白海明

(山西省地球物理化學勘察院，山西運城 044000)

GPS定位成果屬于WGS－84地心坐標系，而現(xiàn)今實用的測量成果屬于某一國家坐標系或地方獨立坐標系(參心坐標系)，因此，實際工作中必須進行GPS網(wǎng)WGS－84坐標系成果至地面參心系的轉(zhuǎn)換。對于平面轉(zhuǎn)換，主要采用二維約束平差方法，即以地面網(wǎng)的已知點為約束條件，將GPS網(wǎng)強制附合到地面網(wǎng)中。我們知道，純GPS網(wǎng)具有較高的相對精度，而以往用傳統(tǒng)方法建立的地面網(wǎng)的相對精度卻難以與GPS網(wǎng)相比擬。就我國而言，傳統(tǒng)網(wǎng)存在分階段建立和分區(qū)平差等弊端，再加上長期地殼的不均勻運動，使得地面點間往往難以兼容一致。當采用一組一致性差的點為基準，進行GPS網(wǎng)二維約束平差時，必然引起純GPS網(wǎng)的扭曲變形，當這種變形不能容忍時，將極大地損壞GPS網(wǎng)的原有精度。因此，在進行GPS網(wǎng)二維約束平差時，進行基準點兼容性分析至關(guān)重要。分析GPS網(wǎng)基準兼容性的方法有多種，但大多對基準不兼容造成網(wǎng)的變形缺乏數(shù)量大小的概念和一定的幾何解釋。本文以基準點間的邊長為對象，把彈性力學中的應(yīng)變分析方法應(yīng)用到GPS網(wǎng)基準兼容性的叛定，可以很好地解決以往存在的問題。

1 基本原理及方法

1)彈性力學中變形與應(yīng)變的基本概念和有關(guān)關(guān)系式。由彈性力學理論可知，彈性體在外力作用下，物體的各點的位置要發(fā)生變化，即發(fā)生位移。位移實際上由三部分組成，它們是參考點的剛體平移、剛體的轉(zhuǎn)動和純應(yīng)變。前兩種位移后，仍保持各點間的初始狀態(tài)的相對位置，而純應(yīng)變則改變了各點間的初始狀態(tài)的相對位置，即產(chǎn)生了變形。這里我們主要研究后一問題。

在假定介質(zhì)是連續(xù)均勻、各向同性和小形變的情況下，可方便地對彈性體進行應(yīng)變分析。在二維狀態(tài)下，彈性體內(nèi)一點的純應(yīng)變，可用其應(yīng)變參數(shù) εx，εy，rxy描述，其幾何意義為:εx，εy分別表示原來與X，Y軸平行的矢量單位長度的伸長(或壓縮)，稱為線應(yīng)變，伸長為正，縮短為負;rxy為變形前與OX，OY軸正向一致的兩正交線段在變形過程中發(fā)生的直角變化量，稱為剪應(yīng)變，直角減小時為正，反之為負。

εx，εy，rxy的大小與坐標軸有關(guān)，在眾多的任意方向軸的應(yīng)變中，存在著一對互相垂直的特殊方向，這對坐標方向存在最大和最小線應(yīng)變ε1，ε2，其間的剪應(yīng)變?yōu)?，稱主應(yīng)變，并有以下關(guān)系式:

其中，r為總剪切;λ為總應(yīng)變。

任意方向a上的線應(yīng)變εa與該線段平均應(yīng)變狀態(tài)分量之間的關(guān)系式如下［1］:

其中，D，D′分別為方向a上邊長變形前、后的長度;α為該邊方位角。

從式(5)可知，只要已知任意三個不同方向上的三個邊長D，D′及其方位角α，就可組成三個線性方程，從中解出三個應(yīng)變參數(shù)εx，εy，rxy(當多于三邊時采用后述平差方法)。式(5)是本文進行應(yīng)變分析采用的基本關(guān)系式。

2)利用已知點間邊長進行GPS網(wǎng)基準兼容性的應(yīng)變分析原理和方法。

如前所述，GPS網(wǎng)轉(zhuǎn)換為地面坐標系時，常采用二維約束平差，實際上是將純GPS網(wǎng)強制附合到地面網(wǎng)中。如果將GPS網(wǎng)看作一彈性體，則地面網(wǎng)中已知點間平面邊長與GPS網(wǎng)中相應(yīng)的平面邊長的差距，正是GPS網(wǎng)二維基準轉(zhuǎn)換時將引起的彈性變形量。因整個GPS網(wǎng)變形量的大小，歸根結(jié)底是由基準點間的變形來引起和決定的，若基準點間的變形量超過一定的限度，則整個GPS網(wǎng)的變形當然也就不可能容忍，因而，通過對基準點間邊長，根據(jù)式(5)求得的平均應(yīng)變量也就能說明整個GPS網(wǎng)的變形狀態(tài)。如果對此應(yīng)變量的大小加以恰當?shù)南拗?，則可對基準兼容性進行叛定，這就是本方法的基本原理。

GPS網(wǎng)變形量限制條件可依不降低GPS測量精度為前提，同時滿足生產(chǎn)需要為基本準則。為此文獻［2］提出判定GPS網(wǎng)基準兼容性的兩個準則:

準則一:最大與最小線應(yīng)變之差不應(yīng)超過GPS基線測量精度的比例誤差:

準則二:最大線應(yīng)變和剪應(yīng)變也不應(yīng)超過GPS基線測量精度的比例誤差:

準則一是對GPS網(wǎng)與地面網(wǎng)轉(zhuǎn)換時，變形量的均勻性要求，如果超過此限值，則GPS網(wǎng)將會產(chǎn)生較大扭曲，而準則二則是變形量大小的限制。

GPS網(wǎng)基準兼容性的應(yīng)變分析步驟如下:

a.先進行GPS網(wǎng)的三維無約束平差，經(jīng)各項檢驗合格后，再選擇與地面網(wǎng)相同的參考橢球元素和投影面，以及一致的中央子午線，并固定地面任意一已知點，進行GPS網(wǎng)二維自由網(wǎng)平差(或稱最小約束平差)。這時在二維平面內(nèi)，純GPS網(wǎng)的尺度就與地面網(wǎng)保持一致，并且仍保持GPS網(wǎng)其原有的精度。

b.計算(或摘錄)已知的地面點間的高斯平面邊長D′和經(jīng)二維自由網(wǎng)平差后，純GPS網(wǎng)中相應(yīng)點間的高斯平面邊長D和方位角α。

c.采用不同的基準組合，以間接平差法，分別求解不同組合條件下的三個應(yīng)變參數(shù) εx，εy，rxy。

為實際應(yīng)用方便，式(5)作如下變換:

上式中把D作為非隨機量來進行處理。因一般純GPS網(wǎng)中邊長的精度是很高的，再加上D與D′相比具有現(xiàn)時性(不存在變形影響)，這種處理不會引起應(yīng)變參數(shù)太大的偏差，而能使計算簡化。

對于多條已知邊可以Di′為觀測值，列立如下誤差方程:

其中，Di以 km 為單位，Li=(Di－D′)/1 000(即 Li以 mm 為單位)。因D′的協(xié)因數(shù)陣往往不能直接給出，而一般情況下，邊長中誤差與邊長成正比關(guān)系，為此，簡便期間，D′的協(xié)因數(shù)陣可取如下對稱陣:

Qdd也可根據(jù)相應(yīng)等級邊長相對精度分析給出。當已知邊長度及精度相近時，也可直接采用單位陣E。

根據(jù)式(8)，式(9)即可按間接平差法求出參數(shù) εx，εy，rxy，再據(jù)式(1)～式(4)算出其他參數(shù)。

d.根據(jù)求出的有關(guān)參數(shù)，以前述準則一、準則二為依據(jù)，分析判定基準點兼容性，從中選擇兼容性好的已知點組，參與GPS網(wǎng)的二維平差，獲得最終平差成果。

2 算例

如圖1所示為一實測D級GPS控制網(wǎng)。

圖1 D級GPS控制網(wǎng)

1，2，3，4為已知點，已通過各種方法判定其間一致性很好。為利用應(yīng)變分析方法進行基準兼容性分析，現(xiàn)分別以兩種情況給2號，4號點加入不同的誤差進行分析對比。其中案例一給2號點坐標加入(3 cm，－3 cm)誤差，給4號點加入(－3 cm，3 cm)誤差;案例二給2號點加入(3 cm，－3 cm)誤差，給4號點加入(－5 cm，5 cm)誤差，分別計算其應(yīng)變參數(shù)如表1～表3所示。

表1 計算用的基本數(shù)據(jù)表

表2 案例一不同基準組合下應(yīng)變參數(shù)表

表3 案例二不同基準組合下應(yīng)變參數(shù)表

因E級網(wǎng)的比例誤差為b=10 ppm，根據(jù)準則一、二及上述表2，表3可知:

案例一情況下，1—4組合方案均滿足要求，但以2方案為佳;而5組合方案總剪切較大，會使網(wǎng)產(chǎn)生較大扭曲，不可取。

案例二情況下，只有2方案滿足要求，其他方案均不可取。從表3可分析認為，4號點與其他點間不兼容，這也與前述假定是一致的。

3 結(jié)語

本文利用基準點間邊長進行GPS網(wǎng)基準兼容性的應(yīng)變分析方法，既有數(shù)量概念，又有幾何意義，能夠?qū)鶞庶c不兼容而引起GPS網(wǎng)的變形有直觀的判斷和解釋，并且具有較強的靈敏度。特別適用于具有多個已知點時的檢驗分析。由于通常已知點個數(shù)總是有限，而所求參數(shù)只有三個，因而，誤差方程的組成和法方程的解算也就較為方便，不需要專用程序即可進行。上述算例的平差過程，就是筆者在Excel上實現(xiàn)的。通過實踐證明，本方法具有一定的可靠性和實用價值。

［1］ 陶本藻.自由網(wǎng)平差與變形分析［M］.武漢:武漢測繪科技大學出版社，2001:170－183.

［2］ 張 勤，李家權(quán).GPS測量原理及應(yīng)用［M］.北京:科學出版社，2005:174－212.

［3］ 楊桂通.彈性力學［M］.北京:高等教育出版社，1998.