一個不等式的另證及推廣

●鄒生書 (陽新縣高級中學 湖北陽新 435200)

《數學通報》2010年第12期宋慶老師提供的第1 885號數學問題如下：

文獻［1］、文獻［2］和文獻［3］對該不等式給出了證明和推廣.本文給出了一種新的證明，并通過柯西不等式和判別式法給出不等式的幾種推廣.

且x1+x2+x3=1.故原問題可轉化為：

推廣1 已知 a，b，c為正數，且 p，q，r為正常數，求證：

且x1+x2+x3=1.故原問題可轉化為：

已知正數 x1，x2，x3滿足 x1+x2+x3=1，求證：

推廣 2 已知 a1，a2，…，an為正數，且 m1，m2，…，mn為正常數，n≥3，則

推廣3 已知變量a，b，c為正數，且λ，μ為正常數，求證：恒成立.

當k=48時，由式(1)得b≤c恒成立，這與題設不符，故式(1)恒成立當且僅當

推廣4 已知變量a，b，c為正數，且p，q，r為正常數，求證：

當k=4pq時，由式(2)得(q-p-r)b+(q-r)c≤0，但當 q-p-r＞0時此式不成立，因此 k≠4pq，故式(2)恒成立，則當且僅當k-4pq＜0且

又k≠4pq，所以k-4pq＜0.故式(2)恒成立的充要條件是

根據推廣4筆者進一步提出如下更一般的猜想.

猜想已知變量ai和常數pi，λi(i∈N，i≥3)均為正數，則

［1］ 宋慶.數學問題解答［J］.數學通報，2010(12)：59-61.

［2］ 鐘建新.數學問題1 885的解后再思考［J］.數學通報，2012(3)：50-51.

［3］ 宋志敏，尹櫪.數學問題1 885的推廣與再研究［J］，數學通報，2011(12)：27-28.