玄冠濤，邵園園，呂釗欽，馮顯英，鄭繼周

(1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 機械與電子工程學(xué)院，山東省園藝機械與裝備重點實驗室，泰安271018;2.山東大學(xué) 機械工程學(xué)院，濟南250061)

隨著生產(chǎn)發(fā)展的需要，高速凸輪機構(gòu)在輕工、內(nèi)燃機等自動、半自動機械中應(yīng)用越來越廣泛。凸輪轉(zhuǎn)速越高，系統(tǒng)受到的振動和沖擊越大，特別是從動件的殘余振動會造成凸輪機構(gòu)的定位精度變差和傳動精度降低，因此必須對從動件的殘余振動進(jìn)行控制。Wiederrich［1］分析了多自由度凸輪機構(gòu)殘余振動準(zhǔn)則，Chew等［2］通過控制從動件上有效的彈簧力實現(xiàn)凸輪機構(gòu)的動態(tài)優(yōu)化并提出了一種減少殘余振動的直接方法，Yamada等［3］則利用反饋控制減少殘余振動，Grewal等［4］對不同凸輪廓線下高速彈性凸輪機構(gòu)的性能進(jìn)行了分析和比較，孫樹峰等［5-6］分析了凸輪 NURBS廓線、廓面的運動學(xué)性能，但并未深入研究動態(tài)特性。

本文采用非均勻有理B樣條(Non-uniform rational B-Splines，NURBS)重構(gòu)高速凸輪廓線，建立高速凸輪機構(gòu)單自由度彈性動力學(xué)模型，基于改進(jìn)的人工魚群算法對NURBS廓線進(jìn)行多目標(biāo)動力學(xué)優(yōu)化，保證凸輪良好運動性能的同時，最大限度的抑制振動和沖擊。

1 高速凸輪廓線NURBS重構(gòu)

一條k次NURBS曲線定義為:

式中di(i=0，1，…，n)為控制頂點;wi(i=0，1，…，n)為權(quán)因子;Ri，k(u)為k次有理 B 樣條，Bi，k(u)為由節(jié)點矢量U=［u0，u1，…，un+k+1］決定的k次 B 樣條有理基函數(shù)。

高速凸輪廓線NURBS重構(gòu)，就是利用廓線的采樣點，根據(jù)式(1)、(2)反求出相應(yīng)NURBS廓線的控制頂點及權(quán)因子，通過相關(guān)參量調(diào)整實現(xiàn)凸輪NURBS廓線優(yōu)化。無量綱表示［7］的高速凸輪NURBS廓線的位移、速度、加速度和躍度表示為:

式中:(T)、(T)和(T)為k次有理B樣條的1階、2階和3階導(dǎo)數(shù)。若運動規(guī)律的加速度和躍度連續(xù)，理論上就不存在剛性和柔性沖擊，對降低殘余振動和提高定位精度很有利，因此須保證NURBS曲線的次數(shù)k≥3。同時為減小高速凸輪機構(gòu)的最大速度Vm、最大加速度Am，還要取較低的次數(shù)，一般取3≤k≤5。

2 高速凸輪多目標(biāo)動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計

2.1 彈性動力學(xué)模型

在高速凸輪機構(gòu)中，受系統(tǒng)參量(質(zhì)量、阻尼和剛度等)的影響，從動件實際運動規(guī)律與理論運動規(guī)律存在偏差，并伴有沖擊、振動和噪聲，須將凸輪機構(gòu)看成一個彈性系統(tǒng)，建立圖1單自由度彈性動力學(xué)模型，Koster［8］已證明該模型具有足夠精度。

圖1 單自由度彈性動力學(xué)模型Fig.1 Single degree of freedom dynamic model

圖1中m為系統(tǒng)等效質(zhì)量，k為系統(tǒng)等效剛度，c為系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)，S為無量綱理論位移，Y為無量綱實際位移。若凸輪廓線即理論位移為s，實際輸出位移為y，則系統(tǒng)的運動微分方程為:

采用凸輪的無量綱表示

在升程階段，系統(tǒng)在位移激勵作用下做受迫振動，為主振動階段。當(dāng)凸輪機構(gòu)結(jié)束升程(T＞1)，激勵消失，系統(tǒng)進(jìn)入余振階段，由式(8)求得從動件輸出位移的殘余振動振幅Ar:

式中:Y(1)和V(1)是T=1時從動件的實際位移和速度。

2.2 多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

凸輪廓線優(yōu)化設(shè)計時一般以最大速度Vm、最大加速度Am等運動學(xué)參數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，而在高速凸輪機構(gòu)中，殘余振動的抑制成為首要考慮的問題。為此，以凸輪NURBS廓線的控制頂點di和權(quán)因子wi為設(shè)計變量，建立高速凸輪廓線多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型:

式(10)為了和修正正弦(Modified Sine，縮寫為“MS”)廓線比較，將最大速度特性值限定為1.76作為不等式約束，h(T)=［S(0)，V(0)，A(0)，S(1)-1，V(1)，A(1)］T為滿足表1應(yīng)用較廣泛的雙停留工作方式邊界條件的等式約束。

表1 D—R—D運動邊界條件Tab.1 D—R—D kinematics boundary condition

在上述優(yōu)化模型的設(shè)計中，要求運動學(xué)和動力學(xué)同時達(dá)到最優(yōu)是不可能實現(xiàn)的，甚至是相互矛盾的，為保證凸輪機構(gòu)良好的動力學(xué)性能，只能在其運動學(xué)性能不劣于傳統(tǒng)廓線的情況下，最大限度的減少殘余振動的影響，獲得系統(tǒng)的Pareto最優(yōu)解。

3 改進(jìn)人工魚群多目標(biāo)優(yōu)化算法

人工魚群算法［9-10］(Artifical Fish Swarm Algorithm，AFSA)模仿自然界魚群覓食、聚群、追尾行為，通過魚群中各個體的局部尋優(yōu)達(dá)到全局最優(yōu)。該算法前期的收斂速度較快，但在算法的后期，魚群的多樣性變差，算法進(jìn)化停滯不前，易陷入局部極值點，導(dǎo)致尋優(yōu)結(jié)果精度低和運算速度慢。因此，本文利用改進(jìn)的人工魚群(Improved Artificial Fish Swarm Algorithm，簡稱IAFSA)多目標(biāo)優(yōu)化算法，采取禁忌搜索策略，以MS廓線的特性參數(shù)為參照，在理想的加速度和殘余振動幅值的鄰近區(qū)域，對高速凸輪機構(gòu)多目標(biāo)動力學(xué)模型進(jìn)行變參數(shù)二次尋優(yōu)，獲得系統(tǒng)的Pareto最優(yōu)解集。IAFSA算法流程如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的人工魚群算法流程圖Fig.2 Flow diagram of improved artificial fish swarm algorithm

3.1 人工魚群初始化和參數(shù)定義

IAFSA多目標(biāo)優(yōu)化算法需要初始化一組魚群，每條人工魚個體狀態(tài)定義為X=(d0，w0，d1，w1，...，dn，wn)，人工魚的當(dāng)前食物濃度為F(X)=［Ar(X)，Am(X)］T，N為魚群數(shù)目，人工魚間的距離li，j=‖Xj-Xi‖，人工魚感知范圍visual，人工魚每次移動最大步長step，δ表示擁擠度因子，人工魚覓食的最大試探次數(shù)Try_number。

3.2 禁忌搜索策略

禁忌搜索算法具有靈活的記憶功能，它通過局部鄰域搜索機制和相應(yīng)的禁忌準(zhǔn)則來避免迂回搜索，利用特赦原則釋放一些被禁忌的解域，并通過終止規(guī)則實現(xiàn)全局優(yōu)化搜索。AFSA的禁忌搜索規(guī)則定義如下:

(1)禁忌準(zhǔn)則:設(shè)人工魚的當(dāng)前狀態(tài)為Xi，鄰近伙伴數(shù)目Nf及中心位置Xc，若Yc＜Yi且NfYc＞ δYi，表明伙伴中心位置狀態(tài)較優(yōu)但已擁擠，則此鄰域中存在非劣解，將Xi鄰域移入禁忌表禁忌。

(2)特赦原則:若禁忌表中存在非劣解域，則將此解域特赦。

(3)終止規(guī)則:迭代次數(shù)G已到最大迭代次數(shù)Gm或者一定G內(nèi)禁忌表不變，算法終止。

3.3 變參數(shù)二次尋優(yōu)

為加快搜索速度，在算法前期進(jìn)行一次AFSA尋優(yōu)，設(shè)置算法的參數(shù)P1:visual、step、δ及N取較大值，Try_number較小，并利用禁忌準(zhǔn)則鎖定非劣最優(yōu)解的鄰域，同時將不存在非劣最優(yōu)解的可行解域禁忌，避免二次尋優(yōu)的盲目性。算法后期，在一次尋優(yōu)的解域內(nèi)二次AFSA尋優(yōu)，參數(shù)設(shè)置P2:visual、step、δ及N取較小值，Try_number較大，以提高尋優(yōu)精度，最后將放入公告板的Pareto最優(yōu)解輸出。

4 優(yōu)化仿真與實驗

4.1 優(yōu)化仿真

在常見的凸輪機構(gòu)從動件運動規(guī)律曲線中，MS曲線的Vm、Am較小，適合高速工況下，但動態(tài)特性較差。現(xiàn)用5次NURBS曲線重構(gòu)凸輪MS廓線，取n=20，理想加速度和殘余振動振幅為F*=［5.53 10-4］。IAFSA多目標(biāo)優(yōu)化算法的設(shè)置如下:人工魚的數(shù)量N=100，禁忌表長度100，最大迭代次數(shù)Gm=500。一次尋優(yōu)的參數(shù)P1:visual=6，step=1.5，δ=3，Try_number=1，二次尋優(yōu)的參數(shù)P2:visual=0.5 ，step=0.2，δ=1，Try_number=3。設(shè)高速凸輪機構(gòu)的 ξ=0.035，τ=10，用改進(jìn)人工魚群算法優(yōu)化兩個目標(biāo)函數(shù)，求得部分Pareto最優(yōu)解如表2所示。從表2可以看出，高速凸輪機構(gòu)的運動學(xué)參數(shù)Vm、Am和殘余振幅Ar是相互矛盾的，一般情況下很難使它們同時達(dá)到最優(yōu)，決策者可根據(jù)凸輪機構(gòu)的工作需要選擇適合的Pareto最優(yōu)解。其中，第3組解的殘余振動較小適合于高速凸輪機構(gòu)的工作要求，而運動學(xué)特性與MS曲線相差不大，因此利用該組解重構(gòu)NURBS凸輪曲線。由動力學(xué)方程式(8)，求得凸輪機構(gòu)從動件在推程期的主振動響應(yīng)(位移、速度、加速度和躍度)曲線如圖3～圖6所示。

表2 IAFSA多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解Tab.2 Pareto optimal solutions based on IAFSA

從圖3～6可以看出，優(yōu)化后NURBS廓線的位移、速度和加速度響應(yīng)同MS曲線相差不大，躍度曲線變化較平穩(wěn)，最大躍度值較小，提高了系統(tǒng)工作的平穩(wěn)性。

當(dāng)T＞1，從動件到達(dá)推程終點，凸輪機構(gòu)進(jìn)入停歇期，由式(9)求解從動件余振響應(yīng)，得τ=10時殘余振動幅值響應(yīng)曲線(圖7)和不同周期比的殘余振動幅值曲線(圖8)。

圖3 位移響應(yīng)曲線Fig.3 Displacement response curve

圖4 速度響應(yīng)曲線Fig.4 Velocity response curve

圖5 加速度響應(yīng)曲線Fig.5 Acceleration response curve

圖6 躍度響應(yīng)曲線Fig.6 Jerk response curve

圖7 殘余振動幅值響應(yīng)曲線Fig.7 Residual vibration amplitude response

圖8 不同周期比的殘余振動幅值Fig.8 Residual vibration amplitude of different period ratio τ

圖7表明，與MS廓線相比，優(yōu)化后NURBS廓線的殘余振動較小，殘余振動的最大幅值降低了7.16℅，同時從圖8可以看出不同的周期比時凸輪機構(gòu)的殘余振動也有不同程度的降低，周期比小時下降更為明顯。

4.2 噪聲實驗

為進(jìn)一步驗證仿真結(jié)果，將MS廓線空間弧面分度凸輪機構(gòu)和NURBS廓線空間弧面分度凸輪機構(gòu)在不同轉(zhuǎn)速下的噪聲進(jìn)行了實驗測試，測試結(jié)果如表3所示。

表3 不同轉(zhuǎn)速的噪聲(背景噪聲23.2 dB(A))Tab.3 Noise of different rotate speed

分析表3中兩種廓線下凸輪機構(gòu)噪聲的測試結(jié)果，可以看出NURBS廓線空間凸輪機構(gòu)的噪聲較小，高速時更為明顯，這說明NURBS廓線凸輪的動力響應(yīng)較好，沖擊和振動的水平更低。

5 結(jié)論

本文基于單自由度彈性動力學(xué)理論，設(shè)計了高速凸輪機構(gòu)多目標(biāo)動力學(xué)優(yōu)化模型，利用改進(jìn)人工魚群算法求解該模型，由獲得的系統(tǒng)Pareto最優(yōu)解重構(gòu)高速凸輪 NURBS廓線，分析和比較了高速凸輪機構(gòu)NURBS和修正正弦兩種廓線的主振動和余振響應(yīng)。結(jié)果表明:優(yōu)化后高速凸輪NURBS廓線運動學(xué)性能不劣于修正正弦曲線，但降低了高速凸輪機構(gòu)的殘余振動幅值，提高了高速凸輪機構(gòu)的動力學(xué)性能，減少了振動和沖擊的噪聲。

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