梁國龍 馬巍 范展 王逸林

(哈爾濱工程大學(xué),水聲技術(shù)重點實驗室,哈爾濱 150001)

(2012年11月28日收到;2013年1月31日收到修改稿)

1 引言

作為水下作戰(zhàn)平臺近乎惟一的“耳目”,利用水下聲信息進(jìn)行探測、識別、定位、導(dǎo)航和通信的廣義聲納系統(tǒng),在容許的應(yīng)用環(huán)境中大多采用聲納陣列的形式進(jìn)行所需信號處理,以獲得可控的陣列指向性和較高的空間處理增益.空間譜估計是水聲陣列信號處理最主要的研究方向之一,其旨在研究空間多傳感器陣列聲納所構(gòu)成的處理系統(tǒng)對感興趣的空間信號參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確估計的能力,主要用于估計信號的空域參數(shù)或信源位置.近些年來,隨著聲矢量傳感器技術(shù)在理論分析、性能評估和工程實踐上的研究應(yīng)用迅猛發(fā)展,基于聲矢量傳感器的方位(direction of arrival,DOA)估計技術(shù)得到較為深入的研究[1-7].以多重信號分類(multiple signal classifi cation,MUSIC)算法為代表的大多數(shù)高分辨子空間類算法[8-10],由于需要對接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行有效估計,對于空域接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)提出了較高的要求.然而對于大多數(shù)有意義的應(yīng)用環(huán)境而言,大快拍數(shù)據(jù)往往不易得到.特別是對于聲納陣列的實際作戰(zhàn)應(yīng)用環(huán)境中,大量出現(xiàn)的是高速運(yùn)動目標(biāo)或瞬態(tài)信號,戰(zhàn)機(jī)往往轉(zhuǎn)瞬即逝,此時獲取的有意義數(shù)據(jù)快拍通常較少,極惡劣情況下其有效數(shù)據(jù)甚至可能出現(xiàn)單快拍情況,上述的高分辨算法將由于得不到有效的協(xié)方差估計矩陣而失效.為了解決小快拍數(shù)條件下的穩(wěn)健高分辨DOA估計問題,Sarkar等[11-14]提出了直接數(shù)據(jù)域方法(direct data domain,DDD),與傳統(tǒng)統(tǒng)計方法相比,它具有單快拍處理的優(yōu)勢,且避免了樣本協(xié)方差矩陣的構(gòu)造及求逆運(yùn)算.文獻(xiàn)[15—19]的壓縮感知理論(compressive sensing,CS)利用信號稀疏特性可對原始信號進(jìn)行重構(gòu);Maliotov等[20,21]以類似的思想提出利用信號稀疏分解進(jìn)行DOA估計的方法;付金山[22]將信號稀疏分解理論運(yùn)用到了矢量傳感器陣列信號處理中.

上述方法大多需要較高的輸入信噪比門限,否則其估計性能將大幅下降.然而在矢量聲納陣列應(yīng)用環(huán)境下,信噪比與快拍數(shù)一樣往往不能達(dá)到較理想的狀況.針對這樣的限制條件,本文利用聲矢量傳感器的結(jié)構(gòu)特性,引入空域濾波技術(shù)[23],提出將聲壓振速聯(lián)合處理技術(shù)與空域濾波技術(shù)聯(lián)合使用的時空濾波壓縮感知DOA估計方法,大大減小了輸入信噪比門限,同時利用小快拍數(shù)據(jù)可有效估計高速運(yùn)動目標(biāo)或瞬態(tài)信號的瞬時方位,具有較強(qiáng)的魯棒性.

2 聲矢量傳感器基本原理

2.1 聲矢量傳感器模型

矢量傳感器由聲壓水聽器和質(zhì)點振速水聽器復(fù)合而成.聲壓水聽器測量空間的聲壓P,質(zhì)點振速水聽器測量聲場中的質(zhì)點振動速度Vx,Vy,因此矢量傳感器可以共點、同步測量聲場的聲壓標(biāo)量和質(zhì)點振速矢量.典型的聲矢量傳感器如圖1所示.

圖1 聲矢量傳感器模型

均勻各向同性的非黏滯流體傳播介質(zhì)中,Euler方程可以寫成

其中,p(r,t)表示t時刻聲場中r位置處的聲壓,v(r,t)代表該點處的振速,ρ表示介質(zhì)密度.考慮遠(yuǎn)場平面波條件,則聲壓函數(shù)可以寫成

其中,uT=[sin(θ)cos(φ),sin(θ)sin(φ),cos(φ)]代表聲矢量傳感器的方向向量,θ和φ分別表示信號的水平方位角和垂直俯仰角,C代表介質(zhì)中的聲速.進(jìn)而可將聲壓梯度表示為

對于聲波傳播背景而言,線性化(1)式,并可忽略其中的振動加速度項,結(jié)合以上各式可得：

其中,Z=ρC表示平面波波阻抗.

不失一般性,考慮二維聲矢量傳感器模型,則其聲壓振速3通道接收數(shù)據(jù)模型可以描述為

其中,s(t)為原始信源數(shù)據(jù),np,nvx,nvy分別為各通道噪聲.

2.2 聲矢量傳感器陣列測量模型

考慮二維各向同性噪聲場中,遠(yuǎn)場窄帶信源入射到任意幾何形狀矢量聲納陣列,假設(shè)陣元數(shù)為M,信源數(shù)為N(N＜M).各信源中心頻率為 fl,入射角度為θl,l=1,2,···,N,定義為信源與聲矢量傳感器陣列法向夾角.以陣列最左端陣元為參考坐標(biāo)系原點,則陣列接收的快拍數(shù)據(jù)可以表示為

其中,

Av為導(dǎo)向矢量矩陣,a(θl)為第l個信源在傳感器陣列上的陣列流型矢量,kl為第l個入射信源的波數(shù),rq代表第q個陣元的空間位置矢量,u(θl)表示第l個信源的方向矢量.

3 聲矢量傳感器聲壓振速聯(lián)合時域濾波方法設(shè)計

(5)式描述的聲矢量傳感器的結(jié)構(gòu)特性表明,均勻無限介質(zhì)中平面波相干輻射源聲場內(nèi)部,聲壓與振速各通道信號完全相關(guān).平面波聲場中,波阻抗Z=ρC為實數(shù),因而相干信號的聲壓與振速相位是相同或相反的.

與之不同的是在各向同性噪聲場中,假設(shè)np(t)為入射角不同的 j個互不相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)噪聲聲壓,且滿足,則其水平、垂直振速可以表示為

其中,θj為[0,2π]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量.聲壓與振速的相關(guān)系數(shù)可以表示為

分√別記聲壓與兩振速標(biāo)準(zhǔn)差之積為kpvi=整理可得：

即各向同性噪聲場中聲壓與振速相關(guān)系數(shù)為0.這意味著在上述信號、噪聲場中,對于聲矢量信號的聲壓振速聯(lián)合處理對于噪聲具有抑制作用.

對于聲矢量傳感器數(shù)據(jù)通道做旋轉(zhuǎn)組合變換,定義旋轉(zhuǎn)變換后數(shù)據(jù)為

整理(13)式并注意到(5)式可得：

其中,φ為電子旋轉(zhuǎn)角.將聲壓通道數(shù)據(jù)與上述旋轉(zhuǎn)變換數(shù)據(jù)進(jìn)行組合,采用(p+vc)vc的組合形式,考慮上述信號噪聲相關(guān)特性,其一階矩可表示為

這意味著通過將聲矢量傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)組合,并選擇合適的旋轉(zhuǎn)角φ可以減小噪聲,從而降低信噪比門限,為探索遠(yuǎn)距離微弱目標(biāo)提供了可能.圖2給出了旋轉(zhuǎn)角為60°時,旋轉(zhuǎn)組合后單個聲矢量傳感器的指向性圖.

圖2 以60°組合旋轉(zhuǎn)后的指向性圖

利用信噪相關(guān)特性上的差異進(jìn)行降噪處理,因而聲壓振速聯(lián)合處理抗噪方式屬于一種廣義時域濾波.

4 阻帶衰減通帶均方誤差最大值最小矩陣空域濾波器設(shè)計

矩陣空域濾波技術(shù)(matrix filter,MF)是一種陣元域數(shù)據(jù)預(yù)處理算法,通過設(shè)計阻帶與通帶扇面的空域幅頻響應(yīng)實現(xiàn)對信號的預(yù)濾波,從而降低信號處理信噪比門限.考慮2.2節(jié)所述聲矢量傳感器陣列模型,設(shè)計濾波矩陣F對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行空域濾波,則(6)式改寫為

其中,Fv=FHAv表示矩陣濾波后的聲量傳感器陣列流型矩陣,nF(n)=Fvn(n)表示矩陣濾波后的噪聲數(shù)據(jù)矩陣.MF方法的基本思想是設(shè)計矩陣濾波器,使其空域幅頻響應(yīng)滿足對于空域預(yù)成方位扇面保證無失真通過,對于其他方位扇面形成某可控衰減,即為空域帶通濾波器.其思想可以表述為

其中θpass,θstop分別表示空域濾波器的理想通帶與阻帶.我們希望設(shè)計出的矩陣濾波器可以滿足在通帶內(nèi)由其與原始陣列流型組合產(chǎn)生的新陣列流型變化的均方誤差最大值最小,在阻帶扇面內(nèi)將輸出功率減至某指定值.按照這樣的思想,矩陣濾波器優(yōu)化設(shè)計問題可以表述為

其中,i,j分別代表通帶與阻帶內(nèi)的離散方位分辨率,Np,Ns分別表示通帶與阻帶扇面內(nèi)離散出的方位個數(shù),‖·‖F(xiàn)表示Frobenius范數(shù),ξ為阻帶內(nèi)的衰減率,ε為濾波后噪聲功率門限.上述優(yōu)化問題可參考文獻(xiàn)[23]給出的方法,將濾波器設(shè)計轉(zhuǎn)化成二階錐規(guī)劃問題進(jìn)行求解.

5 時空聯(lián)合濾波壓縮感知方位估計

壓縮感知技術(shù)利用信號在某域的稀疏特性,通過構(gòu)造觀測基或冗余字典對信號進(jìn)行非自適應(yīng)隨機(jī)投影測量,隨后通過求解L范數(shù)優(yōu)化問題使信源信號能夠以很高的概率精確重建.將CS技術(shù)做適宜水聲矢量信號處理框架的變形,聯(lián)合前文提出的時域和空域濾波方法,采用CS技術(shù)進(jìn)行矢量聲納空間譜估計,理論上可以大大減小所需的處理信噪比門限,并在小快拍數(shù)情況下取得較好估計效果.

5.1 矢量聲納陣列空間譜稀疏性分析

不失一般性,考慮水聲環(huán)境中水平均勻半波間隔矢量聲納直線陣,其余條件如2.2節(jié)所述.對于(6)式的基本模型而言,s(n)為N×α維,α表示空域采樣快拍數(shù),其含義為空間每信源α點采樣的N個原始信源集合.如果將全空間方位離散化,并假設(shè)離散分辨率為η,(η＞0),則s(n)必可表示為全空間方位中round(2π/η)個離散角度信源的線性組合,round(·)表示對變量取整.其在對應(yīng)的目標(biāo)θi角度中表示系數(shù)1,其他方位為0.省略宗量n,上述原理的數(shù)學(xué)表述為

其中,β為round(2π/η)×α維空域稀疏表示系數(shù),ψ為N×round(2π/η)維空域稀疏變換基.通過設(shè)置合適的空域分辨率η,可滿足N?round(2π/η),即保證了β是空域N行稀疏的.圖3為上述變換的示意圖,其中實心圓點代表真實目標(biāo),空心圓點代表空域離散點.

圖3 矢量聲納空域稀疏分解示意圖

從另一個角度而言,根據(jù)(8)式矢量聲納陣列空間數(shù)據(jù)接收模型可認(rèn)為是空域有限復(fù)單頻信號的疊加,因而原始數(shù)據(jù)經(jīng)空域傅里葉變換到空間域中,其表示系數(shù)也必然是稀疏的.

5.2 矢量聲納陣列壓縮感知方位估計方法感知矩陣的構(gòu)建

CS理論對于觀測基的選取要求其與稀疏基不相關(guān),這里的相關(guān)性可以理解為相互表示時所需的表示系數(shù)個數(shù),非相關(guān)性越強(qiáng),利用CS理論進(jìn)行稀疏系數(shù)優(yōu)化求解的成功概率就越高.考慮對空間信號進(jìn)行隨機(jī)采樣,即將矢量聲納進(jìn)行隨機(jī)布放,因而聲壓振速各通道的接收數(shù)據(jù)可認(rèn)為是對原始信號s的行隨機(jī)抽取,可表述為

其中,R表示上述定義的行隨機(jī)矩陣.利用(24)式可得：

Θ為原始信號稀疏至空域后的行隨機(jī)抽取矩陣.布陣方式導(dǎo)致的矢量聲納陣列流型隨機(jī)性可看作對稀疏信號的行隨機(jī)投影測量,因而其與稀疏基具有很強(qiáng)的非相關(guān)性.這樣的非相關(guān)性與約束等距條件(restricted isometry property,RIP)是等價的,二者都是可精確重構(gòu)稀疏信號的充分條件,因而保證了矢量聲納壓縮感知DOA方法的穩(wěn)健性.實際應(yīng)用中,當(dāng)隨機(jī)布陣結(jié)束后,利用已知的陣元位置可精確得到陣列流型矩陣Av,并與空域濾波矩陣相乘得到新的陣列流型Fv,進(jìn)而構(gòu)建全部從0至round(2π/η)方位的陣列流型作為過完備冗余字典即可得到感知矩陣Θ.

5.3 矢量聲納陣列時空聯(lián)合濾波壓縮感知方位估計方法

分別利用前述的旋轉(zhuǎn)組合時域濾波方法和矩陣空域預(yù)濾波方法進(jìn)行預(yù)處理后,矢量聲納陣列時空聯(lián)合濾波壓縮感知方位估計方法(vector sonar array time space fi ltered compressive sensing DOA,VTSCS)的基本原理可以表述為已知輸入陣列接收數(shù)據(jù)x和人為構(gòu)造的空域過完備冗余字典Θ,求解(26)式中信號稀疏表示β的問題.一個比較自然的想法是求解下述0范數(shù)最優(yōu)化問題：

其中0范數(shù)代表稀疏表示β中非零項的個數(shù),然而這是一個NP-HARD問題,精確解的獲得需要遍歷所有的可能解,從而使計算復(fù)雜性大大增強(qiáng).文獻(xiàn)[17]表明如果采用1范數(shù)代替0范數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解,則可得到如下的凸優(yōu)化問題：

且在滿足一定條件時,上述兩式是等價的.考慮含噪聲的情況下,可改寫(28)式為如下的凸優(yōu)化問題：

其中,σn2是對噪聲功率的一個估值.實際應(yīng)用中,可采用一階遞歸濾波的形式對當(dāng)前噪聲功率進(jìn)行實時在線估計.

需要說明的是,(29)式對于單快拍情況是典型的凸優(yōu)化表示,因而具有良好的優(yōu)化解.而對于多快拍聯(lián)合估計,(29)式是非凸的,應(yīng)考慮將多快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合處理,即將其考慮成各單快拍數(shù)據(jù)的組合,進(jìn)而將估計得到的稀疏表示結(jié)果β表示成利用各單快拍估計得到的結(jié)果的加權(quán)形式,即

其中,βi表示利用第i個快拍數(shù)據(jù)估計得到的稀疏表示結(jié)果,?i為利用第i個快拍數(shù)據(jù)估值的懲罰因子,表示目標(biāo)高速運(yùn)動時可利用的當(dāng)前快拍數(shù)據(jù)的置信程度,滿足?i∈[0,1].聯(lián)合求解(29),(30)式即可得到原始信號的空域稀疏表示,由于其是空域N行稀疏的,因而β中N個非零項的對應(yīng)位置與空域分辨率之積即為目標(biāo)的DOA值.圖4所示為VTSCS方法的信號處理流程.

圖4 VTSCS方法信號處理流程圖

此外對于寬帶形式信號,可對原始時域信號做傅里葉變換,進(jìn)而在得到的每個頻域子窄帶上采用VTSCS方法進(jìn)行DOA估計.

6 數(shù)值仿真試驗分析

考慮各向同性噪聲場中,遠(yuǎn)場等功率非相干窄帶雙目標(biāo)入射至10元矢量聲納隨機(jī)陣型陣列.入射角度分別為30°,50°,頻率分別為1 kHz,2 kHz,采樣頻率10 kHz,輸入信噪比為20 dB,快拍數(shù)為200.如無特殊說明,均采用以上基本試驗條件.為便于分析說明仿真結(jié)果,分別將VTSCS方法與基于矢量常規(guī)波束形成的DOA估計方法(vector conventional beamforming,VCBF)、矢量最小方差無畸變響應(yīng)方法(vector minimum variance distortionlessresponse,VMVDR)和矢量MUSIC方法(vector MUSIC,VMUSIC)進(jìn)行DOA估計性能比較.其中,圖5給出了各種方法DOA估計的譜峰顯示,圖6—8分別給出了以信噪比、快拍數(shù)和信源入射角度間隔為變量時的DOA估計性能.性能優(yōu)劣評價標(biāo)準(zhǔn)除可視的譜峰輸出外,根據(jù)變化條件的不同,主要考察各方法多次DOA估計的均方根偏差(root mean squareerror,RMSE)或成功概率(success probability,SP).

定義N 次信源方位估計的RMSE為

其中,θij和分別表示第i個信源第 j次試驗的真值和估計值.

SP即為成功的估計次數(shù)占估計總數(shù)的百分比.

圖5給出了前述基本條件下各種方法的空間譜估計圖.從中可以看出當(dāng)信噪比與快拍數(shù)均較高時,除VCBF方法估計性能較差外,其余各種方法均能給出目標(biāo)較準(zhǔn)確的方位估計,其中VTSCS方法的可分辨信噪比門限要遠(yuǎn)低于前述各種方法.

圖6給出了快拍數(shù)為200,入射角度間隔20°時各種方法RMSE隨信噪比變化示意圖.從插圖中可以看出在低信噪比條件下,VTSCS比其他方法具有更好的DOA估計性能.隨著信噪比的逐漸增加,各種方法的估計RMSE逐漸減小.其中VMUSIC方法的RMSE最小,VTSCS方法略遜于VMUSIC.考慮到較高信噪比時VTSCS的估計RMSE僅比VMUSIC方法大0.02°左右,因此可認(rèn)為VTSCS方法與VMUSIC方法具有類似的DOA估計精度,在高信噪比條件時近似是無偏估計.

圖5 DOA估計性能比較圖

圖6 不同信噪比條件下各種方法估計均方根偏差比較

圖7 給出了信噪比0 dB,入射角度間隔20°時各種方法RMSE隨快拍數(shù)變化示意圖.從插圖中可以看出VTSCS方法對快拍數(shù)不敏感,在單快拍情況下其RMSE仍只有0.5°左右,具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性.其他各方法估計性能都受到快拍數(shù)的限制,其中在較低快拍數(shù)情況下,由于子空間分解對于快拍數(shù)有著更高的要求,VMUSIC方法具有比VMVDR方法更大的RMSE,而隨著快拍數(shù)的逐漸增加,VMUSIC方法RMSE逐漸減小.VTSCS方法始終具有最低的DOA估計RMSE.

圖8給出了信噪比0 dB,快拍數(shù)為200時各種方法SP隨入射角度間隔變化示意圖.從中可以看出隨著入射信源角度間隔的增加,各種方法的估計成功概率都有所提高.其中,VTSCS方法對于角度間隔具有最好的穩(wěn)健性,在約5°雙目標(biāo)分辨概率可達(dá)90%,VMUSIC方法的角度分辨力要強(qiáng)于VMVDR方法和VCBF方法.

圖7 不同快拍數(shù)條件下各種方法估計均方根偏差比較

圖8 不同入射信源角度間隔條件下各種方法估計成功概率比較

圖9 單快拍條件下各種方法空間譜圖

考慮矢量聲納陣應(yīng)用背景下雙目標(biāo)高速運(yùn)動的極端情況,即假定只有單快拍數(shù)據(jù)有效,其余基本條件不變.圖9給出了此時上述各種方法的空間譜圖.可以看出,由于VMVDR和VMUSIC方法的DOA估計性能嚴(yán)重依賴于數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的估計程度,因此對于單快拍情況,這兩種方法已經(jīng)失效.此時,VTSCS方法仍具有較高的雙目標(biāo)分辨門限,但估計精度有所下降.值得說明的是,雖然在前述各種條件下的性能比較時VCBF方法的性能總是最差,但此時仍具有一定的雙目標(biāo)分辨能力,因而VCBF方法也具有較強(qiáng)的魯棒性.

7 湖上試驗驗證

為驗證VTSCS方法的有效性,于某自然水域進(jìn)行了相關(guān)試驗.試驗采用6元矢量陣,布放于測量船下深度約10 m,陣間距1.5 m.兩非相關(guān)窄帶聲源布于同深度,距離6元陣聲中心距離100 m左右,入射角約為20°,74°,頻率分別為1 kHz,2 kHz,系統(tǒng)采樣頻率20 kHz,陣列輸入信噪比約為10 dB.圖10所示為系統(tǒng)構(gòu)建示意圖.

圖10 湖上試驗示意圖

取單快拍數(shù)據(jù),利用一階遞歸方法估計當(dāng)前噪聲功率,并設(shè)置(30)式中合適的噪聲功率門限值.對此數(shù)據(jù)分別利用VCBF,VMVDR,VMUSIC和VTSCS方法進(jìn)行DOA估計,其空間譜輸出如圖11所示.

從圖中可以看出,與理論分析一致,單快拍時VMUSIC與VMVDR方法均已失效.VCBF方法具有分辨雙目標(biāo)的能力,但精度不高.VTSCS方法具有較好的雙目標(biāo)分辨門限,但此時精度也已降低,其RMSE約為4°.

值得說明的是,噪聲功率門限的設(shè)定對于VTSCS方法的性能有著重要影響.圖12和圖13分別給出了噪聲功率門限設(shè)置過低和過高時VTSCS方法的空間譜圖.

圖11 湖上試驗空間譜圖

圖12 噪聲功率門限過低時VTSCS空間譜圖

湖試結(jié)果表明,當(dāng)噪聲功率設(shè)置過低時,意味著提高了對于(30)式中可存在的噪聲功率的要求,即對凸優(yōu)化求解過程的限制條件更苛刻.此時利用凸優(yōu)化可能無法得到全局最優(yōu)解,進(jìn)而會用一系列的局部最優(yōu)值來進(jìn)行替代,因而會出現(xiàn)一系列偽峰.當(dāng)噪聲功率設(shè)置過高時,對于(30)式中噪聲功率的約束過小,噪聲的存在將嚴(yán)重影響信源的空域稀疏性,因而無法得到正確的DOA估計.

圖13 噪聲功率門限過高時VTSCS空間譜圖

8 結(jié)論

提出了一種矢量聲納陣高速運(yùn)動目標(biāo)穩(wěn)健高分辨方位估計方法.該方法分別利用聲矢量傳感器聲壓振速聯(lián)合處理的廣義時域濾波和阻帶約束通帶均方誤差最大值最小矩陣空域濾波進(jìn)行前置處理,進(jìn)而利用矢量陣空域目標(biāo)稀疏特性,結(jié)合壓縮感知理論進(jìn)行空間譜估計.理論分析與數(shù)值仿真表明,與經(jīng)典的VCBF,VMVDR,VMUSIC方法相比,新方法利用小快拍數(shù)據(jù)即可獲得較低的雙目標(biāo)分辨門限和較高的估計精度,具有較高的小快拍(單快拍)數(shù)據(jù)DOA估計穩(wěn)健性,為遠(yuǎn)程微弱高速運(yùn)動目標(biāo)的方位估計問題提供了新的解決思路.湖試結(jié)果驗證了該方法的有效性.

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