三階微分方程的Legendre-Petrov-Galerkin譜元方法

吳勝，莊清渠

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州362021）

作為數(shù)值求解偏微分方程的3大主要方法之一，譜元方法由于具有高精度，及對(duì)復(fù)雜區(qū)域的適應(yīng)性的優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于分子動(dòng)力學(xué)模擬、復(fù)雜流體計(jì)算、量子計(jì)算、電磁場(chǎng)計(jì)算和數(shù)值天氣預(yù)報(bào)等領(lǐng)域［1-7］.文獻(xiàn)［8-9］分別研究了四階微分方程的譜方法和譜元法.文獻(xiàn)［10］用Legendre-Petrov-Galerkin和Chebyshev配點(diǎn)法求解三階微分方程，由于配點(diǎn)法強(qiáng)烈依靠選取的配置點(diǎn)，容易產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象.文獻(xiàn)［11］則利用對(duì)偶Petrov-Galerkin法求解三階微分方程.文獻(xiàn)［12］使用Petrov-Galerkin方法對(duì)修正的KdV方程進(jìn)行數(shù)值求解.文獻(xiàn)［13］用有限差分方法和Chebyshev方法求解帶邊值條件的KdV方程，數(shù)值結(jié)果表明Chebyshev方法是比較有效的.文獻(xiàn)［14］研究了KdV方程的多區(qū)域Legendre-Petrov-Galerkin譜元方法，其實(shí)質(zhì)是帶時(shí)間三階方程的譜元法，然而，其數(shù)值結(jié)果用的都是兩區(qū)域的計(jì)算，并不是真正的譜元法計(jì)算，也沒有具體的計(jì)算過程.本文研究三階微分方程的Legendre-Petrov-Galerkin譜元法，主要考慮方程的數(shù)值計(jì)算.

1 格式的建立

記Λ＝（-1，1），考慮如下的三階微分方程

為了用Legendre-Galerkin譜元法對(duì)該問題進(jìn)行數(shù)值逼近，需要將區(qū)間Λ剖分成K（K≥2）個(gè)子區(qū)間，即

上式中：-1＝a0＜a1＜…＜aK＝1.

上式中：PN（Λk）表示在Λk上次數(shù)不超過N的全體多項(xiàng)式所組成的空間.用ˉN表示離散參數(shù)（N，K），定義試探函數(shù)空間和檢驗(yàn)函數(shù)空間為

為了方便表達(dá)，對(duì)任意的1≤p≤∞，定義Lp（Λ）＝｛v；‖v‖Lp＜∞｝，其中

其中：（·，·），‖·‖和｜·｜分別表示空間L2（Λ）的內(nèi)積、范數(shù)和半范，（u，v）＝∫Λu（x）v（x）dx.問題（1）的Legendre-Petrov-Galerkin譜元逼近形式為：找∈，使得

當(dāng)j＝0，1，…，N-3；k＝1，2，…，K，基函數(shù)定義為

通過驗(yàn)證可知函數(shù)

滿足所要求的條件，其中：k＝1，2，…，K-1.

最后，將文獻(xiàn)［9］用于求解四階方程的Legendre譜元逼近法的計(jì)算思想推廣到式（2）的計(jì)算中，詳細(xì)計(jì)算過程有以下4個(gè)步驟.

1）構(gòu)造關(guān)于雙線性形式a（·，·）的正交補(bǔ).令，∈是問題的解則和在a（·，·）意義下是正交的，即

2）求解各子區(qū)間內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上的子問題，找＾uˉN∈＾VˉN，使得

3）求解單元交界節(jié)點(diǎn)處的子問題，即求（，）（i＝1，2，…，K-1），

4）由式（7），（8）可得

式（6）所對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)也可類似表達(dá).

具有唯一解，而且解滿足

由三角不等式，可得

利用Lax-Milgram引理，可知結(jié)論成立.

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面給出一個(gè)數(shù)值例子說(shuō)明Legendre-Petrov-Gelarkin譜元逼近形式（2）的精度及有效性，在問題（1）中，取α＝β＝γ＝1.

例1 考慮問題（1）在區(qū)間（-1，1）上，有如下形式的解析解，即

其中：右端項(xiàng)為f（x）＝（x-2）sin2（πx）-［π（x+1）+4π2（x-1）］sin（2πx）-2π2（x-4）cos（2πx）.

在半log尺度下，當(dāng)h＝1／2時(shí)，L2-誤差及H1-誤差隨N的變化情況，如圖1（a）所示.從圖1（a）可知：隨著N的增大，誤差（ε）隨N呈指數(shù)衰減.說(shuō)明對(duì)于光滑解，數(shù)值解具有所謂的譜收斂.在log-log尺度下，當(dāng)N＝10時(shí)，L2-誤差及H1-誤差隨h的變化情況，如圖1（b）所示.從圖1（b）可知：誤差關(guān)于h呈代數(shù)衰減.

圖1 誤差的變化Fig.1 Change of the error

3 結(jié)束語(yǔ)

用Legendre-Petrov-Galerkin譜元法求解三階微分方程，將計(jì)算區(qū)間剖分成一系列的小區(qū)間，相應(yīng)地將問題轉(zhuǎn)化成一系列的子問題.構(gòu)造恰當(dāng)?shù)脑囂胶瘮?shù)和檢驗(yàn)函數(shù)，并對(duì)得到稀疏的線性系統(tǒng)再進(jìn)行求解.數(shù)值結(jié)果表明：方法是高精度的，將其應(yīng)用于求解具有高頻振蕩解的問題也是可行的.

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