張 峰，何新黨，南 華，姚會舉

(西北工業(yè)大學力學與土木建筑學院，飛行器可靠性工程研究所，西安 710129)

0 引言

吊掛是導彈與飛機的連接部件，主要承受導彈的重力作用，與導彈固連在一起。發(fā)射時，導彈與吊掛作為整體離開滑軌，因此吊掛結構的強度和壽命對導彈的順利發(fā)射和飛機的安全有著重要的影響，開展吊掛結構壽命可靠性分析，能有力地保證導彈完成任務的成功率［1］。影響吊掛結構壽命可靠性的因素主要有2個方面:(1)導彈吊掛結構制造、裝配的誤差導致結構尺寸具有隨機不確定性，這些因素的不確定性最終傳遞給結構的疲勞壽命，導致疲勞壽命也是隨機變量［2］;(2)結構疲勞壽命失效的不確定性。在傳統(tǒng)的概率可靠性分析中，采用“一刀切”的方式來劃定結構是否失效［3］;而在實際情況中，吊掛結構的壽命失效是個漸變過程，“一刀切”的分析方式忽略了壽命失效的漸變特性［4－6］。因此，需考慮失效模式的模糊性對結構疲勞壽命的影響，才能較合理地評估吊掛結構的安全程度。失效模式的模糊性采用隸屬函數(shù)來描述，在較少信息下，可依據(jù)專家經(jīng)驗給出失效模式隸屬函數(shù)的描述形式。

綜合上述因素，本文在導彈結構可靠性分析時，同時考慮結構尺寸的隨機性和疲勞壽命失效模式的模糊性，建立疲勞壽命分析的廣義可靠性模型，來更合理地評估導彈吊掛結構的安全程度［5］。

在吊掛結構廣義可靠性分析模型中，由于吊掛結構復雜，難以直接建立其疲勞壽命與尺寸隨機變量的顯式表達關系式，需要通過有限元分析才能得到結構疲勞壽命的響應。對于這種通過隱式限狀態(tài)方程進行描述的結構，傳統(tǒng)的一次可靠性方法和二次可靠性方法估算誤差較大，直接使用Monte Carlo等數(shù)字模擬方法需要多次調(diào)用有限元而導致計算量過大，限制了數(shù)字模擬方法的直接使用。在此情況下，響應面法被推薦使用，其采用響應面函數(shù)來構造隱式極限狀態(tài)方程的近似顯式表達式［7－9］。研究表明，如果響應面函數(shù)能很好地近似實際的隱式極限狀態(tài)方程，它可得到精度相當高的失效概率估計值［9］。綜上所述，本文在導彈吊掛結構靜力學和疲勞壽命分析的基礎上，采用二次響應面法，建立結構疲勞壽命的函數(shù)關系式，并結合重要抽樣法，來求解吊掛結構的廣義可靠性。

1 吊掛結構疲勞壽命分析

某型導彈吊掛結構的二維裝配模型如圖1所示，幾何模型見圖 2［2］。

圖1 吊掛與滑軌結構裝配圖Fig.1 Assembly drawing of missile suspension and rail

圖2 吊掛結構幾何模型圖Fig.2 Diagram of missile suspension geometry model

圖2中，參數(shù) l1、l2、l3、l4分別為導彈吊掛的寬度、吊掛結構與導軌接觸處的厚度、導彈吊掛的倒角尺寸和加載力臂長度。吊掛結構為鋁合金材料，參數(shù)如表1所示。

表1 導彈吊掛結構材料參數(shù)Table 1 Material property of suspension structure

在吊掛結構的三維幾何模型的基礎上，采用Hex六面體單元對結構進行網(wǎng)格劃分，可得到如圖3所示的有限元模型。在有限元模型中，通過多點約束MPC建立吊掛結構與導彈之間的固連關系，將導彈施加給吊掛結構的集中載荷均勻地分配到吊掛與導彈的接觸表面。

圖3 吊掛結構的有限元分析模型Fig.3 FEM of missile suspension structure

通過有限元分析發(fā)現(xiàn)，吊掛結構的最大應力出現(xiàn)在耳片倒角處，最大應力σmax=302 MPa，吊掛結構材料的屈服強度為σs=460 MPa，滿足安全系數(shù)為1.5的靜強度設計要求。

采用名義應力法，對導彈吊掛結構進行壽命分析，考慮應力集中、尺寸效應和吊掛表面質(zhì)量及加載方式等因素對結構壽命的影響，并通過材料的S-N曲線建立吊掛結構的S-N曲線。吊掛結構S-N曲線的應力Sa可表示為

式中 σa為材料的S-N曲線的應力;Kf為疲勞缺口系數(shù);ε為尺寸系數(shù);β為表面質(zhì)量系數(shù);CL為加載方式。

由于外載荷的平均應力，還須采用Goodman公式對平均應力進行修正，修正公式如式(2)所示:

采用名義應力方法并結合有限元分析，得到吊掛結構的壽命云圖，如圖4所示。

從圖4可看出，耳片倒角處是吊掛疲勞壽命的薄弱部位，最低的使用壽命為367 000次，結構滿足壽命要求。

2 基于二次響應面的吊掛結構疲勞壽命分析

由于制造裝配等原因，吊掛寬度l1、吊掛結構與導軌接觸處厚度l2、導彈吊掛倒角尺寸l3和加載力臂長度l4等參數(shù)具有隨機不確定性，是服從正態(tài)分布的隨機變量。結構尺寸的不確定性最終傳遞給吊掛結構的壽命，導致吊掛結構的壽命 S(l1，l2，l3，l4)也是隨機變量。假設吊掛結構的設計壽命是S*，根據(jù)應力-強度干涉模型，建立吊掛結構基于疲勞壽命失效的功能函數(shù)，如式(3)所示:

圖4 吊掛結構的疲勞壽命云圖Fig.4 Diagram of life distribution on missile suspension structure

結構極限狀態(tài)方程g=0，將變量空間劃分為兩個區(qū)域。當 g=S(l1，l2，l3，l4)－S*＞0，結構安全;當 g=S(l1，l2，l3，l4)－S*＜0，結構發(fā)生疲勞壽命的失效。

在式(3)中，響應量 g 是(l1，l2，l3，l4)的隱函數(shù)，是有限元模型在輸入?yún)?shù)為(l1，l2，l3，l4)進行疲勞壽命分析的結果。在吊掛結構可靠性分析中，采用響應面法模擬響應量g與吊掛結構參數(shù)的函數(shù)關系式，即選取不含交叉項的二次響應面(l)來擬合功能函數(shù)g(l)的形式如式(4)所示。

式中 a0、(b1，b2，b3，b4)、(c1，c2，c3，c4)為 9 個待定系數(shù)。

求解二次響應面的系數(shù)是構造可靠性模型功能函數(shù)的關鍵，其計算流程如下:

(1)采用Bucher設計方法選取實驗點。在第k次迭代中，以為取樣中心，選取9個實驗點。獲得的試驗點為4)。第1次迭代的實驗中心l*(1)選為均值點處，即l*(1)=μl={μ1，μ2，…，μ4}。其中，μi(i=1，2，3，4)為基本隨機變量li的均值，σi為基本隨機變量li的標準差，fi為插值系數(shù)，取為1～3之間的常數(shù)，上標(k)表示響應面法的第k次迭代。

(2)通過最小二乘法求解得到第k次迭代時的二次響應面的系數(shù)，記為，得到極限狀態(tài)方程，再通過改進一次二階矩法，求解近似極限狀態(tài)方程g—(k)(l)的可靠性指標β(k)和設計點

(3)利用樣本點(μl，g(μl))及進行線性插值求解g(l*(k+1))=0的解l*(k+1))，l*(k+1))即為下一次迭代的抽樣中心，l*(k+1))的求解如下:

(4)反復執(zhí)行(1)～(3)步，直到2次求得的可靠度指標滿足精度要求結束迭代過程，最終獲得滿足精度要求的近似功能函數(shù)

3 吊掛結構疲勞壽命廣義可靠性分析

3.1 疲勞壽命廣義可靠性分析模型

影響吊掛結構壽命可靠性的因素包括2個方面，第2章僅考慮了尺寸的隨機不確定性，還需要考慮結構壽命失效模式的影響，通過引入隸屬函數(shù)u來刻畫失效模式的模糊性。對于通過二次響應面擬合得到的近似功能函數(shù)，設其隸屬函數(shù)為，則吊掛結構疲勞壽命廣義可靠性的失效概率Pf可寫為

式中 fl(l)為尺寸參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

其中，b1、b2為隸屬函數(shù)參數(shù)，可通過專家經(jīng)驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計得出。

(1)半線性型隸屬函數(shù)

(2)半正態(tài)型隸屬函數(shù)

(3)半柯西型隸屬函數(shù)

圖5 模糊失效域的隸屬函數(shù)示意圖Fig.5 Diagram of fuzzy failure membership function

3.2 基于Monte Carlo法的廣義可靠性分析

采用蒙特卡洛法來計算式(6)所示的廣義失效概率是通過聯(lián)合概率密度函數(shù)fl(l)來抽取樣本，并利用樣本來估算廣義失效概率的估計值，估算公式如式(10)所示:

式中 lj為以聯(lián)合概率密度函數(shù)fl(l)抽取的第j個樣本;N為抽取樣本數(shù)。

3.3 基于重要抽樣法的廣義可靠性分析

針對直接蒙特卡洛法計算工作量巨大的這一問題，研究人員提出了許多縮減方差、加快收斂速度的改進方法［10－13］。在這些改進方法中，以重要抽樣法研究最為廣泛［10］。在式(6)中引入重要抽樣函數(shù)hl(l)，則廣義失效概率Pf的計算公式改寫為

其中，重要抽樣函數(shù)hl(l)滿足

設lj(j=1，2，…，N)為來源于重要抽樣函數(shù)hl(l)的樣本，則失效概率Pf的無偏估計值、估計值的樣本方差和變異系數(shù)可分別表示為式(14)～式(16)。

3.4 吊掛結構疲勞壽命廣義可靠性分析與討論

對導彈吊掛結構進行疲勞壽命廣義可靠性分析，選取導彈疲勞壽命失效的如式(9)所示的半正態(tài)型隸屬函數(shù)。參數(shù)m1=0，m2=45，分別采用Monte Carlo法和重要抽樣法，求解吊掛結構疲勞壽命廣義可靠性，失效概率的估算結果如表2所示。

表2 2種計算方法結果比較Table 2 The compare of two method analysis results

從表2可看出，以Monte Carlo法取樣106個樣本的計算結果為精確值，重要抽樣法抽取104量級的樣本數(shù)就可估算得到失效概率，估計值的相對誤差小于1%，滿足精度要求，計算量不到 Monte Carlo法的1/30。這說明重要抽樣法適用于吊掛結構疲勞壽命的廣義可靠性分析。

再采用重要抽樣法分析吊掛結構疲勞壽命失效“一刀切”和“漸變”2種方式下的可靠性?？紤]失效形式的模糊性，仍選擇半正態(tài)型的隸屬函數(shù)來刻畫失效模式的不確定性，參數(shù)m1=0，參數(shù)m2取8組不同值，結構失效概率估算結果見表3。

表3 吊掛結構疲勞可靠性分析結果Table 3 The results of reliability analysis for missile suspension structure

從表3可看出，隨著m2的增加廣義失效概率逐漸增大。m2=80時的評估結果與不考慮結構失效的模糊性的分析結果相比，失效概率的相對變化達到31.772 8%。因此，采用模糊理論考慮壽命失效的漸變過程，才能更合理地評估吊掛結構的可靠性。

4 結論

通過有限元分析發(fā)現(xiàn)，導彈吊掛結構最危險部位是倒角部位，在靜力學和疲勞壽命分析的基礎上，建立考慮壽命失效漸變過程的廣義可靠性模型，通過二次響應面法模擬其功能函數(shù)，采用半正態(tài)隸屬函數(shù)來描述結構狀態(tài)失效的漸變過程，再結合重要抽樣法來求解吊掛結構的廣義可靠性。算例分析顯示，基于響應面法的重要抽樣法能很好地解決結構疲勞壽命可靠性問題。同時，本文采用模糊隸屬函數(shù)考慮結構失效的漸變過程，可更合理地評估結構的安全程度。

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