光晶格動量依賴偶極勢中原子運動

余學才 汪平和 張利勛

(電子科技大學光電信息學院,成都 610054)

(2013年1月25日收到;2013年3月29日收到修改稿)

1 引言

近二十年來,中性原子激光導引、冷卻和操作的迅速發(fā)展開辟了原子光學學科[1-3].置于激光場中的中性原子,在共振或近共振相互作用下,主要受到兩個力的作用.一個力是源于自發(fā)輻射的輻射力,另一個力是原子偶極矩受光場的作用力,后者正比于光場的空間梯度.在駐波激光場中,駐波激光場形成一個1維或2維的空間周期勢晶格.偶極力用于原子導波[4-9]、原子束折射、反射、聚焦[10-13]和分束[14-19].由于偶極勢可以通過調制激光束得到控制,偶極勢提供了一個控制玻色凝聚體的有效手段.光晶格勢場中不存在晶格熱振動、晶格缺陷等現象,被光晶格囚禁的玻色原子云可望保持很好的量子相干性.對于原子操作,可以增加失諧將輻射力降低到可以忽略的程度,此時原子主要受偶極力的作用.

由于多普勒效應,光場作用下原子偶極勢既依賴于空間坐標,也依賴于原子的動量.原子在這個獨特的動量依賴勢場中的運動令人迷惑.對原子在偶極力中的運動,已做了相當多的研究,文獻[1,20,21]對這些理論和實驗研究做了總結.在這些研究中,偶極力的動量依賴特性未予考慮.但文獻[8]根據偶極力的動量依賴特性提出了一種消色差的原子透鏡.在本文中,我們考慮了偶極力的動量依賴特性,研究了紅失諧下光晶格勢場中原子的動量演化.結果表明,初始動量較大的原子,飛入光晶格勢場中后,動量演化可以分為三個階段.在第一階段,原子動量緩慢減小.原子動量在光晶格的第一半周期減小,下半周期增加,但原子飛躍一個晶格后動量有一個很小的凈減小量.這個結果和以前研究原子在偶極力中減速的結果一樣,文獻用希臘神話中的西西福斯(Sisyphus)神從山腳到山頂永無止境滾石的過程來類比這個過程[22-24].第二階段,當原子飛躍很多個晶格后,原子動量減小到光子動量時,會很快下降.第三階段,原子動量在波腹和波節(jié)分別達到如下極限：

式中hˉk是光子動量,Ω是拉比頻率,γ為原子波函數的時間衰減常數.在其他位置,原子的動量在上述兩個數值之間.由于一般情況下拉比頻率遠小于波函數衰減常數(Ω?γ),所以原子動量極限遠小于光子動量.在第三階段,如果有很多原子進入光晶格,原子將逐漸在波腹處和波腹附近積累起來,形成捕獲原子云.對動量和位置的方差計算表明,原子動量呈現壓縮性質,位置呈現放大性質.因此,在紅失諧動量依賴光學偶極力作用下,原子最終量子態(tài)可能接近于動量壓縮線態(tài)(line state).此結論表明,文獻[25,26]關于外勢場中玻色氣體在零動量態(tài)上凝聚的假設應為動量壓縮線態(tài)上凝聚.

2 運動方程

早在1978年,Ashkin[27]就導出了在非飽和情況下,連續(xù)波和原子近共振相互作用偶極勢為其中M為原子質量,c為光速,pz為光傳播方向上的原子動量,為拉比頻率,Δ=(ω-ω)/ω 為失諧量.由于拉比頻率一般00情況下遠小于原子頻率(Ω?ω0),方程(2)后來被廣泛用于原子激光操作實驗和理論研究中[24].其中第一個因子反映了偶極勢與失諧的關系,在紅失諧下勢場為負,藍失諧下勢場為正;第二個因子反映了勢場和拉比頻率的依賴關系,拉比頻率越高,勢場絕對值越大.在駐波情(況下,偶)極勢可近似為

其中k為波矢.此勢包含了一個空間周期函數sin2(k z)和一個動量依賴函數 f(pz).原子的哈密頓量為

經過一系列復雜精密對易關系計算(附錄),動量和位置運動方程分別為

(6)式中右邊第二項來源于勢動量依賴函數.與不依賴于動量的運動方程d p/d t比較,此項是考慮了動量依賴關系后增加的.后面的計算結論表明,此項決定了極端慢速原子的行為.將動量、時間和位置做歸一化為無量綱物理量：

運動方程變?yōu)?/p>

通過穩(wěn)態(tài)條件d p/d t=dφ/d t=0得到動量的最終極限(1)式.但是只有在波腹和波節(jié)能夠達到穩(wěn)態(tài)條件,在其他位置,動量值在(1)式給出的兩個值之間.當失諧量滿足|ω-ω0|?γ,動量在波腹處的極限值為hˉ k(Ω/γ)2.在小信號(非飽和)條件下,由于拉比頻率遠小于能級衰減常數(Ω/γ?1),所以原子的動量極限遠小于光子動量.

3 動量演化

考慮較大動量

情況,運動方程可近似為

對方程(11)和(12)數值求解,結果如圖1所示,動量近似阻尼振蕩.在原子飛躍一個晶格期間,第一半周期原子被減速,第二半周期原子被加速.飛躍一個晶格后,動量有一個很小的凈減小量：

pˉz,j代表原子進入第j個晶格時的動量.如果pˉz,j小于失諧量,動量凈變化小于0,原子被減速;反之,原子被加速.所以原子被加速還是減速不僅決定于是紅失諧還是藍失諧,還取決于原子的初始動量.在紅失諧條件下(Δ＞0),歸一化動量小于失諧量的原子被減速;歸一化動量大于失諧量的原子則被加.原子飛躍第j個晶格的時間Δtˉj近似為

圖1 原子在初始幾個光晶格中的動量演化,原子在一個晶格的第一半周期被加速,第二半周期被減速.經過一個晶格后,原子動量有一個凈減小量(初始動量ˉp0=10-6,相當于初始速300 m/s,失諧量Δ=10-12,ω0/γ=105,ˉhω0/Mc2=10-9,拉比頻率Ω/γ=10-1)

圖2 不同拉比頻率下原子飛躍1000個晶格的動量凈減小量(拉比頻率Ω/γ：(a)0.1,(b)0.09,(c)0.08,(d)0.07,(e)0.06;初始速度300 m/s,失諧量Δ=10-6,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖2 和圖3分別給出不同拉比頻率和初始動量下動量減速的情況.需要飛躍很多個晶格后動量才能有效降低.當動量減小到ˉhk量級時,動量急劇下降(圖4),迅速達到最終極限(圖5),在波節(jié)和波腹處達到(1)式給出的值.在此期間,如果有大量原子入射,原子將在波腹和波腹附近逐漸積聚.

圖3 不同初始動量下原子飛躍1000個晶格的動量凈減小量(初始動量ˉp0：(a)10-2,(b)1.1×10-2,(c)1.3×10-2,(d)1.4×10-2;拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-6,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖4 動量演化的全貌 經過較長時間的減速后,動量接近ˉhk(Ω/γ)2量級時,原子迅速減速原子,并逐漸停止在波腹和波腹附近處(初始動量ˉp0=5×10-5,失諧量Δ=10-12,拉比頻率Ω/γ=0.3,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖5 原子動量在達到極限時的較詳細情況 原子在波腹和波腹附近動量接近0,但加速度不為0,因此緩慢越過波節(jié)運動到下一個晶格(初始動量ˉp0=2.5×10-6,失諧量Δ=10-12,拉比頻率Ω/γ=0.5,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

4 動量壓縮性質

原子在光晶格中經過很長時間的飛行?后,?經歷了一個各態(tài)歷經的過程,我們用時間平均p2z=代替海森伯繪景下量子平均求動量和位置的方差：

結果如圖6和圖7所示.從圖中可見,動量方差經過一個最大值后緩慢減小,位置方差則單調增加.因為各態(tài)只有經歷足夠長的時間后才可能是正確的,時間較短的平均值是不可信的,所以動量方差最大值之前的單調上升的趨勢是不可信的.在經過近十萬個光學周期(微秒時間)后,動量方差單調減小,說明了原子在一個動量減速勢中經過較長時間后處于動量壓縮態(tài)的性質.

圖6 歸一化動量方差(初始動量ˉp0=1.25×10-5,拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-8,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖7 歸一化位置方差(初始動量ˉp0=1.25×10-5,拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-8,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

5 高斯晶格下原子運動

考慮高斯光束構成的晶格,拉比頻率為

其中w為光斑半徑.原子的運動軌道由下面方程求出

式中pˉx=px/Mc,xˉ=kx,wˉ=kw.圖8和圖9分別給出了原子在不同橫向動量下和不同拉比頻率下的運動軌道.橫向向外運動的原子,橫向動量較小的情況下,將被偶極勢拉回到光束中心,原子軌道對拉比頻率十分敏感.拉比頻率越大,原子越容易被拉回到光束中心.

6 結果與討論

本文研究了光晶格勢中原子的動量演化,特別考慮了偶極勢的動量依賴關系.對動量和位置的方差計算表明,原子動量呈現壓縮性質,位置則呈現放大性質.根據此結論,我們預言光晶格動量依賴偶極勢中的單粒子態(tài)可能接近動量壓縮線態(tài).研究結果表明,原子動量演化可以分為三個過程：第一個過程是阻尼振蕩衰減過程,此過程對初始動量較大的原子,將持續(xù)很長的時間;第二個過程是當動量被降低到光子動量數量級時,動量急速減小;第三個過程是原子逐漸在波腹與波腹附近停下來,被囚禁在波腹附近.

圖8 不同初始橫向動量下原子軌道初始橫向動量ˉp：(a)-8×10-9,(b)-6×10-9,(c)-4×10-9,(d)-2×10-9,(e)0;拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-8,初始縱向動量ˉpz=10-5,初始橫向位置x=10λ,光斑半徑w=100λ,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105

圖9 不同拉比頻率下原子軌道 Ω/γ：(a)0.12,(b)0.11,(c)0.1;初始向外橫向動量ˉpx=2×10-9,失諧量Δ=10-8,初始縱向動量ˉpz=10-5,初始橫向位置x=10λ,光斑半w=100λ,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105

本文推導了海森伯繪景下依賴于動量偶極勢中原子運動方程,是全量子理論,可用于進一步研究原子激光束聚焦、原子激光捕獲以及原子激光束反射鏡等效應.

附錄

動量方程：

式中p0=McΔ.從對易關系

得到：

位置方程：

計算對易關系：

利用：

得到：

再利用求和公式：

最后得到：

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