雷 雨，趙丹寧

（1．中國科學院國家授時中心，陜西 西安710600；2．中國科學院時間頻率基準重點實驗室，陜西 西安710600；3．中國科學院精密導航定位與定時技術(shù)重點實驗室，陜西 西安710600；4．中國科學院，北京100049）

0 引 言

衛(wèi)星鐘差的精度直接影響著全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)（GNSS）的導航定位結(jié)果，主要體現(xiàn)在以下兩個方面:首先，衛(wèi)星鐘差參數(shù)通過導航電文發(fā)播，任意時刻的鐘差是通過外推得到的，其預報精度直接決定了導航定位的精度［1］；其次，在實時精密單點定位（PPP）中，為了達到厘米級的定位精度，需采用預報鐘差參與解算［2］。因此，提高衛(wèi)星鐘差的預報精度具有重要意義。

較常用的鐘差預報模型為多項式模型和灰色模型，許多學者對其進行了研究，并取得了顯著的效果［3－4］。但這兩種模型都存在一定的局限性:多項式模型的預報精度會隨著預報時間的延長而降低［4］，此外，該方法易受多項式擬合階數(shù)等人為因素的影響；而灰色模型對鐘差數(shù)據(jù)類型有較強的依賴性，要求鐘差數(shù)據(jù)平滑且呈指數(shù)規(guī)律變化，限制了其應(yīng)用范圍［5］。近年來，國內(nèi)外學者又發(fā)展了多種鐘差預報模型［6－7］，其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（NN）由于具有通過學習訓練以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)的能力，在鐘差預報中取得了良好的效果［8－10］。李孝輝等首次將誤差反向傳播（BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于原子鐘鐘差預報中，研究表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比AR模型的預報精度高，且鐘差異常值對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預報性能的影響較小；郭承軍等將徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于衛(wèi)星鐘差預報中，研究表明:神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比灰色模型具有更好的預報精度和穩(wěn)定性；王威等采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的變型—廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GRNN）對衛(wèi)星鐘差進行建模并預報，從輸入維數(shù)。光滑因子等幾個方面對預報性能的影響進行了較為系統(tǒng)的研究，結(jié)果表明GRNN預報模型優(yōu)于傳統(tǒng)的二次多項式模型。應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行衛(wèi)星鐘差預報，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易學習過度，從而影響網(wǎng)絡(luò)的泛化（預報）能力，因而采用交叉驗證法（CV）優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)，并利用數(shù)值試驗討論了該方法的預報精度。

1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1985年，Powell提出了多變量插值的徑向基函數(shù)方法。1988年，Moody和Darken提出了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，即RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它能夠以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)，與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有學習速度快、全局收斂等優(yōu)點。

1．1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種三層前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，包括一個輸入層、一個隱含層和一個輸出層。輸入層由信號源結(jié)點組成；第二層為隱含層，隱含層神經(jīng)元數(shù)目視所描述問題的需要而定，隱含層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)是對中心點徑向?qū)ΨQ且衰減的非負非線性函數(shù)；第三層為輸出層，它對輸入模式的作用做出響應(yīng)。從輸入空間到隱含層空間的變換是非線性的，而從隱含層空間到輸出層空間的變換是線性的。

RBF網(wǎng)絡(luò)的基本思想是:以徑向基函數(shù)作為隱含層神經(jīng)元的基構(gòu)成隱含層空間，這樣就可以將輸入矢量直接映射到隱含層空間，而不像BP網(wǎng)絡(luò)那樣需要權(quán)連接，當RBF的中心點確定以后，這種映射關(guān)系也就確定了。而隱含層空間到輸出空間的映射是線性的，即網(wǎng)絡(luò)的輸出是隱含層神經(jīng)元輸出的線性加權(quán)和，此處的權(quán)即為網(wǎng)絡(luò)可調(diào)參數(shù)。由此可見，從總體上看，網(wǎng)絡(luò)由輸入到輸出的映射是非線性的，而網(wǎng)絡(luò)輸出對可調(diào)參數(shù)而言卻又是線性的。這樣網(wǎng)絡(luò)的權(quán)就可以由線性方程直接解出，從而大大加快學習速度并避免局部極小問題。

RBF網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵在于隱含層節(jié)點徑向基函數(shù)的非線性逼近性能，徑向基函數(shù)表現(xiàn)為多種形式，常見的為高斯函數(shù)，其形式如下:

式中:x為輸入向量；ci為隱含層第i個節(jié)點的中心向量，與x同維；σi表示高斯函數(shù)的寬度；‖xci‖為向量x－ci的歐式范數(shù)；h表示隱含層神經(jīng)元的個數(shù)。

輸出層節(jié)點相應(yīng)的輸出可表示為

式中:＾yj為第j個輸出單元的輸出值；M表示輸出層神經(jīng)元的個數(shù)；wi，j為第i個隱單元到第j個輸出單元的權(quán)值。

1．2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學習算法

通常，RBF網(wǎng)絡(luò)的學習分為2個階段進行，即隱含層的學習和輸出層的學習2步。

1）隱含層學習

隱含層學習表現(xiàn)在隱含層神經(jīng)元的數(shù)目h、中心向量c和高斯函數(shù)的寬度σ的確定上。其中，隱含層神經(jīng)元數(shù)目的確定是關(guān)鍵問題，傳統(tǒng)的做法是使其與訓練集樣本數(shù)目相同；而中心可根據(jù)訓練樣本點在自變量空間的分布，選出或計算出有“代表性“的點作為中心點，再由中心周圍的樣本點確定寬度σ，應(yīng)用較多的為聚類分析法。

2）輸出層學習

輸出層學習體現(xiàn)在隱含層與輸出層間的連接權(quán)w的確定上，可以應(yīng)用最小二乘法對網(wǎng)絡(luò)輸出權(quán)值進行訓練，其學習訓練的目標是使總誤差達到最小。

1．3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的MATLAB工具箱函數(shù)

1）RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)創(chuàng)建函數(shù)

MATLAB函數(shù)newrbe用于創(chuàng)建一個精確的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其調(diào)用格式如下:

net＝newrbe（P，T，spread），

其中，P為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量；T為網(wǎng)絡(luò)目標向量（輸出向量）；spread為徑向基函數(shù)的寬度σ（默認為1．0）；net為創(chuàng)建好的RBF網(wǎng)絡(luò)。

在MATLAB中，沒有專門的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練和學習函數(shù)，這是因為在使用函數(shù)newrbe創(chuàng)建RBF網(wǎng)絡(luò)的過程中，newrbe函數(shù)就根據(jù)訓練樣本P、T確定了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，即隱含層神經(jīng)元數(shù)、權(quán)值和閾值等網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。函數(shù)newrbe需要調(diào)節(jié)的參數(shù)只有一個spread，一般根據(jù)先驗知識選取。newrbe函數(shù)創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)的過程為

①隱層神經(jīng)元數(shù)目等于輸入樣本數(shù)，其權(quán)值等于輸入向量的轉(zhuǎn)置:

式中:IW為隱層神經(jīng)元的權(quán)值；PT為輸入向量P的轉(zhuǎn)置。

②設(shè)置隱層神經(jīng)元的閾值為b

③以隱含層神經(jīng)元的輸出作為輸出層神經(jīng)元的輸入，確定輸出層神經(jīng)元的權(quán)值和閾值，使之滿足:

式中:W｛2，1｝、b｛2｝分別為輸出層神經(jīng)元的權(quán)值和閾值；A｛1｝為隱含層神經(jīng)元的輸出。

可以看出，上述過程只要進行一次就可以得到一個零誤差的徑向基網(wǎng)絡(luò)，所以以newrbe函數(shù)創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)的速度是比較快的，但由于隱層神經(jīng)元數(shù)等于輸入樣本數(shù)，如果輸入向量數(shù)目很大時，將導致網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模也很大。

2）RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真函數(shù)

函數(shù)sim用于利用已經(jīng)創(chuàng)建好的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行仿真預測，其調(diào)用格式為

＾y＝sim（net，＾P），

其中，net為創(chuàng)建好的RBF網(wǎng)絡(luò)；＾P為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量；＾y為網(wǎng)絡(luò)輸出向量。

2 交叉驗證法

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對訓練樣本的逼近稱為擬合，而對非訓練樣本的逼近稱為泛化（預報）。顯然，衡量一個網(wǎng)絡(luò)訓練好壞的標準不僅是要考察網(wǎng)絡(luò)的擬合能力，更要檢驗其泛化能力，即訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最終目的是確保訓練好的網(wǎng)絡(luò)同時具有良好的擬合能力及泛化能力。一般情況下，訓練能力差時網(wǎng)絡(luò)的泛化能力也弱，并且在一定程度上隨著訓練能力的提高泛化能力也會隨之提高，但是這種趨勢有一個極限，達到此極限后，隨著訓練能力的提高，泛化能力反而下降，即出現(xiàn)所謂過適性或過擬合，也稱為過學習，此時網(wǎng)絡(luò)學習了過多的樣本細節(jié)而不能反映樣本所蘊含的內(nèi)在規(guī)律。欠學習。過學習的網(wǎng)絡(luò)都屬于不成熟網(wǎng)絡(luò)，泛化能力會很差，實際中網(wǎng)絡(luò)往往是過擬合。從上述意義上講，網(wǎng)絡(luò)訓練過程中存在兩方面的問題:

1）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對訓練樣本有較強的依賴性，如何從有限的訓練樣本中挖掘更多的信息是網(wǎng)絡(luò)訓練好壞的關(guān)鍵；

2）在網(wǎng)絡(luò)訓練過程中要著重考察網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，避免發(fā)生網(wǎng)絡(luò)過學習的狀態(tài)。

解決上述問題的一個有效方法是采用交叉驗證法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)。交叉驗證法的基本思想是在某種意義下將學習集進行分組，一部分做為訓練集，另一部分做為驗證集，首先用訓練集對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓練，再利用驗證集來測試訓練得到的模型，以此來做為評價網(wǎng)絡(luò)性能的指標。交叉驗證法的一種改進方法是 K 重交叉驗證法（K－fold Cross－Validation）［11］，其工作方式如下:假定有個 N 樣本，將其隨機均勻分成K份，輪流選擇其中K－1份作為訓練樣本對網(wǎng)絡(luò)進行訓練，剩余的1份作為驗證（其樣本個數(shù)為N／K）校本以檢驗網(wǎng)絡(luò)的泛化性能。網(wǎng)絡(luò)需要訓練K次，也就可以創(chuàng)建K個網(wǎng)絡(luò)，選擇泛化誤差最小時的網(wǎng)絡(luò)模型為最優(yōu)模型，用均方根誤差（RMSE）來衡量泛化誤差:

式中:RMSE（j）表示第j次訓練的網(wǎng)絡(luò)泛化誤差；j＝1，2，…，K；yi為理論值；＾yi為網(wǎng)絡(luò)輸出值。

3 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐘差預報

3．1 利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行鐘差預報的過程

利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進行鐘差預報的過程為:

1）確定網(wǎng)絡(luò)的輸入，輸出量及相應(yīng)的維數(shù)。輸入量為已知的鐘差值，輸出量為鐘差預報值。

2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，進行學習集與測試集的分配。

3）數(shù)據(jù)的歸一化，由于各歷元鐘差數(shù)據(jù)相差懸殊，即輸入變量差異較大，為了使網(wǎng)絡(luò)訓練一開始就給各輸入分量以同等重要的地位，需要將輸入數(shù)據(jù)變換到同一范圍中。選用由MATLAB提供的premnmx函數(shù)，將輸入數(shù)據(jù)和與之對應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)進行歸一化處理，使處理后數(shù)據(jù)全部落在（－1，1）的范圍內(nèi)，這樣有利于提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂速度，節(jié)省網(wǎng)絡(luò)訓練耗時，并且可以防止發(fā)生突變的鐘差數(shù)據(jù)對網(wǎng)絡(luò)訓練的影響。

premnmx函數(shù)的模型為

式中:p為需要歸一化的數(shù)據(jù)；pn為歸一化后的數(shù)據(jù)；minp、maxp分別表示p中的最大值和最小值。

4）網(wǎng)絡(luò)創(chuàng)建和訓練。采用MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱函數(shù)newrbe建立RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并根據(jù)學習集采用K重交叉驗證法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)模型。

5）網(wǎng)絡(luò)仿真測試。利用訓練好的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行鐘差預報。

6）預報結(jié)果的逆歸一化處理，并對還原結(jié)果進行檢驗。

3．2 試驗結(jié)果與分析

為了分析RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預報衛(wèi)星鐘差的精度，選取3顆鐘差變化較典型的衛(wèi)星，分別是PRN03、PRN05和PRN08，其中PRN03呈遞增變化，PRN05呈遞減變化，而PRN08既呈遞增也呈遞減變化，具體的鐘差變化如圖4～6所示。采用的數(shù)據(jù)為2010年11月28日至30日的IGS事后GPS精密鐘差，采樣間隔為5min．由于灰色模型的鐘差預報效果優(yōu)于二次多項式模型［3］，為了驗證RBF網(wǎng)絡(luò)的效果，采用灰色模型GM（1，1）對衛(wèi)星鐘差預報，并將兩者加以比較。其中，3．2．1節(jié)給出了基于交叉驗證法的網(wǎng)絡(luò)訓練結(jié)果；3．2．2節(jié)將傳統(tǒng)灰色系統(tǒng)模型與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預報精度進行對比分析。

3．2．1 交叉驗證法試驗分析

算例中將28日和29日2天的數(shù)據(jù)作為學習集用于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學習訓練，將30日的數(shù)據(jù)作為測試集以檢驗模型效果，采用4重交叉驗證法將學習樣本隨機分成4份，其中3份作為訓練樣本，剩余1份作為驗證樣本，由于是用MATLAB函數(shù)newrbe實現(xiàn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐘差建模，因此每次訓練時需要調(diào)節(jié)的參數(shù)只一個spread，即徑向基函數(shù)的寬度σ，在（0．1，5）的范圍內(nèi)選取，步長取0．1，對于每次訓練，驗證誤差（泛化誤差）最小時所對應(yīng)的值即為最優(yōu)值。只給出PRN08衛(wèi)星的鐘差在訓練過程中訓練誤差（擬合誤差）和驗證誤差的變化情況，如圖1所示，其中橫坐標代表徑向基函數(shù)的寬度σ（spread），縱坐標代表均方根誤差（RMSE）。

由圖1可以看出，每次訓練的結(jié)果是訓練誤差幾乎相同，都不超過1ps，但驗證誤差卻不盡相同，這說明網(wǎng)絡(luò)的擬合能力與其泛化能力在某種程度上并沒有必然的聯(lián)系。為了更好、更直觀的反映網(wǎng)絡(luò)訓練效果，將圖1中的驗證誤差圖（圖1b）的部分區(qū)域放大作圖，放大后如圖2（a）、圖2（b）所示。另外，表1給出了每次訓練的最小驗證誤差。

結(jié)合圖1、2，分析表1，可以更清楚地看出:

1）spread對網(wǎng)絡(luò)性能有重要的影響。實際應(yīng)用中，對于特定的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，spread值的調(diào)節(jié)過程有一定的規(guī)律，對于PRN08衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，在一定的范圍內(nèi)，spread值越大網(wǎng)絡(luò)性能越好，另外，每次訓練得到的最優(yōu)spread值并不相同；

2）隨著訓練次數(shù)的增加，擬合誤差幾乎沒有變化，而驗證誤差則是先減小后增大，存在最小點，對應(yīng)的最小值為0．211 4ns，出現(xiàn)在第2次訓練過程中，對應(yīng)的擬合誤差和spread值分別為0．62 ps、2．4；

3）交叉驗證法通過多次訓練網(wǎng)絡(luò)能夠優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)模型，比只訓練一次的泛化誤差更小。

表1 驗證誤差／ns

為了驗證交叉驗證法的有效性，突出其優(yōu)點，將其同常規(guī)方法（將學習樣本全部用來訓練網(wǎng)絡(luò)）進行對比，圖3示出了兩種方法對同一測試樣本的測試誤差。對于常規(guī)方法，測試誤差RMSE為17．30ns，而對于交叉驗證法，測試誤差RMSE僅為6．03ns，顯然，交叉驗證法可以明顯提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力。

圖3 兩種方法的測試誤差

3．2．2 灰色系統(tǒng)模型與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預報精度對比分析

分別利用灰色系統(tǒng)模型GM（1，1）和基于交叉驗證法的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對3顆衛(wèi)星的鐘差作24h的短期預報并進行誤差比較，如圖4～6所示。

由圖4～6可以看出，傳統(tǒng)灰色模型對不同衛(wèi)星鐘差在短期預報誤差異常波動很大，對鐘差數(shù)據(jù)類型有較強的依賴性，因此對于衛(wèi)星鐘差短期預報而言，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預報精度和穩(wěn)定性要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)灰色模型，可以在實際應(yīng)用中來代替灰色模型。

為了進一步研究RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在衛(wèi)星鐘差短期預報中的性能，對上述預報結(jié)果作誤差統(tǒng)計特性分析，如表2所示，其中MAX代表最大誤差，MEAN代表平均誤差，STD代表標準差。

表2 預報誤差統(tǒng)計／ns

由表2可以更清楚地看出，對于衛(wèi)星鐘差短期預報來講，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型較傳統(tǒng)灰色模型有更高的預報精度和更好的穩(wěn)定性，然而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型也有一定的局限性，主要是對訓練樣本有一定的要求，體現(xiàn)在以下2個方面:

1）對訓練樣本的數(shù)量有一定要求，如果訓練樣本過少，網(wǎng)絡(luò)的學習效果就不是很好，相應(yīng)地就會影響網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，但訓練樣本也不能太多，過多的樣本將會導致過長的網(wǎng)絡(luò)訓練耗時；

2）要求訓練樣本數(shù)據(jù)具有一定的代表性，即能夠表征系統(tǒng)的變化特性，否則網(wǎng)絡(luò)的泛化能力也就不強。

4 結(jié) 論

通過以上對RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在衛(wèi)星鐘差預報中的分析可以看出，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型較傳統(tǒng)的灰色系統(tǒng)模型在鐘差預報方面有一定的優(yōu)勢，模型精度和穩(wěn)定性均有所提高。在MATLAB環(huán)境下對RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模，對參數(shù)要求較低，需要調(diào)節(jié)的只有一個徑向基函數(shù)的寬度參數(shù)，容易實現(xiàn)。但模型本身也有一定的局限性，對樣本數(shù)據(jù)依賴性強，且容易學習過度，對于后者，可采用交叉驗證法訓練網(wǎng)絡(luò)避免，試驗也表明該方法可以明顯提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力。另外，模型只適用于短期預報，如果要用于長期預報，則需要不斷增加新的樣本數(shù)據(jù)對模型進行再訓練。

僅僅對RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在衛(wèi)星鐘差預報中應(yīng)用的初步研究，所用方法尚需改進和完善，如何對模型進行優(yōu)化以提高預報精度，以及如何將模型用于長期預報是下一步的研究重點。

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