鄒鴻翔 魏克湘 杜榮華 劉迎春

(1．長沙理工大學汽車與機械學院，長沙 410004)(2．湖南工程學院機械工程系，湘潭 411101)

多頻簡諧激勵下裂紋梁的非線性振動響應*

鄒鴻翔1魏克湘2?杜榮華1劉迎春2

(1．長沙理工大學汽車與機械學院，長沙 410004)(2．湖南工程學院機械工程系，湘潭 411101)

主要對含裂紋梁在振動與超聲波聯(lián)合激勵下所出現(xiàn)的非線性動力響應的機理和特性進行研究．將疲勞裂紋在外加激勵下的狀態(tài)簡化為周期性張開－閉合的非線性過程，基于圣維南原理，采用有限元方法建立了含非對稱疲勞裂紋梁的非線性數(shù)值分析模型．利用非線性輸出頻率響應函數(shù)(NOFRFs)概念，對裂紋梁在高－低頻簡諧激勵下所出現(xiàn)的非線性動力響應特性的機理進行了解釋．具體以懸臂梁為例，仿真分析了裂紋深度和裂紋位置等參數(shù)的變化對系統(tǒng)非線性動力響應特性的影響規(guī)律．

非線性特性， 裂紋檢測， 多頻激勵， 非線性輸出頻率響應函數(shù)

引言

疲勞裂紋是結(jié)構(gòu)損傷的主要方式之一，發(fā)展實時可靠的結(jié)構(gòu)疲勞裂紋早期無損檢測方法，以避免由于疲勞裂紋而引發(fā)的事故，具有重要的工程應用價值．目前國內(nèi)外學者已提出了很多結(jié)構(gòu)無損檢測方法，如聲發(fā)射法［1］，電渦流法［2］，基于振動法［3］和超聲檢測技術(shù)［4］．其中超聲檢測技術(shù)具有比較大的檢測范圍，對小裂紋也有高靈敏度［5］，獲得了廣泛關注．

傳統(tǒng)超聲檢測技術(shù)主要利用聲波傳播過程中遇到缺陷時波的反射、散射和幅值變化等線性特征進行缺陷檢測．最近幾年，人們對利用非線性振動和聲學現(xiàn)象進行裂紋檢測產(chǎn)生了興趣，因為基于聲學信號的非線性效應方法比其他基于線性效應的技術(shù)對裂紋更加敏感［6，7］．這種方法利用高頻超聲波和低頻振動對結(jié)構(gòu)進行聯(lián)合激勵，當被檢測結(jié)構(gòu)出現(xiàn)裂紋時，兩種激勵信號相互作用導致波的調(diào)制—“弱”的聲波信號被“強”的振動信號調(diào)制，出現(xiàn)非線性調(diào)制響應效應，并且輸出響應的幅值與裂紋大小和位置直接相關［8，9］．因此，非線性調(diào)制響應可以作為結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)裂紋的象征，用于結(jié)構(gòu)裂紋的無損檢測．目前已有很多學者進行了這方面的研究．Donskoy和 Sutin［10］利用超聲波和振動的非線性調(diào)制作用在不同的結(jié)構(gòu)中進行裂紋檢測，他們發(fā)現(xiàn)，非線性技術(shù)比傳統(tǒng)線性聲學技術(shù)有一定的優(yōu)點，特別是辨別能力強、敏感度高并適用于高度不均勻結(jié)構(gòu)．Duffour等人［6］研究了用于金屬結(jié)構(gòu)裂紋檢測的振動調(diào)制方法，研究證明了這種方法對裂紋分開和閉合的初始狀態(tài)極其敏感．Parsons和Staszewski［8］利用高－低頻激勵對金屬結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋進行檢測．Ryles等人［11］比較了非線性聲波和Lamb波技術(shù)用于結(jié)構(gòu)疲勞裂紋的檢測，結(jié)果表明兩種方法對微疲勞裂紋有相似的敏感度．Hu［9］和Aymerich［12］等人分別對非線性振動調(diào)制方法用于金屬結(jié)構(gòu)和復合材料結(jié)構(gòu)的裂紋檢測進行了研究．但是從所參考的文獻來看，大部分研究工作主要是對非線性調(diào)制效應用于裂紋檢測的定性分析很少有嘗試對裂紋的定量評估．同時，盡管提出了不同的理論嘗試去解釋這些非線性效應，但仍然沒有很好揭示低頻振動激勵信號如何調(diào)制高頻聲波響應［9］．

本文主要擬對裂紋結(jié)構(gòu)在受到高頻超聲波和低頻振動混合激勵下的非線性響應特征進行系統(tǒng)分析，探討裂紋梁在高－低頻簡諧激勵下所出現(xiàn)的非線性動力響應特性的機理，定量評估裂紋梁的非線性調(diào)制響應對裂紋尺寸的敏感度．

1 裂紋梁的有限元模型

考慮如圖1所示的橫向閉合裂紋梁結(jié)構(gòu)．設梁的長度為L，高度為h，寬度為b，有一深度為a的裂紋，距離左端為Lc．

圖1 裂紋梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 Cantilever beam with an edge crack

假設當梁振動時，裂紋會周期性開—合，且梁的剛度隨著裂紋狀態(tài)的變化而改變(如圖2所示)．則裂紋可以采用改變梁的剛度來建模．目前已有很多裂紋梁的建模方法，一般可以歸納為以下三類［13］:局部剛性降低模型、離散彈簧模型和二維或三維復合模型．本文采用參考文獻［14］中所提出的有限元方法對裂紋進行建模．

圖2 裂紋開—合過程Fig．2 Crack opening－ closing process

圖3 裂紋單元示意圖Fig．3 Schematic of a crack element

1．1 單元矩陣

基于圣維南原理，假設應力場僅在裂紋鄰近區(qū)域受到影響，則當單元尺寸在一定范圍內(nèi)時，可以認為除裂紋單元之外的其他單元，其剛度矩陣不變．對圖3所示的裂紋單元，假設只考慮彎曲變形，則其應變能可以表達為

其中，W(0)是無裂紋單元的應變能

而W(1)是因為裂紋而增加的應變能，可以通過以下給出

在以上等式中，E'=E/(1+ν)為平面應變，E是彈性模量，ν是泊松比，I是橫向截面的慣性力矩，s=a/h是相對裂紋大小，a是裂紋深度，h和b分別是橫截面的高度和寬度，而K1和KⅡ分別為裂紋分開和閉合時的應力強度因子．

利用線性彈性范圍的卡氏定理，裂紋單元Ce的柔度矩陣的向量cik可以闡述為

而無裂紋單元的柔度矩陣中的向量可以寫作

利用虛功原理，無裂紋單元的剛度矩陣可以寫作

而裂紋單元的剛度矩陣為

其中T為從轉(zhuǎn)換矩陣，且為

假設裂紋只對梁的剛度產(chǎn)生影響且對質(zhì)量和阻尼沒有影響，因此可以得到單元質(zhì)量矩陣

其中m是梁每一單位長度的質(zhì)量．

基于比例阻尼模型［15］，阻尼矩陣D可以通過與無裂紋結(jié)構(gòu)相關的模態(tài)矩陣轉(zhuǎn)換計算得到

其中ζi是第i個阻尼比，ωi是第i個固有頻率，Mi是第i個與無裂紋梁相關的模態(tài)質(zhì)量．

1．2 運動方程

考慮在激勵力F作用下裂紋截面分開和閉合的變化狀態(tài)．當裂紋分開時，它影響局部裂紋單元的剛度．當裂紋閉合時，它對梁剛度的影響可以忽略不計．因此裂紋梁的運動方程可以通過以下兩種不同等式給出，一種描述裂紋閉合時的狀態(tài)，而另一種表示裂紋分開時的狀態(tài)．

其中，參數(shù)δ確定梁的裂紋狀態(tài) (δ=0代表裂紋閉合，δ=1代表裂紋張開)，u為位移向量，M為質(zhì)量矩陣，D為阻尼矩陣，Ku和Kd分別為裂紋閉合和張開時的剛度矩陣，P為力向量，而F(t)為激勵力函數(shù)．

2 高低頻調(diào)制機理

方程(14)描述的裂紋梁是一個雙線性特性的非線性系統(tǒng)．許多研究已經(jīng)表明，當雙線性特性的非線性系統(tǒng)受到單諧波輸入時，在輸出響應中可以觀察到超諧波成分．而當受到多個諧波輸入，在系統(tǒng)響應中一些新的頻率成分以輸入諧波的“耦合項”產(chǎn)生［18］．這些現(xiàn)象稱為非線性效應，已經(jīng)證明其對結(jié)構(gòu)中的裂紋非常敏感．這種現(xiàn)象可以通過Volterra級數(shù)理論來解釋［17］．

眾所周知，Volterra級數(shù)方法是通過一系列初次和高次頻率響應函數(shù)(FRFs)［16，17］來表示一個非線性系統(tǒng)，是分析非線性系統(tǒng)的有力工具．基于Volterra級數(shù)，Lang等人［19］提出了非線性輸出頻率響應函數(shù)(NOFRFs)的概念，并且發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)裂紋可以通過觀察NOFRFs中的各種諧波波峰進行檢測．這個概念可以認為是線性系統(tǒng)的FRFs在非線性領域的推廣．在本節(jié)中，我們采用NOFRFs的概念來解釋多頻激勵下裂紋梁的非線性響應．

在方程 (14)中，單元節(jié)點位移ui(t)(i=1，···，2n)和輸入力F(t)的關系可以用Volterra級數(shù)進行描述［18］

其中h(l)(τ1，…，τl)是第l階 Volterra級數(shù)，而N表示系統(tǒng)非線性的最大階數(shù)．在頻域中，公式(15)可以表示為

上式中，Gl(jω)是第l階非線性輸出頻率響應函數(shù)(NOFRF)，它被 Lang 和 Billings［19］定義為

定義了廣義頻率響應函數(shù)(GFRF)，它是hl(τ1，…，τl)的多維傅里葉變換，而

當非線性系統(tǒng)受到諧波力輸入

則輸出譜Ui(jω)可以描述為［19］

定義系統(tǒng)的第l階輸出頻率響應為Ωl，由公式(22)可以得到

而Ωl由一系列頻率確定

從方程(26)可知，如果所有的 ωk1，…，ωkl都取等于－ωF，則ω=－lω;如果其中的第k個也取等于 ωF，則 ω =(－l+2k)ωF．k最大可設為l．因此Ul(jω)可能包含的頻率組成為

而且，容易推出

圖4 多頻激勵的傅里葉頻譜Fig．4 Fourier spectrum of the high － low frequency modulation response

由上面的結(jié)果可以明顯得出，當一個非線性系統(tǒng)受到一個諧波激勵時會產(chǎn)生超諧波分量．

若考慮兩種不同頻率簡諧力的激勵輸入

其中，A1和A2是輸入的幅值，ωF1和ωF2是不同的激勵頻率，且滿足ωF1≤ωF2，頻率組成部份Ωl可以采用同樣的方法得到［18］

故當裂紋梁受到兩種不同頻率的諧波激勵時，在響應譜的主頻 ωF1周圍可以觀察到邊頻 ωF1±nωF2(n=1，2，3，…)(如圖 4 所示)．

3 仿真結(jié)果分析

對如圖1所示的裂紋懸臂梁，取如下參數(shù):長度L=0．3m，寬度b=0．02m，高度h=0．02m，質(zhì)量密度 ρ=7850kg/m3，彈性模量E=206GPa，裂紋位置Lc=0．15m，裂紋深度a=0．002m．利用 4 階Runge－Kutta方法對方程(14)所描述的裂紋梁進行時域仿真，可以得到系統(tǒng)的響應特性．在仿真過程中，裂紋狀態(tài)(即分開還是閉合)可以通過裂紋單元節(jié)點i和i+1的變形響應斜度θi和θi+1之間的關系來描述．對于一個處于梁上半部的裂紋，當裂紋閉合時，滿足θi＜θi+1．在本研究中，假設激勵輸入點離梁固定端的距離為0．4L，并且只考慮梁自由端橫向位移的輸出響應．取高頻激勵和低頻激勵的頻率分別為15kHz和0．92 kHz，且激勵力強度選為A1=A2=0．05ω1．

圖5 不同裂紋位置下裂紋深度對結(jié)構(gòu)非線性響應幅值的影響:Fig．5 The effect of crack depth on the nonlinear response amplitudes of the system

不同裂紋位置下裂紋深度對結(jié)構(gòu)非線性響應幅值的影響規(guī)律如圖5所示，其中假設裂紋深度a小于0．15h．由圖可以看出，對于不同的裂紋位置，第一對邊頻的平均幅值都隨著裂紋深度的增加而增大，而高頻載波響應幅值卻隨之減?。@點與先前相關文獻的理論和試驗研究結(jié)果一致［6－12］．從圖中還可以看出，系統(tǒng)響應幅值的變化程度在不同的裂紋位置是不同的．例如，對于裂紋位于Lc=0．5L和0．9L時，其響應幅值的變化基本一致，其中第一對邊頻平均幅值從 －280dB增加到大約180dB，但對于裂紋位置Lc=0．2L的情況，其響應的平均幅值僅增加了大約60dB．這說明裂紋尺寸的非線性效應敏感度與裂紋位置的非線性效應敏感度并不一致．

圖6為對應不同裂紋深度的結(jié)構(gòu)非線性響應譜．由圖6a可以看出，當結(jié)構(gòu)沒有裂紋出現(xiàn)時，響應譜只有1個高頻載波的響應波峰．一旦出現(xiàn)裂紋(如圖6b所示)，在高頻載波響應波峰的兩邊就會對稱出現(xiàn)一組邊頻．而且，隨著裂紋深度的增大，響應譜中邊頻的數(shù)量和幅值也隨之增加．故可以通過測量響應譜中的邊頻數(shù)量和幅值來確定裂紋的大?。?/p>

圖6 對應不同裂紋尺寸的結(jié)構(gòu)非線性響應譜Fig．6 Response spectra of the system for different crack size

圖7 裂紋尺寸及裂紋位置對結(jié)構(gòu)非線性響應幅值的影響規(guī)律:Fig．7 The effect of crack position on the nonlinear response amplitudes of the system

圖7為對應不同裂紋深度下，裂紋位置對結(jié)構(gòu)高頻載波響應頻率和邊譜響應頻率幅值的影響規(guī)律，其中裂紋深度分別取為 0．05h，0．1h和0．15h．由圖可以看到，響應幅值隨著裂紋位置周期性的變化．但是應該注意到對于不同的裂紋尺寸，裂紋位置的響應幅值有很大的變化．在某些點響應幅值很強且很容易被觀測到，而在其他一些點可能太微弱以至于不能被發(fā)現(xiàn)．這種現(xiàn)象的原因可以被解釋如下:對于某些裂紋點，激勵力的位置僅位于節(jié)點，所以不能引起足夠大的響應．這意味裂紋位置的非線性效應敏感度比裂紋大小的非線性效應敏感度要更加復雜．

4 結(jié)論

本文對含裂紋梁在振動與超聲波聯(lián)合激勵下所出現(xiàn)的非線性動力響應的機理和特性進行了研究．研究結(jié)果顯示，結(jié)構(gòu)的非線性響應特性受裂紋深度和位置的影響，故可以采用多頻簡諧激勵下的非線性響應來檢測結(jié)構(gòu)裂紋．但是裂紋位置的非線性效應敏感度比裂紋大小的非線性效應敏感度要更加復雜，表明利用多頻激勵的非線性響應檢測裂紋尺寸大小比用它檢測裂紋位置更為合適．

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(51075138)and Science and technology Plan Projects of Hunan Province Science and technology Department(2012GK3081)

? Corresponding author E－mail:wei_kx@163．com

NONLINEAR DYNAMIC RESPONSE OF A CRACK BEAM UNDER HIGH-LOW FREQUENCIES CO-EXCITATION*

Zou Hongxiang1Wei Kexiang2?Du Ronghua1Liu Yingchun2
(1．Department of Automotive and Mechanical Engineering，Changsha University of Science＆Technology，Changsha410004，China)(2．Department of Mechanical Engineering，Hunan Institute of Engineering，Xiangtan411101，China)

The nonlinear response characteristics of a crack beam subjected to a high－frequency acoustic wave simultaneously with a low－frequency vibration excitation were discussed．A finite element model of the crack beam was developed to perform the investigation，in which a closing crack model，fully open or fully closed，was employed to represent the damaged element．Based on the concept of nonlinear output frequency response functions(NOFRFs)，the occurrence of the nonlinear response of a cracked beam subjected to high－low frequencies co－excitation was explained．The dependences of the nonlinear response amplitudes on the crack depth and position were analyzed by using the finite element model to simulate the time domain response of the crack beam．The results show that the high－low frequency excitation method is suitable for crack detection based on the nonlinear effect．

nonlinear effect， crack detection， high－low frequency modulation， nonlinear output frequency response functions

15 July 2012，

18 July 2012．

10．6052/1672－6553－2013－035

2012－07－15 收到第 1 稿，2012－07－18 收到修改稿．

*國家自然科學基金資助項目(51075138)和湖南省科學技術(shù)廳科技計劃項目(2012GK3081)

E－mail:wei_kx@163．com