柴元 陳立群，2?

(1．上海大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所，上海 200072)(2．上海大學(xué)力學(xué)系，上海 200444)

主動滑?？刂茣r滯時空混沌星形網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步*

柴元1陳立群1，2?

(1．上海大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所，上海 200072)(2．上海大學(xué)力學(xué)系，上海 200444)

研究了拓?fù)涞葍r的多個時空混沌系統(tǒng)組成的星形網(wǎng)絡(luò)，提出了一種主動滑?？刂茣r滯時空混沌星形網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步控制方法，實(shí)現(xiàn)了多個時空混沌系統(tǒng)的同步．在結(jié)合主動控制和滑?？刂品椒ǖ幕A(chǔ)上，設(shè)計(jì)了主動滑?？刂破鞯慕Y(jié)構(gòu)，得到了網(wǎng)絡(luò)函數(shù)投影同步的必要條件．以Gray—Scott時空系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的星形網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行了仿真模擬．結(jié)果驗(yàn)證了主動滑?？刂破鞯挠行裕?/p>

時空混沌， 時滯函數(shù)投影同步， 星形網(wǎng)絡(luò)， Lyapunov穩(wěn)定性定理， 主動滑?？刂?/p>

引言

自從 Ott［1］和 Carroll［2］等人在 1990 年開創(chuàng)性地實(shí)現(xiàn)混沌同步以來，由于其潛在的應(yīng)用價值，喚起了許多領(lǐng)域科研人員的研究興趣．隨之，很多同步控制方法被提出，例如，廣義同步，投影同步，相同步，滑?？刂仆剑赃m應(yīng)同步等．最近，基于主動控制和滑?？刂品椒ǖ膬?yōu)點(diǎn)，提出了一種實(shí)現(xiàn)混沌同步的新方法“主動滑?？刂品椒ā保?］．其同步機(jī)理分為兩步:首先選擇適當(dāng)?shù)闹鲃涌刂破鳎缓笤O(shè)計(jì)滑?？刂破鱽韺?shí)現(xiàn)同步．另一個有趣的同步現(xiàn)象被創(chuàng)建，叫做函數(shù)投影同步［4］，驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量同步到一個函數(shù)矩陣．因?yàn)楹瘮?shù)投影同步的多樣性，所以很多的學(xué)者進(jìn)行了這方面的研究．眾所周知在神經(jīng)元和保密通訊信息傳遞時，時間延遲是不可避免的［5］．所以，在一個系統(tǒng)與其他系統(tǒng)同步的過程中，考慮時滯的影響是非常合理的．

通過對比我們發(fā)現(xiàn)，在外部影響方面，大多數(shù)的同步文獻(xiàn)都沒有考慮任何的外部擾動．然而，從實(shí)際的角度來看，噪聲干擾是不可避免的．在不斷變化的環(huán)境中［6］，混沌系統(tǒng)總是被環(huán)境中的一些未知因素所干擾，對時空混沌施加一個小擾動將導(dǎo)致該系統(tǒng)的混沌行為急劇變化．由于混沌同步是不可避免地受到外部干擾，人為增加干擾影響到混沌系同步的理論已成為重要的研究課題．在選取系統(tǒng)方面，多數(shù)的科研人員選擇時變混沌系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行同步研究，然而自然生態(tài)系統(tǒng)是由大量的時空混沌系統(tǒng)所構(gòu)成．時空混沌同步在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用價值［7］，例如，安全通信，物理，自動控制，流體，化學(xué)和生物系統(tǒng)．因此，時空混沌同步已經(jīng)吸引了學(xué)者非常廣泛的關(guān)注．

被上述討論所激發(fā)，本文中，我們考慮了外部擾動對混沌同步的影響，選取更符合實(shí)際的時空混沌系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，通過主動滑?？刂品椒?，研究了時滯時空混沌星形網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步．基于主動滑模控制技術(shù)，給出了星形復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步必要條件，以確保函數(shù)投影滯后同步發(fā)生，并有效地消除了噪聲的干擾．?dāng)?shù)值模擬結(jié)果表明該方法的可行性和有效性．

1 同步原理

考慮一個由N個相同的時空混沌系統(tǒng)作為節(jié)點(diǎn)的星形復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其中每個節(jié)點(diǎn)在t時刻的狀態(tài)方程為:

以N個時空混沌系統(tǒng)(1)為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，構(gòu)成一個單向連接的星形網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i滿足以下狀態(tài)方程:

其中u(x，t)=［u(x，t)，u(x，t)，…，u(x，t)］T∈

i12nRn為節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)變量，x，t為系統(tǒng)的空間和時間變量．A∈Rn×n代表系統(tǒng)線性部分的常數(shù)矩陣，F(xiàn):Rn→Rn是系統(tǒng)的非線性部分．gij表示耦合矩陣G的矩陣元，它的具體表示因網(wǎng)絡(luò)的連接類型而異，并代表網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)．本文采用單變量耦合連接，內(nèi)部耦合函數(shù)為uj(x，t－τj)，Di(t)是外部干擾，Ui(x，t)為控制器．

假設(shè)存在一個函數(shù)矩陣P(t)=diag{P1(t)，P2(t)，…，Pn(t)}，P(t)表示一個“函數(shù)矩陣”．如果滿足，limt→∞‖u1(x，t－ τ1)－P(t)ui+1(x，t－ τi+1)‖ =0，則稱星形網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了“函數(shù)投影滯后同步”，‖D1(t－ τ1)‖ ＜ δ1，‖P(t)Di+1(t－ τi+1)‖ ＜ δ2，其中 δ1，δ2為常數(shù)．

定義誤差ei(x，t)=u1(x，t－ τ1)－P(t)ui+1(x，t－τi+1)，網(wǎng)絡(luò)的誤差可以被表示為:

實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步，即要滿足下式:

依據(jù)主動控制設(shè)計(jì)方法，我們選擇如下的控制器Ui(x，t)

式中，i=2，3，…，N．

誤差系統(tǒng)(3)改寫為

等式(6)描述了一個新定義的控制輸入Hi(x，t)．在主動滑?？刂品▌t中，Hi(x，t)是基于滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)的

其中K=［K1，K2，…，Kn］T∈Rn是一個常數(shù)增益矩陣和Wi(x，t)∈R是控制輸入，滿足下式:

設(shè)Si=Si(e)為滑模控制的切換函數(shù)，于是有

滑模面的定義如下:

其中C=［C1，C2，…，Cn］是一個常數(shù)矩陣，當(dāng)滑模面滿足下列條件:

基于(9)－(11)，可以推斷出如下結(jié)果:

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運(yùn)動時，需滿足如下條件:

其中sgn(·)表示符號函數(shù)．常數(shù)滿足q＞0和r＞0．

依據(jù)等式(9)，(10)，(13)，我們有

在實(shí)際工程應(yīng)用中干擾是未知的．因此，控制輸入Wi(x，t)被改寫如下:

定理1 通過添加控制輸入Wi(x，t)，滿足不等式‖C‖(δ1+δ2)＜q，可實(shí)現(xiàn)星形網(wǎng)絡(luò)函數(shù)滯后投影同步，也就是說，誤差的狀態(tài)軌跡沿著滑模面收斂到零．

證明 考慮如下的Lyapunov函數(shù):

等式(16)的時間導(dǎo)數(shù)是

當(dāng)滿足不等式‖C‖(δ1+δ2)＜q，即．根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的．定理1證明完畢．

2 數(shù)值模擬

為了說明上述的同步原理，以拓?fù)涞葍rGray－Scott時空混沌系統(tǒng)作為星型網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行同步模擬．

Gray－Scott時空混沌系統(tǒng)，其動力學(xué)方程如下描述［8］:

其中參量a=0．028，b=0．053，d1=2 × 10－5，d2=10－5．周期性邊界條件取u1(0，t)=u1(L，t)=1，u2(0，t)=u2(L，t)=0．選取時間步長 Δt=1，空間步長ΔL=0．01．系統(tǒng)狀態(tài)變量的時空演化呈現(xiàn)混沌行為，其相圖如圖1、2所示．單向連接星形網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣G為

其中P1(t)=diag{60+2sin(t)，60+2cos(t)}，P2(t)=diag{40+2sin(t)，40+2cos(t)}，P3(t)=diag{20+2sin(t)，20+2cos(t)}并且U1(x，t)=0．控制參數(shù)C=［1，1］，K=［1，1］T，r=0．2，q=0．008．根據(jù)定理1，得到控制輸入Wi(x，t)

圖1 變量u1(x，t)的時空演化Fig．1 The spatiotemporal evolution of u1(x，t)

圖2 變量u2(x，t)的時空演化Fig．2 The spatiotemporal evolution of u2(x，t)

從如圖3－8所示的誤差演化圖樣中可以看出，誤差值在演化初始未加控制階段振蕩還存在，在t=2300施加控制后，經(jīng)過很短的時間序列后，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間相應(yīng)狀態(tài)變量的運(yùn)動軌跡趨于一致，即誤差變量趨于零，網(wǎng)絡(luò)同步得以實(shí)現(xiàn)．模擬仿真我們還發(fā)現(xiàn)，無論節(jié)點(diǎn)數(shù)N取何值，無論節(jié)點(diǎn)是任何的時間或時空混沌系統(tǒng)，整個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步均可實(shí)現(xiàn)．

圖3 誤差變量e11(x，t)的時空演化Fig．3 The spatiotemporal evolution of error e11(x，t)

圖4 誤差變量e12(x，t)的時空演化Fig．4 The spatiotemporal evolution of error e12(x，t)

圖5 誤差變量e21(x，t)的時空演化Fig．5 The spatiotemporal evolution of error e21(x，t)

圖6 誤差變量e22(x，t)的時空演化Fig．6 The spatiotemporal evolution of error e22(x，t)

圖7 誤差變量e31(x，t)的時空演化Fig．7 The spatiotemporal evolution of error e31(x，t)

圖8 誤差變量e32(x，t)的時空演化Fig．8 The spatiotemporal evolution of error e32(x，t)

3 結(jié)論

本文通過以Gray－Scott時空系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的星形網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行了仿真模擬，得到如下結(jié)論:任選網(wǎng)絡(luò)一個節(jié)點(diǎn)的Gray－Scott時空混沌系統(tǒng)作為目標(biāo)系統(tǒng)，整個星形網(wǎng)絡(luò)將同步于這個指定的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的時空混沌狀態(tài)．無論星形網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)如何遞增以及何時開始施加網(wǎng)絡(luò)耦合，經(jīng)過短暫的時間序列，整個星形網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的誤差變量隨時間的演化均迅速地趨于零．

1 Ott E，Grebogi C，Yorke J A ．Controlling chaos．Physical Review Letter，1990，64(11):1196～1199

2 Pecora L M，Carroll T L．Synchronization in chaotic systems．Physical Review Letter，1990，64(8):821 ～824

3 Bowong S，Kakmeni，F(xiàn) M M，Tchawoua C．Controlled synchronization of chaotic systems with uncertainties via a sliding mode control design．Physical Review E，2004，70(6):066217

4 Sudheer K S，Sabir M．Function projective synchronization in chaotic and hyperchaotic systems through open－plusclosed－loop coupling．Chaos，2010，20:013115

5 Selivanov A A，Lehnert J，Dahms T，H?vel P，F(xiàn)radkov A L，Sch?ll E．Adaptive synchronization in delay－coupled networks of Stuart－Landau oscillators．Physical Review E，2012，85(1):016201

6 Behzad M，Salarieha H，Alastya A．Chaos synchronization in noisy environment using nonlinear filtering and sliding mode control．Chaos Solitons Fractals，2008，36(5):1295～1304

7 Lü L，Meng L．Parameter identification and synchronization of spatiotemporal chaos in uncertain complex network．Nonlinear Dynamics，2011，66(4):489～495

8 Pearson J E．Complex patterns in a simple system．Sci－ence，1993，261(5118):189～192

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11232009)，Shanghai Subject Chief Scientist Project(09XD1401700)，Shanghai Leading Talent Program，Shanghai Leading Academic Discipline Project(S30106)

? Corresponding author E－mail:lqchen@staff．shu．edu．cn

FUNCTION PROJECTIVE LAG SYNCHRONIZATION OF SPATIOTEMPORAL CHAOS IN STAR NETWORK VIA ACTIVE SLIDING MODE CONTROL*

Chai Yuan1Chen Li Qun1，2?
(1．Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai200072，China)(2．Department of Mechanics，Shanghai University，Shanghai200444，China)

This paper investigated function projective lag synchronization of spatiotemporal chaos in star network．A control scheme was designed via active sliding mode approach．Based on the combination of active control and sliding mode control method，the structure of the active sliding mode controllers was designed，and the necessary conditions of star network function projective lag synchronization were obtained．The control law was applied to spatiotemporal Gray－Scott systems．Numerical simulations were presented to demonstrate the effectiveness of the proposed active sliding mode controllers．

spatiotemporal chaos， function projective lag synchronization， star network， Lyapunov stability theory，active sliding mode control

27 June 2012，

29 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－058

2012－06－27 收到第 1 稿，2012－06－29 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金(11232009)，上海市優(yōu)秀學(xué)科帶頭人計(jì)劃(09XD1401700)，上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(S30106)

E－mail:lqchen@staff．shu．edu．cn