宋世英， 高先龍

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

無序對準一維矢勢束縛中無質量Dirac電子的影響*

宋世英， 高先龍

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

通過有限差分的方法，數(shù)值計算了一個相對論性質的Dirac電子在磁場和無序同時存在時的能譜結構，并討論了不同磁場強度和無序強度時電子密度分布的變化情況.結果發(fā)現(xiàn):隨著無序強度的增大，無序勢削弱了磁場對電子的捕獲，使局域化現(xiàn)象減弱，使得無質量Dirac電子出現(xiàn)了有別于Anderson局域化的現(xiàn)象.

無序；一維；Dirac電子；電子密度分布

0 引 言

2004年,曼徹斯特大學物理學家Novoselov和Geim等[1]在實驗室中首次成功地從石墨中分離出石墨烯.由于單層石墨烯中的準粒子是無質量的Dirac費米子[2]，其低能激發(fā)具有線性的色散關系，粒子遵循相對論性量子力學，可以用Klein-Gorden方程和Dirac方程描述.另外，在原子核物理和其他領域中，研究這些方程的束縛態(tài)解也有著重要的實際意義.由于石墨烯在實驗上的實現(xiàn)，近幾十年來理論物理學者開始廣泛關注二維單層石墨烯中的相對論性電子低能譜的相關性質[3].隨著單層石墨烯中準Dirac電子的發(fā)現(xiàn)了[2,4]，科學家們也相繼在光晶格的冷原子[5]和三維拓撲絕緣體中發(fā)現(xiàn)了準Dirac電子.通過對Dirac電子在不同外勢情況下電子性質的研究，發(fā)現(xiàn)Dirac電子在靜電勢中可以像相對論粒子那樣無阻礙地穿過任意高和寬的勢壘[3].對相對論性粒子的囚禁可以通過具有無窮質量邊界的量子點或外加磁場來實現(xiàn).

石墨烯的材料中普遍存在著無序，無序和電子間的相互作用對理解眾多實驗現(xiàn)象有著非常重要的意義.非相對論性的電子在無序中的性質由Anderson等[6]在1958年提出的局域化理論來解釋，其局域態(tài)電子的波函數(shù)隨著距離的增大呈指數(shù)衰減.對無序性質理解的加深，又激起了物理學者對無序系統(tǒng)中電子輸運性質的研究[7-12].目前，隨著眾多的準Dirac電子材料的發(fā)現(xiàn)，如何理解相對論性材料中無序對體系的影響無疑也具有重要的現(xiàn)實意義.當囚禁Dirac電子的磁場和無序共同存在時，系統(tǒng)的能譜結構、電子密度分布如何變化則是我們目前感興趣的問題.

本文主要研究了石墨烯費米面附近的電子，通過數(shù)值求解磁場中的Dirac方程，并考慮不同的無序強度對電子性質的影響，得到了無質量的Dirac電子在磁場和無序勢共同存在時表現(xiàn)出的一些局域和非局域性質.發(fā)現(xiàn)隨著無序強度的增大，電子密度分布幾率降低，分布呈展寬現(xiàn)象，表現(xiàn)出弱局域化現(xiàn)象.

1 理論模型

石墨烯的主要性質是由費米面附近的電子行為決定的.本文主要研究單層石墨烯的一個電子(忽略電子自旋)在Dirac點(K和K′)附近的性質.在垂直于石墨烯的磁場和無序的共同作用下，系統(tǒng)的哈密頓量可表示為[13]

綜上,可以得到不含時的無質量Dirac-Weyl方程為

把式(3)代入方程(2)可以得到2個耦合的本征方程組

由方程組(5)可以定義一個包含磁場貢獻的有效勢為

通過有效勢的公式,可以大致了解到Dirac粒子密度分布的基本性質.而數(shù)值上求解的是通過對方程(4)進行無量綱變換得到的耦合方程組

2 計算方法

采用有限差分的方法，考慮鋸齒形邊界條件

將耦合方程組(7)進行如下變換：

3 數(shù)值結果和討論

利用有限差分的方法，通過數(shù)值求解方程(9)可得到Dirac電子在磁場矢勢和無序外勢中的密度分布情況，而密度分布是可以通過實驗直接測量的物理量，對其進行研究可以同實驗結果進行直接對比.

當無序勢V1(X)=0，即無序強度g為零時，磁場產(chǎn)生的有效勢V±eff(X)隨磁場強度衰減系數(shù)γ的變化情況和此時系統(tǒng)最低4個能級的電子密度ρn(n=0,1,2,3)分布情況分別如圖1(a),(b)和圖2(a),(b)所示(其中Dirac電子在不同能級n時的電子密度分布ρn=Ψ*n(x)Ψn(x)，n=0,1,2,3,…,n).

圖1(a),(b)是有效矢勢V+eff(實線)和V-eff(虛線)在不同強度的磁場衰減系數(shù)下的分布情況.指數(shù)衰減磁場在系統(tǒng)中形成了量子阱，從而可以形成束縛態(tài).由圖1(a)可以看出,對于弱非均勻性(γ=0.01)磁場下產(chǎn)生的有效勢關于X軸的分布是對稱的，而對于強非均勻性(γ=0.5)磁場下產(chǎn)生的有效勢關于X軸的分布是非對稱的，見圖1(b).γ越小，磁場的非均勻性越小，當γ→0時，系統(tǒng)在均勻磁場下處于Landau能級中；γ越大,束縛態(tài)能級越少，當γ→∞時，系統(tǒng)處于自由粒子的運動狀態(tài).

(a)在弱磁場衰減系數(shù)γ=0.01時的分布 (b)在強磁場衰減系數(shù)γ=0.5時的分布

圖1 包含磁場貢獻的有效勢分布圖

圖2(a)和(b)給出了圖1(a)和(b)相對應的不同能級下的密度分布.可以看出,電子的密度分布在對稱的有效勢下保持對稱性，在非對稱的有效勢下，電子的密度分布呈現(xiàn)出非對稱性.隨著磁場衰減系數(shù)的增大，電子密度分布的對稱性消失.

當系統(tǒng)中存在無序時，隨著無序強度g的增大，電子密度分布出現(xiàn)明顯的變化.由圖3(a),(c)或(b),(d)可知,隨著無序強度g的增大，電子的密度分布呈現(xiàn)展寬的趨勢.在磁場和無序的共同作用下，相對論性的Dirac電子被無序形成的勢能低點所捕獲，從而出現(xiàn)去局域化效應，電子的密度分布出現(xiàn)擴展態(tài)的形式，這不同于相對論性的Anderson局域化現(xiàn)象.

(a)在弱磁場強度衰減系數(shù)γ=0.01時的分布 (b)在強磁場強度衰減系數(shù)γ=0.5時的分布

圖2 不同能級對應的電子密度分布

在弱磁場衰減系數(shù)下，由圖3(a)和(c)可知，無序對相對論性Dirac電子的密度分布影響不大，因為此時的有效勢具有相對較低的勢能零點，從而Dirac電子主要被捕獲在X=0附近的位置，無序使其分布略微展寬.在強磁場衰減系數(shù)下，由圖3(b)和(d)可知，無序對相對論性的Dirac電子的密度分布影響隨無序強度的增強而變大，因為此時的有效勢具有相對較高的勢能零點，無序使得更多的勢能低點出現(xiàn).在此影響下基態(tài)密度分布展寬，在X=0處的密度從g=0時的0.55下降到g=5時的0.51；而對激發(fā)態(tài)的電子密度分布影響更大，使相應的密度分布彌散于整個空間.

(a)在弱磁場衰減系數(shù)γ=0.01，無序強度g=5時的分布 (b)在強磁場衰減系數(shù)γ=0.5，無序強度g=1時的分布

(c)在弱磁場衰減系數(shù)γ=0.01，無序強度g= 10的分布 (d)在強磁場衰減系數(shù)γ=0.5，無序強度為g= 5時的分布

圖3 不同能級在磁場和無序共同作用下對應的電子密度分布

圖4給出了第一激發(fā)態(tài)在弱磁場衰減系數(shù)γ=0.01且不同無序強度時電子的密度分布情況.圖4更清晰地反映出隨著無序強度g的增大，電子密度分布出現(xiàn)去局域化效應的現(xiàn)象(在弱磁場衰減系數(shù)γ=0.01時，n=1的第一激發(fā)態(tài)在無序強度g分別為0,5,10時的電子密度分布).

由于相對論性Dirac電子的Klein佯謬，一般的外勢是不能捕獲電子的.筆者的數(shù)值計算結果表明，即使是很小的衰減磁場也可以捕獲相對論性的Dirac電子，而無序的出現(xiàn)使得Dirac電子具有擴展態(tài)的性質，電子分布于更大的空間區(qū)域，無序勢使得相對論性Dirac電子具有去局域化的趨勢.目前的研究可以推廣到更復雜的有限外勢的研究，如研究雙曲磁場，或線性磁場，或以上不同磁場的綜合因素下，無序對Dirac電子的影響，以及在考慮了自旋-軌道耦合情況下，無序對Dirac電子基態(tài)性質的影響.另外,在無序和相互作用的共同作用下，系統(tǒng)基態(tài)和激發(fā)態(tài)的變化，無疑也是個有意義的研究課題.

圖4 第一激發(fā)態(tài)在不同無序強度時對應的電子密度分布

4 結 論

基于有限差分，通過求解在磁場和無序同時存在時的準一維無質量相對論性Dirac電子，得到了不同磁場強度和無序強度時系統(tǒng)電子密度分布的情況.發(fā)現(xiàn)當無序強度g=0時，磁場產(chǎn)生的有效勢可以捕獲相對論性Dirac電子；隨著無序的增強，即無序強度g的增大，電子的密度分布發(fā)生了變化，Dirac電子的密度分布呈展寬現(xiàn)象；無序的出現(xiàn)使得Dirac電子具有擴展態(tài)的性質，電子分布于更廣的空間區(qū)域，無序勢使得磁場中相對論性Dirac電子具有去局域化的趨勢.

[1]Novoselov K S,Geim A K,Morozov S V,et al.Electric field effect in atomically thin carbon films[J].Science,2004,306(5696):666-669.

[2]Neto A H C,Guinea F,Peres N M R,et al.The electronic properties of graphene[J].Rev Mod Phys,2009,81(1):109-162.

[3] Pereira J M,MlinarJr V,Peeters F M,et al.Confined states and direction-dependent transmission in graphene quantum wells[J].Phys Rev B,2006,74(4):045424.

[4] Abedpour N,Esmailpour A,Asgari R,et al.Conductance of a disordered graphene superlattice[J].Phys Rev B,2009,79(16):165412.

[5]Juzeliūnas G,Ruseckas J,Lindberg M,et al.Quasirelativistic behavior of cold atoms in light fields[J].Phys Rev A,2008,77(1):011802(R).

[6]Anderson P W.Absence of diffusion in certain random lattices[J].Phys Rev,1958,109(5):1492- 1496.

[7]Cheianov V V,Fal′ko V I.Selective transmission of Dirac electrons and ballistic magnetoresistance ofn-pjunctions in grapheme[J].Phys Rev B,2006,74(4):041403.

[8]Abrahams E,Anderson P W,Licciardello D C,et al.Scaling theory of localization:absence of quantum diffusion in two dimensions[J].Phys Rev Lett,1979,42(10):673-676.

[9]Anderson P W,Thouiess D J,Abraharns E,et al.New method for a scaling theory of localization[J].Phys Rev B,1980,22(8):3519-3526.

[10]Zhu Shiliang,Zhang Danwei,Wang Z D.Delocalization of relativistic Dirac particles in disordered one-dimensional systems[J].Phys Rev Lett,2009,102(21):210403.

[11]Yuan Jianhui,Cheng Ze,Yin Miao,et al.Klein paradox and disorder-induced delocalization of Dirac quasiparticles in one-dimensional systems[J].Phys, 2010,54(6):1129-1133.

[12]Krekora P,Su Q,Grobe R.Relativistic electron localization and the lack of zitterbewegung[J].Phys Rev Lett,2004,93(4):043004.

[13]Schnez S,Ensslin K,Sigrist M,et al.Analytic model of the energy spectrum of a graphene quantum dot in a perpendicular magnetic field[J].Phys Rev B,2008,78(19):195427.

[14]Handrich K.Quantum mechanical magnetic-field-gradient drift velocity:an analytically solvable model[J].Phys Rev B,2005,72(16):161308.

(責任編輯 杜利民)

TheeffectsofdisorderonmasslessDiracelectroninaone-dimensionalvectorconfinement

SONG Shiying， GAO Xianlong

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was numerically calculated the structure of energy spectrum and the electron density distribution of a Dirac electron in the present of a magnetic field and disorder by using the method of the finite difference. The effect of the different magnetic fields and disorder on the electron density distributions were also discussed. With the increase of disorder strength, disorder gradually weakensed the localization of the electron and made the massless Dirac electron delocalized which was different from the Anderson localization theory.

disorder; one dimension; Dirac electron; electron density distribution

O441.4

A

1001-5051(2013)01-0068-06

2012-03-06

國家自然科學基金資助項目 (10974181)

宋世英(1986-)，女，河南周口人，碩士研究生.研究方向：低維無序相對論電子的性質.

高先龍.E-mail: gaoxl@zjnu.cn