何小斐，傘冰冰，朱召泉

(河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇南京 210098)

近年來(lái)，隨著移動(dòng)衛(wèi)星通信、對(duì)地觀(guān)測(cè)等的迅猛發(fā)展，對(duì)大型空間可展天線(xiàn)的需求越來(lái)越迫切。充氣天線(xiàn)是以柔性薄膜材料制成的一種高精度空間結(jié)構(gòu)，具有質(zhì)量輕、折疊體積小、成本低等優(yōu)點(diǎn)［1］，是未來(lái)大型航天結(jié)構(gòu)的理想選擇。太空充氣天線(xiàn)(圖1)一般由反射器、支撐圓環(huán)、支撐管等組件構(gòu)成，其中反射器由上下兩片對(duì)稱(chēng)的拋物面(反射面)薄膜組成，呈凸透鏡狀。信號(hào)穿過(guò)下片透波罩，在上片鍍金屬的反射面上反射而收集在饋源處。反射面的成形精度即實(shí)際曲面形狀與設(shè)計(jì)曲面的接近程度，直接影響收發(fā)信號(hào)能力的強(qiáng)弱。因此，充氣天線(xiàn)結(jié)構(gòu)對(duì)膜面的成形精度要求極高，成形精度是充氣天線(xiàn)設(shè)計(jì)和成形中的一個(gè)重要指標(biāo)。

圖1 充氣天線(xiàn)Fig.1 Inflatable parabolic antenna

近年來(lái)，各國(guó)學(xué)者以提高反射面幾何精度為主要目標(biāo)，對(duì)充氣天線(xiàn)的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了大量研究。主要思路有:(a)將設(shè)計(jì)拋物面作為初始曲面，將其充氣后獲得天線(xiàn)的實(shí)際幾何曲面。Naboulsi［2］分析了內(nèi)壓和邊界條件對(duì)反射面成形精度的影響。Greschik等［3-4］考慮均勻分布和線(xiàn)性非均勻分布兩種膜材厚度偏差分布形式下不同焦徑比和氣壓對(duì)反射面成形精度的影響，得出成形精度隨焦徑比和氣壓增大而減小的結(jié)論。徐彥等［5-6］對(duì)某一形狀的充氣天線(xiàn)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，分析了該系統(tǒng)下膜材厚度的設(shè)計(jì)值、內(nèi)壓等對(duì)反射面成形精度的影響，并提出調(diào)整方法。該思路對(duì)充氣天線(xiàn)的精度研究有一定指導(dǎo)作用，但是以設(shè)計(jì)曲面為基準(zhǔn)進(jìn)行充氣而獲得的曲面與設(shè)計(jì)曲面存在差異。(b)尋找設(shè)計(jì)曲面對(duì)應(yīng)的零應(yīng)力曲面，即未充氣曲面，并將其作為分析的初始曲面。傘冰冰［7］將非線(xiàn)性有限元逆迭代法引入充氣天線(xiàn)的設(shè)計(jì)中，通過(guò)逆迭代可以獲得目標(biāo)曲面對(duì)應(yīng)的零應(yīng)力曲面，對(duì)其進(jìn)行充氣，理論上可以獲得精確的目標(biāo)設(shè)計(jì)形態(tài)。毛麗娜等［8］以非線(xiàn)性有限元逆迭代法為基礎(chǔ)，運(yùn)用無(wú)矩理論建立反射面結(jié)構(gòu)分析模型，通過(guò)對(duì)具體算例的分析，發(fā)現(xiàn)反射面成形精度隨口徑和焦距的增大而降低。

無(wú)論設(shè)計(jì)方法如何完善，在充氣天線(xiàn)的實(shí)際成形過(guò)程中不可避免地會(huì)存在一些影響因素，如邊界點(diǎn)位置誤差、膜材實(shí)際厚度與設(shè)計(jì)值之間的偏差、氣壓誤差、裁剪下料誤差等，都會(huì)對(duì)反射面成形精度造成影響，使實(shí)際曲面形狀與設(shè)計(jì)值產(chǎn)生差異。而關(guān)于這些因素是如何影響反射面成形精度的、影響程度如何等研究相對(duì)較少，因此難以給出有效的誤差控制措施。

本文以非線(xiàn)性有限元逆迭代法為基礎(chǔ)，針對(duì)膜材厚度偏差對(duì)充氣天線(xiàn)反射面成形精度的影響進(jìn)行研究，分析均勻分布及線(xiàn)性非均勻分布兩種典型的膜材厚度偏差分布形式對(duì)充氣天線(xiàn)反射面的影響規(guī)律和影響敏感度，并進(jìn)一步考慮了不同反射面焦徑比的影響。

1 設(shè)計(jì)方法和分析方案

1.1 設(shè)計(jì)方法

非線(xiàn)性有限元逆迭代法早前應(yīng)用于張弦梁結(jié)構(gòu)和索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的找形分析，是由已知的初始狀態(tài)逆迭代求出結(jié)構(gòu)零應(yīng)力幾何形狀的過(guò)程［9-10］。本文將非線(xiàn)性有限元逆迭代法應(yīng)用于充氣天線(xiàn)反射面(拋物面)的設(shè)計(jì)中:首先利用非線(xiàn)性有限元逆迭代法對(duì)設(shè)計(jì)拋物面進(jìn)行應(yīng)力釋放，得到設(shè)計(jì)拋物面充氣前的初始零應(yīng)力狀態(tài);然后再對(duì)該零應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行充氣成形。逆迭代具體步驟如下(圖2，圖中d n表示經(jīng)n次迭代調(diào)整后所得形態(tài)與目標(biāo)形態(tài)的差異):(a)假定一個(gè)初始零應(yīng)力狀態(tài)，賦予真實(shí)彈性模量，對(duì)其加壓得到平衡后的形態(tài);(b)比較(a)所得形態(tài)與目標(biāo)形態(tài)(即設(shè)計(jì)拋物面)的差異，并據(jù)此調(diào)整假定的零應(yīng)力狀態(tài)，再重復(fù)(a);(c)直至(a)調(diào)整所得形態(tài)與目標(biāo)形態(tài)吻合程度滿(mǎn)足精度要求，調(diào)整結(jié)束，此時(shí)所獲得的零應(yīng)力狀態(tài)即為目標(biāo)形態(tài)對(duì)應(yīng)的零應(yīng)力狀態(tài)。

圖2 逆迭代法應(yīng)力釋放示意圖Fig.2 Sketch map of stress releasing based on inverse iteration method

非線(xiàn)性有限元逆迭代法可避免膜單元應(yīng)力釋放時(shí)出現(xiàn)大量松弛的現(xiàn)象，且可以通過(guò)反復(fù)迭代提高計(jì)算精度，得到較為精確的零應(yīng)力曲面，再對(duì)其進(jìn)行充氣得到的成形幾何曲面較為精確。

1.2 形面誤差的分析方法

1.2.1 形面誤差概念

評(píng)價(jià)充氣天線(xiàn)反射面的成形精度不能僅由面上個(gè)別點(diǎn)來(lái)判斷，通常是根據(jù)反射面設(shè)計(jì)值與實(shí)際值的均方根誤差 δRMS［11］來(lái)評(píng)價(jià):

式中:Δdi——實(shí)際成形模擬曲面上的點(diǎn)i與設(shè)計(jì)曲面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離殘差;m——結(jié)點(diǎn)數(shù)目。

另外，為了解成形模擬后曲面上任意點(diǎn)的高度較設(shè)計(jì)值的變化趨勢(shì)，對(duì)成形曲面與設(shè)計(jì)曲面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的垂直距離差d zi進(jìn)行分析。d zi＞0代表考慮誤差后，曲面上點(diǎn)i比設(shè)計(jì)值高，即成形曲面偏高;d zi＜0則相反。

1.2.2 敏感性分析方法［12］

建立誤差系統(tǒng)模型:

其中

式中:E——形面誤差，本文用δRMS描述;ak——誤差影響因素，本文指膜材厚度偏差。

在分析ak對(duì)E的影響時(shí)，將其余影響成形精度的因素取為設(shè)計(jì)值，即可得到

由式(3)可了解E對(duì)ak擾動(dòng)的敏感程度。

采用無(wú)量綱化的敏感度函數(shù)Sk對(duì)敏感程度進(jìn)行描述，即將誤差的相對(duì)值δE=/E與ak相對(duì)誤差δak=/ak的比值定義為E對(duì)ak的敏感度函數(shù)Sk:

Sk值越大，表明E對(duì)ak越敏感。通過(guò)對(duì)Sk的比較可以對(duì)不同膜材厚度偏差的敏感性進(jìn)行量化的對(duì)比評(píng)價(jià)。

1.3 分析方案

1.3.1 拋物面參數(shù)和有限元模型

本文研究的反射面為拋物面，方程表示為

式中F為拋物面焦距。

拋物面口徑D為3000 mm，保持口徑不變，取焦徑比F/D=0.25，0.50，0.75，1.00，1.25，1.50。其他材料參數(shù)為:膜材彈性模量 E=2.5 ×109Pa，泊松比μ=0.34，膜材厚度設(shè)計(jì)值t=2.5×10-3mm，設(shè)計(jì)氣壓p=10 Pa。

根據(jù)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，取反射面的1/4進(jìn)行分析，有限元模型如圖3所示。兩條徑向邊界施加對(duì)稱(chēng)約束條件，周邊固支。

1.3.2 膜材厚度偏差分布類(lèi)型

實(shí)際膜材的厚度偏差分布具有多種可能的形式。本文在線(xiàn)性分布形式［4］的基礎(chǔ)上，針對(duì)均勻分布形式及線(xiàn)性非均勻分布形式探討膜材厚度偏差對(duì)成形精度的影響。

圖3 拋物面有限元模型Fig.3 Finite element model of paraboloid membrane structure

均勻分布即是指整個(gè)反射面的厚度偏差Δt為均值(中心點(diǎn)處膜材厚度變化的百分?jǐn)?shù)，Δt為正值代表厚度增大，負(fù)值代表厚度減小)。分析時(shí)取Δt=0，±5%，±10%，±15%，±20%進(jìn)行研究。

線(xiàn)性非均勻分布是指偏差值沿著拋物面徑向線(xiàn)性變化，本文選擇a類(lèi)和b類(lèi)兩種線(xiàn)性變化方式進(jìn)行分析(圖4)。a類(lèi)為中心點(diǎn)處厚度偏大，邊界處厚度偏小;b類(lèi)為中心點(diǎn)處厚度偏小，邊界處厚度偏大。取=0，5%，10%，15%，20%的a類(lèi)和b類(lèi)情況進(jìn)行研究。面上各點(diǎn)厚度的計(jì)算公式為

圖4 膜材厚度線(xiàn)性偏差形式Fig.4 Linear deviation of membrane thickness

式中:ti——拋物面上各點(diǎn)膜材厚度，mm;R——拋物面半徑，mm;ri——拋物面上各點(diǎn)距離結(jié)構(gòu)中心點(diǎn)的水平距離，mm。

2 膜材厚度偏差均勻分布對(duì)拋物面形面精度的影響

2.1 一般規(guī)律

以焦徑比F/D為1.50的充氣天線(xiàn)拋物面為例，對(duì)膜材厚度偏差均勻分布情況進(jìn)行誤差分析。Δt=±10%，±20%時(shí)的形面誤差分布見(jiàn)圖5。由圖5可以看出:

a.比較膜材厚度偏大和偏小的兩類(lèi)情況，厚度偏小時(shí)，整個(gè)膜面上的點(diǎn)都較設(shè)計(jì)曲面偏高;厚度偏大時(shí)，除了邊界附近部分曲面上的點(diǎn)偏高外，大部分曲面都較設(shè)計(jì)曲面偏低。

b.比較厚度偏大(或偏小)不同絕對(duì)值的情況發(fā)現(xiàn)，形面誤差隨著厚度偏差絕對(duì)值的增大而增大。

c.在相同的膜材厚度偏差下，越靠近邊界的點(diǎn)，由于受到邊界固定約束的影響較大，變形受到限制，其形狀偏差越小。

圖6為旋轉(zhuǎn)母線(xiàn)L1(圖5(b))上各點(diǎn)的垂直距離差d zi，圖中橫坐標(biāo)為母線(xiàn)上各點(diǎn)距中心點(diǎn)的水平距離r與R的比值r/R。為了了解在每種膜材厚度偏差下d zi的變異程度，采用變異系數(shù)Cv來(lái)描述［13］。Cv是衡量某組數(shù)據(jù)變異程度的統(tǒng)計(jì)量，表示為

式中μ和σ分別為數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

將L1均分為10個(gè)區(qū)段(區(qū)段1:r/R=0.0～0.1;區(qū)段2:r/R=0.1～0.2;……)，分別計(jì)算每個(gè)區(qū)段內(nèi)d zi的Cv(圖7)。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r/R=0.2～0.6時(shí)，d zi的變異系數(shù)接近于0，離散程度較低。此結(jié)論可以應(yīng)用于充氣反射面天線(xiàn)的設(shè)計(jì)中:選取d zi離散程度較低的區(qū)段(r/R=0.2～0.6)作為反射面有效區(qū)域，這樣有利于采用統(tǒng)一措施補(bǔ)償膜材厚度偏差均勻分布帶來(lái)的誤差。

進(jìn)一步計(jì)算拋物面在上述各種偏差下的δRMS(圖8)及δRMS對(duì)膜材厚度偏差的敏感度(圖9)。由圖8可以看出，形面δRMS隨Δt絕對(duì)值的增大而增大;膜材厚度偏小比偏大時(shí)產(chǎn)生的δRMS大。由圖9可以看出，膜材厚度均勻分布偏小時(shí)δRMS對(duì)Δt的敏感度更大，說(shuō)明膜材厚度偏小對(duì)于拋物面的成形精度影響更大。這是由于膜材厚度偏小時(shí)，膜面的力學(xué)性能被削弱，從而使形面誤差較大。

圖5 考慮膜材厚度均勻偏差的形面誤差分布Fig.5 Shape error distribution considering uniform deviation of membrane thickness

圖6 考慮Δt均勻分布時(shí)L1的形狀偏差Fig.6 Shape error distribution of L1 considering uniform deviation of membrane thickness

圖7 各區(qū)段內(nèi)d zi的變異系數(shù)Fig.7 Coefficient of variation of d zi in each section

圖8 δRMS～Δt均勻分布關(guān)系曲線(xiàn)Fig.8 δRMS-Δt of membrane thickness curve

2.2 對(duì)不同形狀拋物面成形精度的影響

對(duì)不同焦徑比的拋物面進(jìn)行成形模擬，分析每種形狀在不同膜材厚度偏差均勻分布情況下δRMS(圖10)及 δRMS對(duì) Δt的敏感度(圖11)。

由圖10可以看出:(a)Δt=0時(shí)，δRMS值隨著F/D增加而增大，這是由于拋物面是由裁剪片拼接后充氣而得，裁剪片是不可展曲面，造成未引入誤差的情況下也存在一定的成形誤差，并且拋物面曲率越大，曲面展開(kāi)時(shí)產(chǎn)生的誤差也越大。(b)δRMS隨F/D的增大而增大，即拋物面越淺，其成形精度受Δt的影響程度越大，這與毛麗娜等［8］的研究結(jié)果吻合。

圖9 δRMS～Δt均勻分布的敏感度Fig.9 δRMS-Δt sensitivity to uniform deviation of membrane thickness

圖10 不同形狀拋物面δRMS～Δt均勻分布關(guān)系Fig.10 δRMS-Δt uniform deviation of membrane thickness curves for paraboloids with different shapes

圖11 不同形狀拋物面δRMS～Δt均勻分布敏感度Fig.11 δRMS-Δt sensitivity to uniform deviation of membrane thickness for paraboloids with different shapes

由圖11可以看出:Δt均勻分布時(shí)，偏差偏大，δRMS對(duì)Δt的敏感度較小;δRMS對(duì)Δt均勻分布時(shí)的敏感度隨著F/D增大而減小。

3 膜材厚度偏差線(xiàn)性非均勻分布對(duì)拋物面成形精度的影響

3.1 一般規(guī)律

以F/D為1.50的充氣拋物面天線(xiàn)為例，對(duì)a類(lèi)和b類(lèi)膜材厚度偏差線(xiàn)性非均勻分布情況進(jìn)行分析。=20%時(shí)的形面誤差分布見(jiàn)圖12，曲面形狀偏差見(jiàn)圖13。由圖12、圖13可以看出:(a)與膜材厚度偏差均勻分布情況類(lèi)似，厚度偏小處曲面偏高，厚度偏大處曲面偏低。(b)曲面上各點(diǎn)d zi的變化規(guī)律與厚度變化規(guī)律對(duì)應(yīng)，也按線(xiàn)性變化。(c)厚度偏差線(xiàn)性非均勻分布時(shí)各點(diǎn)d zi曲線(xiàn)與0誤差時(shí)曲線(xiàn)的交點(diǎn)(A，B)偏向平拋物面中心，并不與厚度變化的交點(diǎn)完全重合。產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因是曲線(xiàn)上各點(diǎn)有相互作用，厚度無(wú)偏差處受到左右各點(diǎn)的作用也產(chǎn)生了形面誤差。(d)與膜材厚度偏差均勻分布相比，偏差線(xiàn)性非均勻分布時(shí)曲面形狀產(chǎn)生的偏差更小，并且形面誤差分布更加均勻。

拋物面在不同膜材厚度偏差線(xiàn)性非均勻分布下的δRMS值見(jiàn)圖14。由圖14可知:δRMS隨著Δt絕對(duì)值的增大而增大;當(dāng)Δt絕對(duì)值相等時(shí)，偏差線(xiàn)性非均勻分布比均勻分布產(chǎn)生的形面誤差小，且b類(lèi)偏差線(xiàn)性非均勻分布產(chǎn)生的形面誤差最小。

圖12 =20%時(shí)形面誤差分布Fig.12 Shape error distribution considering linear non-uniform deviation of membrane thickness

圖13 考慮Δt線(xiàn)性非均勻分布時(shí)L1的形狀偏差Fig.13 Shape error distribution of L1 considering linear non-uniform deviation of membrane thickness

圖14 δRMS～Δt線(xiàn)性非均分分布關(guān)系Fig.14 δRMS-Δt linear non-uniform deviation of membrane thickness curve

理想拋物面充氣膜結(jié)構(gòu)的徑向和緯向應(yīng)力為

式中:P——充氣氣壓;σ1，σ2——充氣膜結(jié)構(gòu)的徑向和緯向應(yīng)力;R1，R2——兩個(gè)主曲率半徑。

從式(8)可以看出，從拋物面的中心頂點(diǎn)到邊緣，兩個(gè)方向的應(yīng)力逐漸增大，并與材料的厚度成反比。當(dāng)膜材厚度發(fā)生從頂點(diǎn)到邊緣線(xiàn)性增大的b類(lèi)變化時(shí)，膜面的應(yīng)力分布更加均勻，與本文b類(lèi)Δt線(xiàn)性非均勻分布時(shí)對(duì)拋物面成形精度影響較小的結(jié)論相符。

3.2 對(duì)不同形狀拋物面成形精度的影響

對(duì)不同F(xiàn)/D的拋物面進(jìn)行成形模擬，分析每種形狀在不同Δt線(xiàn)性非均勻分布情況下的δRMS(圖15)及δRMS對(duì)Δt線(xiàn)性非均勻分布時(shí)的敏感度(圖16)。

圖15 不同形狀拋物面δRMS～Δt線(xiàn)性非均勻分布關(guān)系Fig.15 δRMS-Δt linear non-uniform deviation of membrane thickness curves for paraboloids with different shapes

圖16 不同形狀拋物面δRMS～Δt線(xiàn)性非均勻分布的敏感度Fig.16 δRMS-Δt sensitivity to linear non-uniform deviation of membrane thickness for paraboloids with different shapes

由圖15可以看出:δRMS隨著F/D的增大而增大，此現(xiàn)象與Δt均勻分布時(shí)類(lèi)似。Δt線(xiàn)性非均勻分布比均勻分布對(duì)拋物面成形精度影響小，并且b類(lèi)比a類(lèi)線(xiàn)性變化產(chǎn)生的形面誤差小。由圖16可以看出:與Δt均勻分布時(shí)情況類(lèi)似，δRMS對(duì)Δt線(xiàn)性非均勻分布的敏感度隨著F/D增大而減小，但是在敏感度數(shù)值上相比，Δt線(xiàn)性非均勻分布的敏感度普遍偏小，說(shuō)明充氣天線(xiàn)拋物面的成形精度對(duì)Δt均勻分布更敏感。

4 結(jié) 論

采用Fortran語(yǔ)言編譯充氣拋物面天線(xiàn)有限元分析程序，對(duì)6種不同焦徑比的反射面進(jìn)行了成形數(shù)值模擬，研究了膜材厚度偏差均勻分布和線(xiàn)性非均勻分布對(duì)不同焦距比拋物面成形精度的影響。

a.膜材厚度偏差均勻分布時(shí)，拋物面任一母線(xiàn)在區(qū)段r/R=0.2～0.6內(nèi)，形面誤差變化不大，此區(qū)段可作為反射面有效區(qū)域，有利于采取統(tǒng)一措施補(bǔ)償厚度偏差帶來(lái)的誤差;δRMS隨膜材厚度偏差絕對(duì)值的增大而增大;由于膜材厚度偏小會(huì)削弱膜面的力學(xué)性能，因此厚度均勻偏小時(shí)形面的δRMS及其敏感度較大。

b.膜材厚度存在偏差線(xiàn)性非均勻分布時(shí)，形面誤差沿徑向按線(xiàn)性分布;δRMS隨膜材厚度偏差絕對(duì)值的增大而增大;與偏差均勻分布相比，其δRMS值和敏感度都較小;偏差線(xiàn)性非均勻分布b類(lèi)比a類(lèi)引起的形面誤差更小。

c.與設(shè)計(jì)曲面相比，在膜材厚度偏小處成形曲面偏高，厚度偏大處曲面偏低。

d.拋物面越淺(焦徑比越大)，膜材厚度偏差引起的δRMS越大，因此在設(shè)計(jì)較淺的反射面時(shí)應(yīng)更加重視膜材厚度偏差對(duì)其成形精度帶來(lái)的影響，嚴(yán)格控制所選膜材的質(zhì)量;而δRMS對(duì)偏差的敏感度則隨焦徑比增大而減小。

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