羅璇 靳艷飛

(飛行器動力學(xué)與控制教育部重點實驗室，北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

半車非線性懸架的非平穩(wěn)隨機振動及控制*

羅璇 靳艷飛?

(飛行器動力學(xué)與控制教育部重點實驗室，北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

研究了1/2車非線性懸架模型在路面隨機激勵下的非平穩(wěn)振動響應(yīng)，并基于隨機最優(yōu)控制理論對其進行主動控制．首先利用等效線性化方法將具有非線性阻尼及遲滯剛度的非線性懸架模型線性化，然后將主動、被動懸架非平穩(wěn)隨機響應(yīng)進行比較，結(jié)果表明非線性主動懸架的性能要優(yōu)于被動懸架．最后，通過Monte－Carlo數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果．

非線性懸架， 非平穩(wěn)隨機響應(yīng)， 等效線性化， 隨機最優(yōu)控制

引言

懸架系統(tǒng)的設(shè)計對于車輛的行駛平順性、操縱穩(wěn)定性及可靠性具有重要影響．相對于被動懸架，主動懸架具有高度的自適應(yīng)性，已在一些車輛中得到應(yīng)用并日益受到人們的重視．在主動懸架的研究中，不少的學(xué)者致力于針對線性主動懸架或四分之一車非線性懸架模型的研究［1－5］，研究了車輛非線性振動特性并設(shè)計了一些有效的控制方法，常用的有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制及自適應(yīng)控制等．盡管非線性隨機振動分析方法已有很大發(fā)展［6－7］，但還較少應(yīng)用于車輛動態(tài)分析中．為了更好地反應(yīng)車輛系統(tǒng)的動力學(xué)特性和實際工作情況，一些學(xué)者采用濾過白噪聲來模擬路面的隨機激勵，分析車輛懸架系統(tǒng)的隨機振動響應(yīng)及最優(yōu)控制［8－10］，但是大多局限于平穩(wěn)隨機激勵下四分之一車的線性或非線性被動懸架系統(tǒng)的研究．然而，實際行駛中的車輛受到的路面不平度的隨機激勵很多情況下是非平穩(wěn)的［11－12］，對于車輛非線性懸架系統(tǒng)的非平穩(wěn)隨機振動響應(yīng)的分析較少．

本文考慮懸架系統(tǒng)的非線性特性，建立基于二分之一車懸架系統(tǒng)的動力學(xué)模型．采用一階濾過白噪聲來模擬路面的隨機激勵，利用等效線性化方法對非線性懸架的隨機振動響應(yīng)進行了分析，考慮了由于速度變化導(dǎo)致的系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)情況，并基于隨機最優(yōu)控制理論對其進行主動控制．

1 懸架系統(tǒng)的非線性模型

1．1 動力學(xué)模型

考慮如圖1所示的1/2車非線性主動懸架模型．其中，M是車身質(zhì)量，J是車身俯仰轉(zhuǎn)動慣量，m1，m2分別是前、后非簧載質(zhì)量，c1，c2分別是前、后懸架線性阻尼系數(shù)，c'1，c'2分別是前、后懸架非線性二次方阻尼系數(shù)，前、后懸架具有遲滯特性彈簧的參數(shù)，ktf，ktr分別是前后輪胎剛度，a，b前軸、后軸到質(zhì)心的距離．由圖1可建立系統(tǒng)的運動微分方程組為:

圖1 1/2車非線性主動懸架模型Fig．1 Half－ car nonlinear suspension vehicle model

其中 δ=1/M+a2/J，η =1/M+ab/J，ζ=1/M+b2/J，y2=yc+aθ，y4=yc－bθ．y2，y4分別是車體前后端的絕對位移，y1，y3分別是前后簧載質(zhì)量的絕對位移，hf，hr分別是前后輪的路面輸入，u1，u2分別是前后控制力，α1，k1和 α2，k2分別是前后懸架遲滯特性彈簧參數(shù)，zf，zr分別是前后懸架遲滯位移．遲滯位移由下面的Bouc－Wen模型微分方程確定

其中 γf，βf，Af是前懸架遲滯參數(shù)，γr，βr，Ar是后懸架遲滯參數(shù)．這些參數(shù)和參數(shù)n影響遲滯力－位移曲線的形狀和光滑度．

1．2 懸架模型的等效線性化

多自由度非線性系統(tǒng)的運動微分方程可表示為如下矩陣形式

其中X是包括遲滯位移的狀態(tài)矢量，f(t)為零均值n維 Gauss隨機激勵，g(X，)為表征系統(tǒng)本構(gòu)關(guān)系的n維矢量非線性函數(shù)．

假設(shè)矢量非線性函數(shù)g(X，)各個元素gi都是自變量的單值奇函數(shù)．方程(4)可用等效線性系統(tǒng)來代替［6］

C和K分別表示線性阻尼與剛度矩陣，C'和K'分別為待定的等效阻尼及剛度矩陣．等效線性化目標是使系統(tǒng)(4)在一定意義下與系統(tǒng)(5)偏差最小，從而可取方程(5)的解作為方程(4)的近似解．常用的做法是使兩方程之差

的均方值E［eTe］最?。?/p>

可以證明，使均方值E［eTe］最小的必要條件為

式中，ki和ci分別為矩陣K'和C'的第i行分量，z=［X］T．

當激勵f(t)為Gauss隨機過程時，等效線性系統(tǒng)(5)的響應(yīng)也是Gauss隨機過程．在此條件下，Atalik和Utku證明［7］等效參數(shù)可以顯式表達．等效矩陣C'及K'的元素可表示為

應(yīng)用上述結(jié)論，對1/2車四自由度懸架模型(1)－(3)進行等效線性化，可得

式中c1eq，chf，khf分別是等效的阻尼和剛度系數(shù)

上式中的參數(shù)

類似地，后懸架的等效參數(shù)c2eq，chr，khr也可由類似于(11)－(12)的等式給出．

2 路面隨機激勵模型

通常視路面不平度在空間上為白噪聲的一階濾波平穩(wěn)輸出［6］

式中，'表示對道路走向長度s的微分，s表示車輛沿著路面的行程，α與σ均由路面等級決定的常量．當車輛以變速度行駛于路面時，此時路面不平度在時間域中不再是一平穩(wěn)隨機過程，其在時域中模型為

其中 H(t)=［hf(t)，hr(］T，w(t)=［w1(t)，w2(t)］T．w1(t)，w2(t)是零均值平穩(wěn)高斯白噪聲過程．w(t)的協(xié)方差矩陣可表示為E［w(t2)w(t1)］=Qδ(t2－t1)，Q是二階單位矩陣．

3 懸架系統(tǒng)的最優(yōu)控制

3．1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

引入狀態(tài)矢量Xa=［x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12］T，x1=y1;x2=y1;x3=y2;x4=y2;x5=y3;x6=y3;x7=y4;x8=y4;x9=zf;x10=zr;x11=hf;x12=hr．將懸架系統(tǒng)等效線性化方程(10)－(12)及路面輸入模型(14)聯(lián)合表示為

3．2 最優(yōu)控制算法

懸架系統(tǒng)最優(yōu)控制的目標是在綜合考慮前后懸架的乘坐舒適性、懸架動撓度、操縱穩(wěn)定性和控制能量情況下提高懸架的總體性能指標．非平穩(wěn)響應(yīng)控制是有限時間最優(yōu)控制問題，懸架系統(tǒng)的綜合性能指標為

其中J1=E［］+E［］為車體前后端加速度均方值以衡量乘坐舒適性;J2=E［(y1－y2)2］+E［(y3－y4)2］為懸架動撓度均方值;J3=E［(y1－h(huán)f)2］+E［(y3－h(huán)r)2］為輪胎變形量均方值用來衡量操縱穩(wěn)定性;J4=E［］+E［］為系統(tǒng)反饋控制力均方值;ρ1、ρ2、ρ3、ρ4為相應(yīng)的權(quán)系數(shù);S1=S(t1)為對稱的終態(tài)權(quán)矩陣;(t0，t1］為控制時間．

將綜合性能指標變換成標準形式，如下式

其中矩陣A(t)，B(t)分別為對稱的半正定和對稱正定矩陣．

假定系統(tǒng)的狀態(tài)向量Xa(t)在t時刻是完全可測的，則求解以上線性隨機最優(yōu)控制問題隨機最優(yōu)控制律為［13］

其中C(t)是反饋控制增益矩陣，由下式給出

式中，S(t)是對稱的半正定矩陣，是如下Riccati矩陣方程的解令上述方程的終態(tài)值為S(t1)．

系統(tǒng)響應(yīng)的方差矩陣 P(t)=E［Xa(t)XTa(t)］，是如下Lyapunov矩陣微分方程的解

令上述方程的初始條件為P(t0)，是t=t0時的方差矩陣．

Riccati矩陣方程(21)是已知終時狀態(tài)值的微分方程組，對其求解需要進行逆序積分．由于矩陣F與系統(tǒng)的響應(yīng)統(tǒng)計量有關(guān)，而Riccati矩陣方程的求解同時又與系統(tǒng)矩陣F有關(guān)，需要通過迭代求得系統(tǒng)響應(yīng)統(tǒng)計量．首先計算線性懸架(忽略所有非線性因素)的反饋控制增益矩陣C(t)，再由C(t)求解非線性懸架的響應(yīng)統(tǒng)計值．然后利用當前的響應(yīng)統(tǒng)計值求解非線性懸架的控制增益矩陣．重復(fù)進行此迭代過程，直至任意時刻下控制增益矩陣中各分量與響應(yīng)統(tǒng)計量都收斂．

求得控制增益矩陣C(t)和系統(tǒng)響應(yīng)的方差矩陣 P(t)后，各個性能指標J1，J2，J3，J4可表示為:

3．3 初始條件

在求解Lyapunov矩陣方程(22)的過程中，需要給出初始條件P(t0)的值．假定車輛由靜止開始進行勻加速運動．由于路面不平度為空間上的均勻隨機場，則有

由于初始時刻車輛處于靜止狀態(tài)，有

考慮到方差矩陣P(t)的對稱性，有

P(0)中其余分量為零．

3．4 計算結(jié)果及分析

1/2車非線性懸架模型的參數(shù)選取為:

權(quán)系數(shù)選取為 ρ1=1，ρ2=104，ρ3=104，ρ4=10－6．Bouc－Wen遲滯模型的參數(shù)為:α1=α2=0．2，γf=γr=0．5，βf=βr=0．5，Af=Ar=1．5 選取路面參數(shù)為:α =0．12m－1，σ =15mm．

圖2 簧載質(zhì)量加速度均方值Fig．2 The rms sprung mass acceleration

圖3 懸架動撓度均方值Fig．3 The rms stroke responses

圖4 輪胎變形量均方值Fig．4 The rms values of the tyre deflection

圖5 控制力均方值Fig．5 The rms values of the control force

圖6 懸架綜合性能指標Fig．6 The overall performance of the suspension

圖2－6給出了主動懸架與被動懸架在ac=2m/s2下各個性能指標的比較．圖2為乘坐舒適性指標J1隨時間的變化情況，可以看出主動懸架的乘坐舒適性要明顯優(yōu)于被動懸架;隨著時間的增長，被動和主動懸架的乘坐舒適性都會逐漸惡化，但主動懸架的乘坐舒適性指標的變化相對被動懸架要緩慢．圖3為懸架動撓度均方值J2隨時間的變化，結(jié)果與圖2相似．圖4為輪胎變形量均方值J3隨時間的變化情況，被動懸架的操縱穩(wěn)定性要稍好于主動懸架，可能是由于本文所考慮的權(quán)系數(shù)更側(cè)重于乘坐舒適性導(dǎo)致的．圖5為控制力均方值J4隨時間的變化，隨著時間的增加主動懸架所需的控制力變大．圖6為主動懸架與被動懸架的綜合性能指標J隨時間的變化，可以看出雖然在操縱穩(wěn)定性上主動懸架的表現(xiàn)略差于被動懸架，但主動懸架能很好地改善懸架的綜合性能和其他性能指標．

圖7 簧載質(zhì)量加速度均方值Fig．7 The rms sprung mass acceleration

圖9 輪胎變形量均方值Fig．9 The rms values of the tyre deflection

為驗證等效線性化方法的可行性及精確性，利用Monte－Carlo模擬對1/2車非線性懸架系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機響應(yīng)進行驗證．以勻加速情況下的主動懸架為例進行說明，見圖7－11．可以看到等效線性化結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果基本吻合，表明等效線性化方法能有效處理隨機激勵下的非線性被動懸架系統(tǒng)和基于隨機最優(yōu)控制的主動懸架的非平穩(wěn)響應(yīng)分析，且計算量和計算時間要遠遠小于數(shù)值模擬方法．

圖10 控制力均方值Fig．10 The rms values of the control force

圖11 懸架綜合性能指標Fig．11 The overall performance of the suspension

4 結(jié)論

本文研究了具有二次阻尼和遲滯剛度的1/2車非線性懸架系統(tǒng)的非平穩(wěn)隨機響應(yīng)及主動控制問題．利用等效線性化方法研究了考慮路面隨機激勵輸入時，非線性主動懸架系統(tǒng)的近似響應(yīng)量．結(jié)果表明:在本文考慮的權(quán)系數(shù)下，相對被動懸架，主動懸架能很好地改善乘坐舒適性，懸架動撓度和系統(tǒng)的綜合性能，但操縱穩(wěn)定性略有惡化．最后，采用數(shù)值模擬方法驗證了等效線性化方法的有效性，說明等效線性化方法可以有效處理遲滯系統(tǒng)在隨機激勵下的響應(yīng)計算．

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2 鐘順，陳予?。侄尉€性非線性汽車懸架系統(tǒng)的分岔行為．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2009，30(6):631 ～638(Zhong S，Chen Y S．Bifurcation of piecewise－linear nonlinear vibration system of vehicle suspension．Applied Mathematics and Mechanics，2009，30(6):631 ～638(in Chinese))

3 郭大蕾，胡海巖．基于磁流變阻尼器的車輛懸架半主動控制研究－建模與直接自適應(yīng)控制．振動工程學(xué)報，2002，15(1):10 ～ 14(Guo D L，Hu H Y．Semi－active control of vehicle suspensions based on magnetorheological damper:modeling and directive adaptive control．Journal of Vibration Engineering，2002，15(1):10 ～ 14(in Chinese))

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11 曹友強，羅紅，董紅亮．主動懸架最優(yōu)控制性能函數(shù)的加權(quán)系數(shù)研究．系統(tǒng)仿真學(xué)報，2007，19(23):5459～5462(Cao Y Q，Luo H，Dong H L．Study on weight number of performance function by optimum control for active suspension．Journal of System Simulation，2007，19(23):5459～5462(in Chinese))

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13 Kwakernaak H，Sivan R．Linear optimal control systems．New York:John Wiley and Sons Inc，1972

17 April 2012，

14 June 2012．

*This work was supported by the National Natural Science Foundation of China under(10972032，11272051)and the Excellent Young Scholars Research Fund of Beijing Institute of Technology under(2010YS0101)

? Corresponding author E－mail:jinyf@bit．edu．cn

NON-STATIONARY RANDOM VIBRATION AND OPTIMAL ACTIVE CONTROL OF A HALF-CAR NONLINEAR SUSPENSION*

Luo Xuan Jin Yanfei?
(Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle Ministry of Education，School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing100081，China)

This paper studied the non－stationary stochastic response and the optimal control of a half－car dynamical model with nonlinear active suspension under the excitation of random road surface．Using the method of equivalent linearization，the response statistics and stochastic optimal control of the nonlinear suspension were obtained．The comparison and analysis of the non－stationary response of active and passive suspension show that the nonlinear active suspension is better than the passive suspension．Finally，the accuracy of the equivalent linearization technique was verified by Monte Carlo simulation．

nonlinear suspension， non－stationary random response， equivalent linearization， stochastic optimal control

10．6052/1672－6553－2013－012

2012－04－17 收到第 1 稿，2012－06－14 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金(10972032，11272051)、北京理工大學(xué)優(yōu)秀青年教師資助計劃持續(xù)支持項目(2010YS0101)資助

E－mail:jinyf@bit．edu．cn