周艷 張偉 孫敏 陳建恩

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124)

受面內(nèi)激勵(lì)和橫向外激勵(lì)聯(lián)合作用下蜂窩夾層板的雙Hopf分叉*

周艷?張偉 孫敏 陳建恩

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124)

隨著航空航天事業(yè)的發(fā)展，對(duì)各種材料性能的要求也越來(lái)越高．而蜂窩夾層板在結(jié)構(gòu)和性能上具有許多優(yōu)點(diǎn)，已在航空航天等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，并在一些重要結(jié)構(gòu)中充當(dāng)承力部件，但由于其特殊的蜂窩結(jié)構(gòu)，相對(duì)于一般的板，在受力時(shí)會(huì)發(fā)生比較大的變形，所以用非線性理論研究蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)，并考察不同參數(shù)對(duì)非線性振動(dòng)特性的影響，具有重要的理論和實(shí)際意義．如今，蜂窩夾層板的幾何非線性問(wèn)題已引起更多學(xué)者的關(guān)注．在一般均質(zhì)理論的假設(shè)下，一些學(xué)者已經(jīng)研究了各向同性蜂窩夾層板板的非線性動(dòng)力學(xué)特性．本文研究了一類受面內(nèi)激勵(lì)和橫向外激勵(lì)聯(lián)合作用下的四邊簡(jiǎn)支蜂窩夾層板在主參數(shù)共振－1:2內(nèi)共振時(shí)的雙Hopf分叉問(wèn)題．首先利用多尺度法得到系統(tǒng)的平均方程，然后結(jié)合分叉理論得到了系統(tǒng)的分叉響應(yīng)方程，根據(jù)對(duì)分叉響應(yīng)方程的分析，得到了六種不同的分叉響應(yīng)曲線并給出了系統(tǒng)產(chǎn)生雙Hopf分叉的條件．利用數(shù)值方法得到系統(tǒng)在參數(shù)平面的分叉集，通過(guò)對(duì)不同分叉區(qū)域的分析發(fā)現(xiàn)，隨著參數(shù)的變化系統(tǒng)平衡點(diǎn)會(huì)分叉為兩類周期解，隨后周期解會(huì)通過(guò)廣義靜態(tài)分叉為準(zhǔn)周期解，或者通過(guò)廣義Hopf分叉為3D環(huán)面．

雙Hopf分叉， 蜂窩夾層板， 不變環(huán)面， 周期解

引言

近年來(lái)，許多學(xué)著研究了時(shí)滯引起的非共振雙Hopf分叉［1－3］，但對(duì)共振雙 Hopf分叉的研究文獻(xiàn)尚少．共振雙Hopf分叉現(xiàn)象發(fā)生在Rn，n≥4的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，是一種重要的余維2分叉現(xiàn)象．因此，在參數(shù)平面η上研究點(diǎn)()附近鄰域內(nèi)的系統(tǒng)平衡點(diǎn)是非常有必要的．

2001 年，Zhang［4，5］等人分別研究了面內(nèi)激勵(lì)作用下四邊簡(jiǎn)支矩形板以及面內(nèi)激勵(lì)和橫向外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形板的非線性動(dòng)力學(xué)．2005年，Ye和Zhang［6］等人利用全局?jǐn)z動(dòng)法研究了復(fù)合材料層合板的非線性動(dòng)力學(xué)行為．2008年，Hao［7］等人利用三階板殼理論研究了面內(nèi)激勵(lì)和橫向外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形功能梯度板的非線性動(dòng)力學(xué)行為．2008年，Sun［8］等人對(duì)單自由度和二自由度蜂窩夾層板的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究．

本文研究了受面內(nèi)激勵(lì)和橫向外激勵(lì)聯(lián)合作用下蜂窩夾層板的雙Hopf分叉．首先，在第一部分，利用多尺度方法得出了系統(tǒng)在主參數(shù)共振－1:2內(nèi)共振情形下的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下的平均方程;在第二部分中，在分叉理論基礎(chǔ)上，借助于穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則，分析了系統(tǒng)可能存在的各種非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，并給出了分叉解穩(wěn)定性的奇異性邊界．通過(guò)分析我們發(fā)現(xiàn)周期解可能發(fā)生Hopf分叉從而失穩(wěn)．并且研究了系統(tǒng)發(fā)生雙Hopf分叉的條件．在第三部分，借助于Matlab，給出了蜂窩夾層板系統(tǒng)在參數(shù)平面上的一些數(shù)值結(jié)果．

1 平均方程

我們研究的蜂窩夾層板力學(xué)模型如圖1－1所示，同時(shí)受到x方向的面內(nèi)載荷與橫向面外載荷聯(lián)合作用，夾層板在振動(dòng)過(guò)程中考慮阻尼的影響．這是以飛機(jī)飛行中機(jī)翼的顫振為工程背景的．夾層板的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、h，直角坐標(biāo)oxy位于層合板的中性面內(nèi)，z軸向下，設(shè)板內(nèi)任一點(diǎn)沿x、y和z方向的位移分別為u、v和w，沿著x方向作用的面內(nèi)載荷為Px=P0－P1cosΩ2t，橫向載荷為Fx=F0－F1cosΩ1t．夾層板分為三層，上下蒙皮是完全相同的各向同性材料，蒙皮厚度為hf．中間由正六角形蜂窩芯層隔開，蜂窩芯軸向?yàn)樽鴝方向，蜂窩芯厚度為hc．

圖1 蜂窩夾層板模型Fig．1 the model of honeycomb sandwich plate

基于von Karman板理論，應(yīng)用 Hamilton原理以及二階Galerkin離散，我們得到如下形式的二自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程［9］，

假設(shè)系統(tǒng)是一個(gè)弱非線性系統(tǒng)，我們引入小擾動(dòng)項(xiàng)ε，可得到如下方程，

下面我們研究蜂窩夾層板在主參數(shù)共振－1:2內(nèi)共振，即

其中ω1和ω2是相應(yīng)線性系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率，為了計(jì)算方便，設(shè)Ω=2．

利用多尺度方法進(jìn)行攝動(dòng)分析，設(shè)方程(2)的一致漸近解為

式中T=t，T1= εt．

微分算子為

式中Dn=?/?Tn，n=0，1．將式(3)－(5)代入方程(2)，令等式兩邊ε同次冪的系數(shù)相等，得到

ε0階

方程(7)復(fù)數(shù)形式的解可以寫為，

將(8)式代入(7)式得

其中CC為復(fù)共軛項(xiàng)，NST為非長(zhǎng)期項(xiàng)．

令方程的長(zhǎng)期項(xiàng)等于零，可以得到如下復(fù)數(shù)形式的平均方程

代入方程(10)，并分離實(shí)部和虛部，得到直角坐標(biāo)形式的平均方程為

2 局部分叉分析

在這一部分，我們主要考慮蜂窩夾層板系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解包括平衡點(diǎn)和可能存在的周期解，以及它們的穩(wěn)定條件．

2．1 初始平衡解

方程(11)有平衡解x1=x2=x3=x4=0．由方程(11)的Jacobian矩陣的特征值我們可以判斷平衡解(IES)的穩(wěn)定性．方程(11)在初始點(diǎn)xi=0(i=1，…，4)處的 Jacobian 矩陣為

對(duì)應(yīng)的特征方程為

由此可得平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件為

此時(shí)，式(14)有三個(gè)負(fù)實(shí)部的特征值和一個(gè)零特征值，由奇異性理論可得系統(tǒng)(11)的IES點(diǎn)在奇異性邊界L1處發(fā)生靜態(tài)分叉，對(duì)應(yīng)于原系統(tǒng)(1)的周期解 PSガ(即方程(11)的解x1≠0，x2≠0，x3=x4=0或者方程(12)的解a1≠0，a2=0)．由此穩(wěn)態(tài)解PSガ可以表示為

此時(shí)可以得到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)解PSギ(即方程(11)的解x1=0，x2=0，x3≠0，x4≠0 或者方程(12)的解a1=0，a2≠0)，由此周期解PSギ可以表示為

2．2 周期解穩(wěn)定性分析

通過(guò)以上分析可得，當(dāng)

時(shí)，方程(11)在(x1，x2，0，0)處的 Jacobian 矩陣為

其中

特征方程為

＞0時(shí)，周期解PSガ穩(wěn)定的奇異性邊界為

在奇異性邊界L3上式(24)的另外兩個(gè)特征根為

當(dāng)μ2＞0時(shí)，存在奇異性邊界

此時(shí)式(11)的特征方程為

從式(29)可得在奇異性邊界線L5上，系統(tǒng)存在一對(duì)純虛特征根

因此，系統(tǒng)(11)的周期解PSギ在奇異性邊界上通過(guò)Hopf分叉失穩(wěn)，Hopf分叉的頻率為

當(dāng)μ2＞0時(shí)，存在奇異性邊界

2．3 準(zhǔn)周期解穩(wěn)定性分析

其中a1，a2滿足下列方程

此時(shí)，式(11)在準(zhǔn)周期解處的特征方程為

由Hurwitz準(zhǔn)則，準(zhǔn)周期解穩(wěn)定的條件為

因此，由以上分析可得在p2＞0，p4＞0和p3(p1p2－p3)－＞0時(shí)，準(zhǔn)周期解穩(wěn)定性的奇異性邊界為

當(dāng)p1＞0，p2＞0和p4＞0時(shí)，準(zhǔn)周期解穩(wěn)定性的奇異性邊界為類似以上分析，準(zhǔn)周期解在奇異性邊界L8上會(huì)發(fā)生Hopf分叉，從而失穩(wěn)．

2．4 雙Hopf分叉解的穩(wěn)定性分析

由式(12)可得

式(41)又可以寫為

由(42a)中第一個(gè)式子可得

將(43a)，(43b)分別代入(42b)中第一式，我們可以得到分叉響應(yīng)方程為

3 數(shù)值模擬

利用數(shù)值模擬方法對(duì)蜂窩夾層板系統(tǒng)在主參數(shù)共振－1:2內(nèi)共振情況下的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究．利用Matlab程序?qū)ο到y(tǒng) (2)進(jìn)行數(shù)值模擬．結(jié)果如圖2和3所示．其中(a)，(c)和(h)是系統(tǒng)的二維相圖，(b)和(d)是系統(tǒng)兩個(gè)模態(tài)的波形圖，(e)和(f)是系統(tǒng)的三維相圖．我們選取如下初始值和參數(shù)

圖2 系統(tǒng) (1)的一倍周期運(yùn)動(dòng)，μ1=0．3，μ2=0．4Fig．2 Phase portraits for honeycomb sandwich plate

圖3 系統(tǒng)平衡解分叉出現(xiàn)的周期解，此時(shí) μ=0，μ=0，σ ＞121Fig．3 Phase portraits for honeycomb sandwich plate

4 結(jié)論

本文研究了受面內(nèi)激勵(lì)和橫向激勵(lì)聯(lián)合作用下蜂窩夾層板的雙Hopf分叉問(wèn)題．利用分叉理論和Hopf分叉定理給出了系統(tǒng)平衡點(diǎn)在參數(shù)空間小鄰域內(nèi)發(fā)生的各種分叉現(xiàn)象，以及在主參數(shù)共振—1:2內(nèi)共振情形下發(fā)生雙Hopf分叉的必要條件．最后，數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論分析的正確性．

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10 Zhang W，Yu P．Degenerate bifurcation analysis on a parametrically and externally excited mechanical system．Intenationl Journal of Bifurcation and Chaos，2001，11(3):689～709

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(FNNSFC)(10732020)，and the National Natural Science Foundation of China(NNFSC)(11072008)

? Corresponding author E－mail:yanzhou924@emails．bjut．．edu．cn

DOUBLE HOPF BIFURCATIONS OF A HONEYCOMB SANDWICH PLATE SUBJECTED TO TRANSVERAL AND IN－PLANE EXCITATION*

Zhou Yan?Zhang Wei Sun Min Chen Jianen
(Beijing University of Technology，Beijing100124，China)

A honeycomb sandwich plate with hexagonal honeycomb core was investigated to reveal the dynamic behavior near a critical point characterized by initial resonance．Based on the averaged equations，the transition boundaries were obtained to divide the parameter space into a set of regions，which correspond to different types of solutions．By applying the stability criteria to determine the stable conditions of respective equilibrium points，the conditions of the occurrence of double Hopf bifurcations were found．Two types of periodic solutions may bifurcate from the initial equilibrium．And the periodic solutions may lose their stabilities via a generalized static bifurcation，which leads to stable quasi－ periodic solutions，or via a generalized Hopf bifurcation，which leads to stable 3D tori．

Hopf bifurcation， honeycomb sandwich plates， invariant torus， periodic solution

12 April 2012，

21 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－010

2012－04－12 收到第 1 稿，2012－06－21 收到修改稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(10732020)，國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11072008)

E－mail:yanzhou924@emails．bjut．edu．cn