映結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性。由于該方法較彈性分析復(fù)雜費(fèi)時(shí)，一般僅用于研究幾何非線性和材料非線性對(duì)成橋穩(wěn)定性的影響程度或研究不同拱肋模型對(duì)成橋穩(wěn)定性的影響，很少用于結(jié)構(gòu)參數(shù)的討論［6-7］。

為彌補(bǔ)自振特性分析無(wú)法考慮荷載工況對(duì)結(jié)構(gòu)剛度矩陣的影響，利用彈性穩(wěn)定性分析快速省時(shí)的優(yōu)點(diǎn)初步對(duì)一360m跨中承式鋼管混凝土拱橋的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行討論；之后綜合考慮幾何與材料雙重非線性的穩(wěn)定性分析對(duì)自振特性及彈性穩(wěn)定性分析的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，研究了矢跨比及拱面內(nèi)傾角度對(duì)結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力性能的影響，提出了矢跨比及拱面內(nèi)傾角的建議取值區(qū)間。

1 有限元模型

本文以一座跨度為360m的中承式鋼管混凝土拱橋?yàn)樗憷?，其為一?jì)算跨徑l0＝344m的懸鏈線無(wú)鉸拱（拱軸系數(shù)m＝2、k＝1.317），矢跨比f(wàn)／L＝1／4.5［8］。

該算例的主要結(jié)構(gòu)構(gòu)件包括：六肢桁式鋼管混凝土拱肋；圓鋼管桁架橫撐；間距為8m、極限抗拉強(qiáng)度為fu＝1670MPa的鍍鋅高強(qiáng)鋼絲束吊桿；間距為8m的鋼管混凝土立柱；計(jì)算跨徑為35.95m的工字形截面鋼橫梁；22cm厚的預(yù)制鋼筋混凝土橋面板（對(duì)于12cm厚的橋面鋪裝層，只計(jì)自重不計(jì)剛度）。各主要結(jié)構(gòu)構(gòu)件的材性及有限元單元類(lèi)型見(jiàn)表1。鋼材及混凝土的相關(guān)材料力學(xué)性能指標(biāo)均按照現(xiàn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范取值；拱肋鋼管混凝土弦管的組合材料模型及材性依據(jù)文獻(xiàn)［9－10］確定。文獻(xiàn)［10］分別對(duì)文獻(xiàn)［11－12］的拱肋模型進(jìn)行了雙重非線性有限元分析，并與文獻(xiàn)［11－12］給出的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，吻合良好。本文依據(jù)文獻(xiàn)［10］的分析結(jié)果，考慮到計(jì)算機(jī)求解耗費(fèi)的機(jī)時(shí)及結(jié)果存儲(chǔ)空間等綜合因素，鋼管混凝土拱肋采用雙線性隨動(dòng)強(qiáng)化材料模型。

圖1為全橋空間有限元模型，其拱腳嵌固；柔性吊桿與橋面系、柔性吊桿與拱肋均為鉸接；其他節(jié)點(diǎn)為剛接。

表1 結(jié)構(gòu)構(gòu)件表Table 1 Structural members

圖1 有限元模型Fig.1 Finite element model

2 自振特性及穩(wěn)定性分析

2.1 自振特性分析

自振特性分析實(shí)質(zhì)是以無(wú)阻尼振動(dòng)為前提求解無(wú)外荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力平衡方程。假定體系作簡(jiǎn)諧振動(dòng)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的廣義特征值問(wèn)題［13］，即：

式中：［K］、［M］分別為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣及結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量矩陣。

求解特征方程（1），得到結(jié)構(gòu)第i階自振頻率ωi及相應(yīng)振動(dòng)模態(tài)的振型向量｛φ｝i。

鋼管混凝土拱橋已有動(dòng)力特性分析表明：一般地，結(jié)構(gòu)前幾階自振頻率和振型對(duì)結(jié)構(gòu)自振特性起控制作用，只需求解結(jié)構(gòu)前幾階自振頻率和振型即可滿足工程要求［3-4］。根據(jù)算例的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本文采用子空間迭代法求解方程（1），得到算例的前六階自振頻率及振型如圖2所示，主要包括面外振型（1階）、面內(nèi)振型（2、4階）以及面內(nèi)外耦合振型（3、5、6階）三類(lèi)振型。

圖2 自振頻率及振型Fig.2 Fundamental frequencies and modes

算例的自振特性分析表明：①面外橫向振動(dòng)先于面內(nèi)豎向振動(dòng)出現(xiàn)，結(jié)構(gòu)面外與面內(nèi)基頻之比為0.2853／0.4334＝0.7，體現(xiàn)了大跨鋼管混凝土拱橋面外橫向剛度弱的特點(diǎn)；②面外對(duì)稱(chēng)振型早于反對(duì)稱(chēng)振型出現(xiàn)，振動(dòng)特性與梁相近；面外橫向振型中，拱肋與橋面異步振動(dòng)早于二者同步振型，說(shuō)明橋面剛度對(duì)結(jié)構(gòu)面外剛度有一定貢獻(xiàn)；③面內(nèi)振動(dòng)首先出現(xiàn)面內(nèi)反對(duì)稱(chēng)振型，體現(xiàn)了拱結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性；吊桿與立柱于結(jié)構(gòu)面內(nèi)有效傳力，結(jié)構(gòu)面內(nèi)整體性更好，因此面內(nèi)振型均為拱肋與橋面同步。

2.2 彈性穩(wěn)定性分析

與結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)所體現(xiàn)的自振特性分析不同，彈性穩(wěn)定性分析考慮了可能使結(jié)構(gòu)剛度降低的外荷載作用，將幾何剛度矩陣引入結(jié)構(gòu)動(dòng)力平衡方程，由振動(dòng)頻率為0時(shí)結(jié)構(gòu)屈曲這一條件再次將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下特征值求解問(wèn)題：

式中：［KG0］為基準(zhǔn)荷載對(duì)應(yīng)的幾何剛度矩陣；λG為荷載因子或屈曲系數(shù)［14］。

求解特征方程（2），得到結(jié)構(gòu)第i階屈曲系數(shù)λi及相應(yīng)屈曲模態(tài)向量｛u｝i。其中，一階屈曲系數(shù)即為結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定系數(shù)，相應(yīng)的振型向量為結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)［11］。

依據(jù)現(xiàn)行《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》（JTG D60－2004），算例計(jì)算荷載工況主要考慮了恒載、汽車(chē)荷載（公路－Ⅰ級(jí)）、人群荷載和風(fēng)荷載。車(chē)道荷載表現(xiàn)為均布荷載加集中荷載的形式，雙向六車(chē)道取車(chē)道折減系數(shù)為0.55，縱向折減系數(shù)為0.97；人群活載3.5kPa，橫向布置于2m寬人行道內(nèi)，不進(jìn)行車(chē)道折減；風(fēng)荷載施加于迎風(fēng)面拱肋節(jié)點(diǎn)。綜上，計(jì)算荷載工況見(jiàn)表2。

表2 荷載工況Table 2 Load cases

圖3為彈性穩(wěn)定系數(shù)－荷載工況散點(diǎn)圖，由于荷載分項(xiàng)系數(shù)取值的不同，工況1對(duì)應(yīng)的彈性穩(wěn)定系數(shù)明顯高于其余工況；其余工況盡管活載布載形式不同，但彈性穩(wěn)定系數(shù)非常接近。主要是因?yàn)榇罂鐦蛄旱暮爿d比重較大，對(duì)橋梁靜力性能起控制作用。在荷載工況作用下，算例均發(fā)生拱肋面外橫向反對(duì)稱(chēng)屈曲，可見(jiàn)大跨鋼管混凝土拱橋面外剛度較弱。

2.3 非線性穩(wěn)定性分析

圖3 彈性穩(wěn)定系數(shù)－荷載工況散點(diǎn)圖Fig.3 Scatter points between elastic stability coefficient and load case

依據(jù)文獻(xiàn)［10］的分析結(jié)果，本文在對(duì)算例進(jìn)行雙重非線性穩(wěn)定性分析時(shí)，以設(shè)計(jì)荷載為基準(zhǔn)荷載，考慮橋面系的非保向力作用，等比例加載至結(jié)構(gòu)發(fā)生橫向失穩(wěn)破壞，將此時(shí)結(jié)構(gòu)基準(zhǔn)荷載的倍數(shù)記為彈塑性穩(wěn)定系數(shù)，以λcr表示。

由結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系數(shù)－荷載工況關(guān)系曲線（見(jiàn)圖4）可知，恒載對(duì)算例的穩(wěn)定系數(shù)起決定性作用；彈性穩(wěn)定系數(shù)與彈塑性穩(wěn)定系數(shù)變化趨勢(shì)相近，前者約為后者的2.70倍，說(shuō)明非線性因素對(duì)算例穩(wěn)定系數(shù)的取值影響較大，但對(duì)其變化規(guī)律影響甚微。

圖4 穩(wěn)定系數(shù)－荷載工況關(guān)系曲線Fig.4 Relationship curves of stability coefficient－load cases

3 矢跨比的影響

3.1 矢跨比對(duì)自振特性的影響

算例矢跨比由1／2降至1／10，進(jìn)行自振特性分析。分析結(jié)果顯示，面內(nèi)振型隨矢跨比的降低呈現(xiàn)提前的趨勢(shì)；矢跨比為1／2時(shí)，雖然結(jié)構(gòu)面內(nèi)外基頻之比有所增加（見(jiàn)圖5），但此時(shí)結(jié)構(gòu)高度大、剛度小，基頻較低；隨矢跨比的降低，拱肋與橋面系距離減小，吊桿、立柱等傳力構(gòu)件的線剛度隨之提高，對(duì)拱肋的約束作用加強(qiáng)，體現(xiàn)為面內(nèi)外基頻平緩加大（見(jiàn)圖5）；但降低矢跨比在提高拱肋橫向側(cè)傾約束的同時(shí)，結(jié)構(gòu)面內(nèi)整體性也在加大，因此基頻之比變化不大，基本在0.7左右浮動(dòng)。

圖5 頻率／基頻之比－矢跨比關(guān)系曲線Fig.5 Natural frequencies－rise－to－span relationship curves

3.2 矢跨比對(duì)穩(wěn)定性的影響

算例矢跨比自1／2降至1／10，由彈性穩(wěn)定性分析得到表2中各荷載工況對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定系數(shù)λ－矢跨比f(wàn)／L關(guān)系曲線如圖6所示，再次體現(xiàn)了恒載對(duì)穩(wěn)定性變化趨勢(shì)的控制作用，同時(shí)考慮到工況3作用下拱肋橫向剛度最弱［10］，本文后續(xù)分析均以工況3加載。

圖6 彈性穩(wěn)定系數(shù)－矢跨比關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curves of elastic stability coefficient and rise-to-span ratio

以工況3為基準(zhǔn)荷載，對(duì)算例進(jìn)行雙重非線性穩(wěn)定分析，得到穩(wěn)定系數(shù)－矢跨比歸一化曲線如圖7所示?？梢?jiàn)，彈性穩(wěn)定系數(shù)與彈塑性穩(wěn)定系數(shù)變化趨勢(shì)相近；與自振頻率的單調(diào)增加不同，穩(wěn)定系數(shù)隨矢跨比的降低呈現(xiàn)先增大再減小的變化趨勢(shì)，矢跨比f(wàn)／L在1／4附近取值時(shí)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系數(shù)較大。

綜上，矢跨比對(duì)結(jié)構(gòu)自振特性和穩(wěn)定性的影響有所不同，僅靠自振特性的分析結(jié)果評(píng)價(jià)矢跨比的取值不全面。另外，拱圈材料用量隨矢跨比的降低而降低，矢跨比不超過(guò)1／4時(shí)，由于矢跨比不同造成的拱圈材料用量的差異小于10%［10］。因此，本文算例的矢跨比宜在1／4附近取值。

圖7 穩(wěn)定系數(shù)－矢跨比歸一化曲線Fig.7 Stability coefficient vs.rise-to-span unitary

4 拱面內(nèi)傾角的影響

以拱面與橋面的交線為軸，將算例的平行拱面向內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度得到提籃拱，并進(jìn)行自振特性及工況3作用下的穩(wěn)定性分析。

4.1 拱面內(nèi)傾角對(duì)自振特性的影響

隨拱面內(nèi)傾角θ的增大，算例前10階振型中面內(nèi)振型的數(shù)量提高，面外振型的出現(xiàn)越來(lái)越晚、其階次逐漸變大；θ的變化主要對(duì)結(jié)構(gòu)面外一階振動(dòng)及反對(duì)稱(chēng)型耦合振動(dòng)頻率影響較大，對(duì)面內(nèi)振動(dòng)及對(duì)稱(chēng)型耦合振動(dòng)頻率影響很小。

以拱面平行（θ＝0°）時(shí)的基頻為基準(zhǔn)，面外基頻隨θ的增大顯著提高，θ＝18°時(shí)提高幅度為57.3%；面內(nèi)基頻則略有降低，θ＝18°時(shí)約降低2%?？梢?jiàn)，在本文討論的參數(shù)取值范圍內(nèi)，隨內(nèi)傾角的增加結(jié)構(gòu)面外剛度明顯改善，面內(nèi)剛度變化甚微。

4.2 拱面內(nèi)傾角對(duì)穩(wěn)定性的影響

不同拱面內(nèi)傾角對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3，可見(jiàn)由于幾何及材料非線性因素的影響，彈塑性穩(wěn)定系數(shù)明顯低于彈性穩(wěn)定系數(shù)。

隨θ的增加，算例彈性及彈塑性穩(wěn)定系數(shù)均有所增加，前者提高幅度可達(dá)5.0%（θ＝4°時(shí)），后者最大可提高約1.6%（θ＝6°時(shí)）；當(dāng)內(nèi)傾角超過(guò)10～12°后，穩(wěn)定系數(shù)反而有所降低，說(shuō)明拱肋內(nèi)傾后，拱頂附近橫撐剛度提高、結(jié)構(gòu)寬跨比增大、重心降低均對(duì)提高橫向面外剛度有利；但內(nèi)傾會(huì)使拱肋在受壓的同時(shí)產(chǎn)生附加扭矩，又對(duì)承載不利。

內(nèi)傾角的變化對(duì)彈塑性穩(wěn)定系數(shù)的影響不如對(duì)彈性穩(wěn)定系數(shù)的影響明顯，主要是因?yàn)榭紤]材料非線性后，拱肋中存在的內(nèi)力重分布使得結(jié)構(gòu)極限承載能力變化不大，但隨內(nèi)傾角的增加拱頂最大橫向位移顯著降低，體現(xiàn)了拱肋內(nèi)傾使結(jié)構(gòu)橫向剛度提高。

表3 內(nèi)傾拱穩(wěn)定系數(shù)Table 3 Stability coefficients of arch bridges with inclined ribs

5 結(jié) 論

（1）降低矢跨比對(duì)改善結(jié)構(gòu)自振特性有利，矢跨比越接近1／4，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系數(shù)越高。實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)宜綜合自振特性、穩(wěn)定性的分析結(jié)果，并考慮拱圈材料用量決定矢跨比的取值。

（2）拱面內(nèi)傾可有效改善結(jié)構(gòu)面外剛度，表現(xiàn)為隨拱面內(nèi)傾角的加大面外基頻提高，設(shè)計(jì)荷載作用下拱肋橫向位移降低，但內(nèi)傾過(guò)大會(huì)產(chǎn)生較大的附加扭矩，結(jié)構(gòu)極限承載能力反而會(huì)有所降低。本文算例內(nèi)傾角越趨近于4°穩(wěn)定系數(shù)越高，內(nèi)傾角超過(guò)10°穩(wěn)定系數(shù)反而較拱肋平行時(shí)有所降低。

（3）由于非線性因素的影響，大跨徑鋼管混凝土拱橋彈塑性穩(wěn)定系數(shù)顯著低于其彈性穩(wěn)定系數(shù)，但二者的變化趨勢(shì)相近，彈性穩(wěn)定系數(shù)能在一定程度上反映結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響。因此，可在初步設(shè)計(jì)階段綜合自振特性與彈性穩(wěn)定分析的結(jié)果確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值，以達(dá)到既能考慮荷載作用對(duì)穩(wěn)定性的影響又能快速合理確定參數(shù)取值的目的。

［1］陳寶春，劉福忠，韋建剛.327座鋼管混凝土拱橋的統(tǒng)計(jì)分析［J］.中外公路，2011，31（3）：96－103.Chen Bao－chun，Liu Fu－zhong，Wei Jian－gang.Statistical analysis on 327CFST arch bridges［J］.Journal of China and Foreign Highway，2011，31（3）：96－103.

［2］王頠，馬青松.結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)下承式鋼管混凝土拱橋動(dòng)力特性的影響［J］.橋梁建設(shè)，2011（2）：34－38.Wang Wei，Ma Qing－song.Influences of structural parameters on dynamic characteristics of throughtype CFST arch bridges［J］.Bridge Construction，2011（2）：34－38.

［3］孫昊，錢(qián)永久，蔡迎春.結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)鋼管混凝土拱橋動(dòng)力特性的影響分析［J］.重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，28（6）：982－985，1074.Sun Hao，Qian Yong－jiu，Cai Ying－chun.Influences of structural parameters on dynamic characteristics of CFST arch bridges［J］.Journal of Chongqing Jiaotong University （Natural Sciences），2009，28（6）：982－985，1074.

［4］劉沐宇，龔凱，孫向東，等.單肋斜撐鋼管混凝土拱橋動(dòng)力特性分析［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2009，33（6）：1104－1107.Liu Mu－yu，Gong Kai，Sun Xiang－dong，et al.Dynamic characteristics analysis of a single rib CFST arch bridge［J］.Journal of Wuhan University of Science and Engineering（Transportation Sciences and Engineering），2009，33（6）：1104－1107.

［5］何偉，趙順波，楊建中，等.大跨寬幅雙提籃系桿拱橋動(dòng)力特性和抗震性能［J］.振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2010，30（6）：630－633.He Wei，Zhao Shun－bo，Yang Jian－zhong，et al.Dynamic and aseismic behavior of large－span tied arch bridge［J］.Journal of Vibration Measurement and Diagnosis，2010，30（6）：630－633.

［6］譚國(guó)宏，李龍安.某下承式鋼管混凝土拱橋二類(lèi)穩(wěn)定分析研究［J］.橋梁建設(shè)，2011（3）：36－39.Tan Guo－h(huán)ong，Li Long－an.Ultimate point instability analysis on a through－type CFST arch bridge［J］.Bridge Construction，2011（3）：36－39.

［7］鄭永衛(wèi)，包泮旺，沈旭東，等.舟山松岱大橋雙重非線性穩(wěn)定性分析［J］.公路，2011（8）：52－55.Zheng Yong－wei，Bao Pan－wang，Shen Xu－dong，et al.Nonlinear stability analysis on Zhou Shan Songdai Bridge［J］.Highway，2011（8）：52－55.

［8］陳寶春，鄭皆連.鋼管混凝土拱橋?qū)嵗ㄒ唬跰］.北京：人民交通出版社，2002：145－181.

［9］鐘善桐.鋼管混凝土結(jié)構(gòu)［M］.3版.北京：清華大學(xué)出版社，2003：34－52.

［10］云迪.大跨中承式鋼管混凝土拱橋靜力及抗震性能［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，2007.Yun Di.Static and aseismic behavior of large span half－through CFST arch bridges［D］.Harbin：School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，2007.

［11］陳寶春.鋼管混凝土拱橋設(shè)計(jì)與施工［M］.北京：人民交通出版社，1999：132－167，182－192.

［12］楊永清.鋼管混凝土拱橋橫向穩(wěn)定性研究［D］.成都：西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，1998.Yang Yong－qing.Lateral stability of CFST arch bridges［D］.Chengdu：School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，1998.

［13］Clough Ray W，Penzien Joseph.Dynamics of Structures［M］.3rd ed.California：University of California Press，1995：201－210.

［14］張素梅，云迪.大跨中承式鋼管混凝土拱橋的橫撐布置［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2009，39（1）：108－112.Zhang Su－mei，Yun Di.Lateral brace arrangement for large－span half－through concrete filled steel tube arch bridge［J］.Journal of Jilin University（Engineering and Technology Edition），2009，39（1）：108－112.