南景富， 趙春香， 齊 輝， 楊在林， 孫 鵬

(1.黑龍江科技大學 理學院，哈爾濱 150022;2.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001;3.黑龍江省農(nóng)副產(chǎn)品加工機械化研究所，黑龍江 佳木斯 154004)

0 引言

在工程實際應用的天然材料或人工合成的材料中，會遇到含有界面、襯砌、脫膠和裂紋等結(jié)構(gòu)。如全面開挖的隧道在回填時會形成界面，為加固巷道而建造的襯砌結(jié)構(gòu)，襯砌結(jié)構(gòu)在溫度變化與受沖擊載荷等復雜因素作用下，會產(chǎn)生與鄰接的介質(zhì)間脫膠等現(xiàn)象。這些材料在受到動態(tài)的外力作用時，會在介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生擾動，且擾動會在材料內(nèi)有規(guī)律的傳播。當這種波動遇到界面、襯砌、脫膠和裂紋等結(jié)構(gòu)時，波動規(guī)律會發(fā)生變化。研究波動規(guī)律與材料中這些結(jié)構(gòu)的形狀、幾何尺寸和空間位置等特性間的相互關系或者在已經(jīng)檢測到波動信息的前提下，反過來判斷材料中含有的結(jié)構(gòu)類型、幾何形狀、空間位置或者結(jié)構(gòu)物周圍介質(zhì)的物理信息等。對工程實際中水下聲納、無損檢測、雷達、探礦、抗震與爆破等許多領域都具有理論和實際意義。筆者通過數(shù)學物理方法中Green函數(shù)以及復變函數(shù)的方法[1－4]，推導界面附近含有半圓形脫膠的圓柱形彈性襯砌的全空間，在受到任意角度入射的出平面波動作用時遠場的位移模式和散射截面函數(shù)方程，并對數(shù)值計算結(jié)果進行了分析討論。

1 力學模型

圖1a表示的是該問題的力學模型。將模型沿著界面s分成上下兩個半空間，上半部分為一含有半圓性凹陷的半空間，如圖1b所示;下半部分為一含有半圓形凸起圓形襯砌的半空間，如圖1c所示。

2 線源波動載荷引起的位移函數(shù)

當在圖1b所示的上半空間水平邊界的任意一點加載一與時間協(xié)和的線源波動荷載時，上半空間的位移場通過Green函數(shù)法可表示為[5－11]

圖1c中的下半空間水平邊界的任意一點加載一與時間協(xié)和的線源波動荷載時，下半空間的襯砌內(nèi)位移場和下半空間其余部分位移場可分別表示為

式中，Am、Bm、Cm和 Qm為待求常數(shù)，由邊界條件決定;W0為波的最大幅值;W(i)為入射波;W(s)為散射波。

圖1 問題的力學模型Fig.1 Mechanics model of problem

3 模型的求解

圖2表示的是在該問題的力學模型空間中，出平面波以任意角度α0入射時的模型。

模型入射波W(i)、反射波W(r)和折射波W(f)的波場可表示為

式中:α0為波的入射角;α4為波的折射角。

圖2 出平面波入射模型Fig.2 Model of incidence of anti-plane-wave

在上半空間的分界面s上，總的位移場和應力場可以計算為

同時采用與前面求解線源波動載荷引起的位移函數(shù)相同的方法，可以求得上下半空間中的散射波。

在下半空間的分界面s上，總的位移場和應力場可計算為

為滿足界面s上位移應力連續(xù)條件，在下半空間的界面s上施加均布的出平面線源外載荷f1(r0，θ0)，在上半空間的界面s上施加均布的出平面線源外載荷f2(r0，θ0)，如圖3所示。這樣就可將兩部分結(jié)合在一起，形成所要解決問題的力學模型。求解f1(r0，θ0)的積分方程組為

圖3 模型接合示意Fig.3 Forming bi-media material

在下半空間中，襯砌外總的位移場W(s)I為

在上半空間中，總的位移場W(s)Ⅲ為

式中，W(is)、W(rs)和W(fs)為半圓孔產(chǎn)生的散射波場，W(f1)和W(f2)為界面附加外力系產(chǎn)生的散射波場。

利用Hankel函數(shù)在充分大時的漸近表達式，可以得到散射波位移場遠場位移表達式為

式中，F(xiàn)(Ⅰ)、F(Ⅲ)分別為上半空間和下半空間的散射波的遠場位移模式FFDM。

式中:z=reiθ;m=0 時，εm=1;m≥1 時，εm=2。對于周期為T的波，時間的平均能通量為

通過一個柱體表面r=R的時間的平均能通量為

在遠距離R位置

其中，

入射波在單位面積上的時間平均能通量為

其中，γ稱為散射截面(SCS)。

4 計算結(jié)果與分析

數(shù)值仿真參數(shù):k=ω/cs，ω為位移函數(shù)的圓頻率;為材料的出平面波波速;ρ和 μ分別為材料的密度和剪切模量;k1a為入射波波數(shù)。為無量綱參數(shù)。

圖4a～c為出平面波入射角α0=90°時，界面襯砌脫膠散射波的FFDM數(shù)值結(jié)果。由圖4可見，由于幾何對稱性和入射波入射角α0=90°，F(xiàn)FDM數(shù)值結(jié)果關于y軸對稱，F(xiàn)FDM最大值出現(xiàn)在y軸上或離y軸較近。通過圖4a和圖4bFFDM數(shù)值結(jié)果可見、和不變時，隨著k1a的增加，F(xiàn)FDM數(shù)值結(jié)果分布有了明顯變化。通過圖4a和圖4cFFDM數(shù) 值結(jié)果可見，k1a不變時，隨著增加，F(xiàn)FDM數(shù)值結(jié)果分布有了明顯變化，且脫膠附近的FFDM 數(shù)值解明顯減小。

圖4 出平面波界面襯砌脫膠散射波的FFDMFig.4 FFDM of scattering wave of interface lining and debonding impacted by antiplane-wave

圖5為出平面波入射角α0=45°時，界面襯砌脫膠散射波的FFDM數(shù)值結(jié)果。由圖5可見，F(xiàn)FDM數(shù)值結(jié)果分布不再具有對稱性，最大值不再出現(xiàn)在y軸上或離y軸較近，而且變化復雜，規(guī)律性不再明顯。

圖6為出平面波入射角α0=90°以及不同時，界面襯砌脫膠散射波的SCS隨k1a變化的數(shù)值結(jié)果。

圖5 出平面波界面襯砌脫膠散射波的FFDMFig.5 FFDM of scattering wave of interface lining anddebonding impacted by antiplane-wave

圖6 出平面波界面襯砌脫膠散射波的SCS的變化Fig.6 Vriation of SCS impacted by anti-plane-wave

圖7為出平面波入射角α0=90°以及不同時，界面襯砌脫膠散射波的SCS隨k1a的變化的數(shù)值結(jié)果。

圖7 SH波垂直入射時散射截面隨入射波波數(shù)的變化Fig.7 Variation of scattering cross-section vs.wave number impacted by SH-wave vertically

5 結(jié)束語

界面脫膠襯砌對出平面波的遠場動應力響應的問題，其散射波遠場位移模式值和散射截面值的變化，受上下半空間的材料參數(shù)和出平面波的波動參數(shù)的影響較大，應當在理論分析、工程實際設計和施工中給予足夠的重視。

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