康 麗，陳麗丹，劉 欣，張 堯

(1.東莞理工學(xué)院電子工程學(xué)院，廣東東莞 523808;2.重慶大學(xué)輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044;3.華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，廣東廣州 510640)

牛頓二階法［1］是包含二階導(dǎo)數(shù)的牛頓-拉夫遜潮流算法，稱為精確修正方程計(jì)算法，習(xí)慣上簡(jiǎn)稱為牛頓二階法。牛頓二階法和快速解耦法是牛頓法在直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下發(fā)展最成功的2種算法，在20世紀(jì)八九十年代都得到了比較廣泛的應(yīng)用。牛頓二階法需要計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)［2］，由于較多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，加上對(duì)三維矩陣的理解較抽象，因而求解較繁瑣復(fù)雜，遜色于快速解耦法在電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中的應(yīng)用。但由于這2種算法都是一階收斂，隨著電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的規(guī)模越來(lái)越大，這2種算法都無(wú)法獨(dú)立進(jìn)行大電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算。

傳統(tǒng)的牛頓-拉夫遜算法(簡(jiǎn)稱牛頓法)的不足之處是對(duì)初值要求比較嚴(yán)格。電力工作者也將快速解耦法用于牛頓法的前幾次迭代，即用于解決牛頓法的初值問(wèn)題。實(shí)際上，牛頓二階法較快速解耦法用于解決牛頓法的初值問(wèn)題更具優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)樗c牛頓法的連接非常方便，且編程簡(jiǎn)單［3-8］。

本文利用三維海森矩陣截面給出一個(gè)簡(jiǎn)單直觀的牛頓二階法中二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)分解降維求解公式的推導(dǎo)方法，即當(dāng)采用常規(guī)牛頓二階法計(jì)算時(shí)，只需在計(jì)算牛頓法功率修正量的同時(shí)求解增量功率修正量，并將其加入到求解的功率或電壓的不平衡量中。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的潮流程序設(shè)計(jì)，既可以選擇牛頓二階法不斷修正其修正量，也可以選擇通常的牛頓法。計(jì)算表明，在系統(tǒng)的規(guī)模較小、用于單獨(dú)的潮流計(jì)算時(shí)，牛頓二階法對(duì)初值的要求和收斂速度都有所改進(jìn)。

1 牛頓二階法的算法原理

眾所周知，牛頓法就是保留非線性函數(shù)f(x)=0的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的線性項(xiàng)，忽略Δx的二次項(xiàng)和高次項(xiàng)，利用逐次線性化的迭代求解方法求解［9-10］。牛頓二階法則是保留其二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)進(jìn)行求解［1-2］。設(shè)多變量函數(shù)，有

顯然，A是三維矩陣，稱之為海森矩陣。

若F(X)是二次函數(shù)，則其任何項(xiàng)的二階導(dǎo)數(shù)均為常數(shù)，三階及三階以上的導(dǎo)數(shù)均為零。因而式(3)是其所求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的精確表達(dá)式。

式(3)即為牛頓二階法表達(dá)式。將牛頓二階法與通常的牛頓法比較，可以看出牛頓法除了有函數(shù)初值為零的常數(shù)項(xiàng)外，還要加上一項(xiàng)含二階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)。由于牛頓二階法是對(duì)二次函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，顯然從式(3)可知其二階導(dǎo)數(shù)仍然是常數(shù)項(xiàng)。牛頓二階法的關(guān)鍵在于對(duì)一階和二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的求解。由矩陣相乘原理可知，三維矩陣與其對(duì)應(yīng)的向量相乘，其結(jié)果是一個(gè)二維矩陣，二維矩陣再與其對(duì)應(yīng)的向量相乘，結(jié)果是一維向量。因而式(3)中括號(hào)內(nèi)是2個(gè)向量之和。即

式中向量F'(ΔX)的每一項(xiàng)元素是由三維矩陣A的對(duì)應(yīng)截面(二維矩陣)與修正向量ΔX兩次相乘的結(jié)果。

2 牛頓二階法的求解過(guò)程

應(yīng)用于電力系統(tǒng)潮流計(jì)算，設(shè)用直角坐標(biāo)表示的二次方程式排列為

式中ΔP，ΔQ，ΔV分別為節(jié)點(diǎn)有功功率增量、無(wú)功功率增量和電壓增量。其中，對(duì)PQ節(jié)點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)功率平衡方程表達(dá)式為

式中:e，f——節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部和虛部;G，B——節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的實(shí)部和虛部;i——節(jié)點(diǎn);j——與節(jié)點(diǎn)i直接相接的所有節(jié)點(diǎn);s——PQ節(jié)點(diǎn)。

對(duì)PV節(jié)點(diǎn)，其電壓平衡方程式也是二次方程式:

式(5)各項(xiàng)是以式(6)，(7)和(8)表示為直角坐標(biāo)的節(jié)點(diǎn)功率和電壓的平衡方程式。應(yīng)用于牛頓二階法求解式(3)的海森矩陣A的元素就是對(duì)式(5)，(6)和(7)求二階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果。由此可見(jiàn)，海森矩陣按照各自規(guī)律形成3個(gè)矩陣分塊。由算法原理可知，三維矩陣與2個(gè)對(duì)應(yīng)的向量相乘，其結(jié)果是1個(gè)向量，顯然該向量的每個(gè)元素是相應(yīng)的三維矩陣的截面，即對(duì)應(yīng)的二維矩陣與2個(gè)向量相乘的結(jié)果。因此3個(gè)矩陣分塊只要得3個(gè)二階導(dǎo)數(shù)的通式(截面)，就可以求得F'(ΔX)的對(duì)應(yīng)元素。

先選對(duì)應(yīng)于有功方程(6)的二階導(dǎo)數(shù)，即對(duì)應(yīng)于海森矩陣A的一個(gè)橫斷面Api，即對(duì)應(yīng)方程式ΔFi=ΔPi求得一階導(dǎo)數(shù)Jpi，Jpi就是對(duì)應(yīng)雅可比矩陣J的一個(gè)橫向量，即

對(duì)式(9)求其二階導(dǎo)數(shù)，可得Api是一個(gè)二維矩陣。

由于Api是對(duì)Jpi的每個(gè)元素再對(duì)所有的修正量求偏導(dǎo)數(shù)，則任一元素的全部偏導(dǎo)又組成2(n-1)階的行向量，故Api是一個(gè)二維的2(n-1)階矩陣，由一階導(dǎo)數(shù)所得的雅可比矩陣元素的表達(dá)式知:

由式(10)可見(jiàn)，當(dāng)j≠i時(shí)一階偏導(dǎo)所得的公式只存在fi和ei的變量項(xiàng)，因而其二階導(dǎo)數(shù)為對(duì)fi和ei的偏導(dǎo)等于常數(shù)，其余全部為零。當(dāng)j=i時(shí)其二階偏導(dǎo)分別是各變量的系數(shù)，故求得Api矩陣的各元素值為

式(11)的特點(diǎn)是只有對(duì)應(yīng)每個(gè)(n-1)中節(jié)點(diǎn)i的2行、2列為非零元素，其余的元素為零。將之應(yīng)用于式(5)等號(hào)右邊第2項(xiàng)的求解，Api左乘修正向量可得

對(duì)式(12)進(jìn)行適當(dāng)處理，可得

這樣可以得到4個(gè)求和項(xiàng)為

則有

對(duì)比(14)與式(6)可知，將式(6)中含Pi，s的注入有功常數(shù)等于0，且e和f分別用Δe和Δf取代即為含二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的式(14)。

若節(jié)點(diǎn)無(wú)功功率方程的二階導(dǎo)數(shù)海森矩陣A的一個(gè)橫斷面為Aqi，可求得Aqi矩陣，即其非零元素為兩行兩列:

同理可得

將式(16)與式(7)比較可知，將式(7)中含Qi，s等于0，且e和f分別用Δe和Δf取代即為含二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的式(16)。

對(duì)于PV節(jié)點(diǎn)電壓平衡方程式(8)，顯然，將式中的(Vi，s)2=0，再將fi和ei改成Δfi和Δei即得所求結(jié)果。

3 牛頓二階法的計(jì)算

編制程序利用牛頓二階法對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的中國(guó)電力科學(xué)研究院24節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和新英格蘭30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)等進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果與牛頓法計(jì)算結(jié)果相同，表明其對(duì)初值的要求和收斂速度都有改進(jìn)。

由于牛頓二階法的J是按初值求得的，可能離真值較遠(yuǎn)，偏差較大。計(jì)算中若其取值始終不變，則可能會(huì)造成迭代次數(shù)過(guò)多甚至不收斂。因此在實(shí)際計(jì)算時(shí)，迭代3～5次后，重新計(jì)算J，其效果更佳。

牛頓二階法是一階收斂，因而對(duì)大規(guī)模電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算不一定具有計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)。但是由于牛頓二階法與牛頓法的連接方便簡(jiǎn)單，因而以其前幾次迭代的結(jié)果作為牛頓法的初值，以改變牛頓法對(duì)初值的苛求是有優(yōu)勢(shì)的。

4 結(jié) 論

將牛頓二階法三維海森矩陣取其二維的截面，按照有功、無(wú)功和電壓平衡方程式分割進(jìn)行推導(dǎo)，只需在牛頓法的常數(shù)項(xiàng)再增加1個(gè)二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，而在原常數(shù)項(xiàng)的功率或電壓平衡修正方程式中將常數(shù)項(xiàng)取零，變量以修正量取代即可求得該二階導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)公式。如考慮交直流混合系統(tǒng)的潮流計(jì)算［11-13］，還需將文中列出的公式進(jìn)一步演算。總之，該算法編程簡(jiǎn)單，易于與牛頓法連接。

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