朱美玲，董玲珍

（1.太原城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院，太原 030027；2.太原理工大學(xué)理學(xué)院，太原 030024）

曲面造型是計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)（CG）領(lǐng)域最活躍、關(guān)鍵的學(xué)科分支之一［1-2］。目前，計(jì)算機(jī)中的表面建模技術(shù)被不同的應(yīng)用領(lǐng)域所需求［3］。為滿足不同的應(yīng)用需求，基于不同的表示方法發(fā)展衍生了相應(yīng)的曲面造型技術(shù)。根據(jù)曲面變形的機(jī)理可大致分為4類［4-5］:基于幾何模型的曲面變形、自由變形（FFD）、基于物理模型的變形方法和基于幾何約束優(yōu)化的變形。B樣條曲面作為一種應(yīng)用廣泛的逼近樣條類，它允許曲面可以局部控制，同時因?yàn)闃訔l曲面是線性連續(xù)且光滑的曲面，所以用樣條曲面來定義變形的參數(shù)空間可以使變形更加精確。

本文首先介紹了雙三次B樣條曲面的變形基礎(chǔ)和曲面拼接的表達(dá)式，提出了一種雙三次B樣條曲面生成的改進(jìn)算法，然后采用點(diǎn)約束、目標(biāo)曲線約束兩種幾何約束驅(qū)動雙三次B樣條曲面變形，在點(diǎn)約束求解中以控制節(jié)點(diǎn)位移最小為目標(biāo)函數(shù)，使用LINGO軟件計(jì)算得到該目標(biāo)下的最優(yōu)解，并給出計(jì)算實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性。

1 變形基礎(chǔ)

1.1 雙三次B樣條曲面

一個雙三次B樣條曲面用下面的等式來表示:

式中，G代表控制節(jié)點(diǎn)矩陣。

等式（1）也可用如下等式來表示:

使用方程（2），當(dāng)u和v由0到1改變時，能夠生成一個雙三次B樣條曲面，它能有效地提高生成效率。圖1為一個雙三次B樣條曲面的例子。

1.2 曲面拼接

圖1 雙三次B樣條曲面Fig.1 Three B-spline surfaces

為了實(shí)現(xiàn)雙三次B樣條曲面拼接，擴(kuò)展控制節(jié)點(diǎn)矩陣G，然后以每次4×4的方式獲取單面的控制節(jié)點(diǎn)矩陣來拼接。下面是一個控制節(jié)點(diǎn)矩陣。

拼接完Gexpand后，獲得了9個4×4的控制節(jié)點(diǎn)矩陣。圖2表示了在這個合成曲面中單面位置。

圖2 單面和合成面的關(guān)系Fig.2 The relationship between single surface and synthesis surface

這個合成面在變形過程中始終保持C2的連續(xù)性。如圖3所示。

圖3 改變控制節(jié)點(diǎn)后的變形Fig.3 The deformation after change control nodes

2 幾何約束及其求解

目前主要有兩種常用的幾何約束用于變形操作:離散約束和連續(xù)約束。其中離散約束包括空間點(diǎn)信息、控制頂點(diǎn)位移等，連續(xù)約束包括曲線和子曲面等。由于連續(xù)約束的處理將給求解引入非線性的約束，使得變形過程復(fù)雜且難以收斂，因此主要關(guān)注離散約束類型，連續(xù)約束可通過離散采樣等方法轉(zhuǎn)化為一般的離散約束類型。

2.1 點(diǎn)約束及其求解

在平面上點(diǎn)pm（u，v）處，位置約束（2）和切線約束（3）形成了基本約束，能夠被寫成［6］:

其中N=（A，B，C）是變形后曲面在pt上的法向量，Pt為目標(biāo)點(diǎn)。

考慮方程（1）和點(diǎn)約束，因而，目標(biāo)是計(jì)算一個新的控制節(jié)點(diǎn)矩陣。

節(jié)點(diǎn)控制矩陣是4×4方陣，考慮到未知量的個數(shù)和曲面變形的效果，將控制節(jié)點(diǎn)矩陣中4個坐標(biāo)值設(shè)為變量，其余12個坐標(biāo)值保持固定，變形問題在各個維度上就轉(zhuǎn)換為求解4元一次方程組的問題，所以是以最小控制節(jié)點(diǎn)位移求解的最佳模型。為了降低復(fù)雜度，在變形過程中設(shè) Px10，Px11，Px12，Px13是變量，其他的都是固定值。這樣，點(diǎn)約束的求解轉(zhuǎn)變成線性等式的求解。在點(diǎn)約束下，沿著坐標(biāo)y軸，得到等式（4）。

建立以最小控制節(jié)點(diǎn)位移求解的最佳模型。使用LINGO計(jì)算新的控制節(jié)點(diǎn)解。圖4展示了求解節(jié)點(diǎn)約束解的過程。

圖4 點(diǎn)約束的求解過程Fig.4 The solving process of point constraint

2.2 目標(biāo)曲線約束及其求解

目標(biāo)曲線約束是一種連續(xù)的約束，解決這種約束將給系統(tǒng)引入非線性約束，會使得解決過程復(fù)雜而且難以聚合［7］。因此，在解決這種約束之前，先分離目標(biāo)曲線為離散的點(diǎn)，然后像解決多個點(diǎn)約束一樣解決它。比較等式（4），在目標(biāo)曲線約束下我們沿著y軸能夠獲得等式（5）.

式中，AY表示系數(shù)矩陣，AYb表示常數(shù)矩陣，則（5）可以表示為:

使用最小二乘法得到等式（7）:

其中NAY=AYT×AY，并且有:

如果NAY是可逆，則:y=NAY-1·NAYb

否則:y=NAY+·NAYb

其中NAY+是矩陣NAY的偽逆。

3 求解幾何約束實(shí)例

3.1 點(diǎn)約束求解的例子

輸入需變形的曲面面片5（如圖2）上的點(diǎn)以及目標(biāo)點(diǎn)，利用如圖4所示的求解過程，求解3個例子。

例1:

表1 變形信息Tab.1 The deformation information

圖5 求解點(diǎn)約束（例1）Fig.5 The solving point constraint（example 1）

圖5展示了表1給出的變形信息，即面片5上點(diǎn) pm（0.50，0.50）變形到空間點(diǎn) pt（0.00，5.00，0.00）的變形結(jié)果。

例2:

表2 變形信息Tab.2 Deformation information

圖6 點(diǎn)約束求解（例2）Fig.6 Solving point constraint（example 2）

圖6展示了表2給出的變形信息，即面片5上點(diǎn) pm（0.00，0.00）變形到空間點(diǎn) pt（3.00，5.00，3.00）的變形結(jié)果。

圖7展示了表3給出的變形信息，即面片5上點(diǎn) pm（0.80，0.90）變形到空間點(diǎn) pt（3.00，5.00，3.00）的變形結(jié)果。圖5-圖7給出了以控制節(jié)點(diǎn)最小位移求解點(diǎn)約束目標(biāo)方程的結(jié)果。

圖8 求解目標(biāo)曲線約束（例4）Fig.8 Solving point constraint（example 4）

例3:

表3 變形信息Tab.3 Deformation information

圖7 求解點(diǎn)約束（例3）Fig.7 Solving point constraint（example 3）

3.2 求解目標(biāo)曲線約束例子

如圖8（a）所示，在原始曲面面片上選取5個目標(biāo)點(diǎn)，將目標(biāo)曲線離散為5個點(diǎn)（用紅色繪制），通過MATLAB獲得變形結(jié)果。

例4:

表4 變形信息Tab.4 Deformation information

從圖8（b）及圖8（c）中可以看出隨著單個面片向著目標(biāo)曲線趨近時，與其拼接的曲面也都相應(yīng)的發(fā)生改變最終維持了整個復(fù)合曲面的C2連續(xù)性。

在圖9中可以看出，需要變形的曲面沒有完全通過第1、3、5個目標(biāo)點(diǎn)，而較好的通過第2、4個目標(biāo)點(diǎn)。

例5:

表5 變形信息Tab.5 Deformation information

圖9 求解目標(biāo)曲線約束（例5）Fig.9 The constraint of solving point（example 5）

4 結(jié)論

文章論述了以幾何約束來驅(qū)動雙三次B樣條曲面。雙三次B樣條曲面采用矩陣的表達(dá)形式。在這一基礎(chǔ)上對控制節(jié)點(diǎn)矩陣進(jìn)行擴(kuò)充，并且按照4×4的規(guī)模進(jìn)行分割從而實(shí)現(xiàn)雙三次B樣條曲面的拼接。各個曲面面片拼接后滿足C2連續(xù)度。之后，對幾何約束，包括點(diǎn)約束，目標(biāo)曲線約束進(jìn)行分析。開發(fā)系統(tǒng)能夠完成接收變形曲面面片標(biāo)號，面片上的點(diǎn)以及空間目標(biāo)點(diǎn)等用戶輸入信息，計(jì)算參數(shù)，調(diào)用LINGO程序進(jìn)行計(jì)算，展示變形結(jié)果等功能。在目標(biāo)曲線約束求解中借助MATLAB，模擬得到變形結(jié)果。但還應(yīng)進(jìn)一步研究其它一些約束表達(dá)與實(shí)現(xiàn)（如目標(biāo)曲線的切線約束等），開發(fā)以點(diǎn)約束驅(qū)動曲面變形的程序，使其能夠?qū)崿F(xiàn)用鼠標(biāo)拾取曲面上點(diǎn)，拖動鼠標(biāo)實(shí)現(xiàn)曲面的變形。

［1］LI HAN，F(xiàn)AFFAELE DE AMICIS，etal.Interactive B-spline Surface Modeling based on Force Density Method［J］.Journal of Image and Graphics，2009，14（9）:1900-1907.

［2］CHEN YUEPING，LI SHUPING，SHENYANHUI，et al.Key technology study on generating bi-cubic B-spline surface［J］.Machinery Design ＆ Manufacture，2010（4）:225-228.

［3］GUILLET S，LEON J C.Parametrically deformed free-form surfaces as part of a variational model［J］.Computer Aided Design，1998，30（8）:621-630.

［4］王青，柯映林，李江雄.基于力密度方法的NURBS曲線和曲面變形框架［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，43（3）:135-142.

［5］NEALEN A，IGARASHI T，SORKINE O，et al.Laplacianmesh optimization［C］∥Proceedings of ACM GRAPHITE，2006:381-389.

［6］HU S S，ZHU Q X.Stochastic Optimal Control and Analysis of Stability of Networked Control Systems with long delay［J］.Automatica.2003，39（11）:1877-1884.

［7］BAUER P H，SICHITIU M.Total Delay Compensation in LAN Control Systems and Implications for Scheduling［J］.Proc of the American Control Conference，Arlington，2001（6）:4300-4305.