賈國榮
(山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 文理學(xué)院,山西 太谷030801)
數(shù)學(xué)是創(chuàng)立和發(fā)展物理學(xué)理論的主要工具,它的高度抽象性,使它能夠概括物理世界的基本結(jié)構(gòu)[1]。數(shù)學(xué)中的高斯公式是分析大學(xué)物理中矢場問題的重要工具[2]。電場中的高斯定理人人皆知,被廣泛應(yīng)用到求解具有高對(duì)稱性的帶電系周圍的電場問題中[3],而與電場同屬于保守場的萬有引力場[4],其中,高斯定理在農(nóng)林院校大學(xué)物理課程中并未提及。由此,本文從數(shù)學(xué)中高斯公式和保守場的定義談起,推導(dǎo)出農(nóng)林類大學(xué)物理中兩個(gè)保守場:電場和萬有引力場。把高斯公式推廣到電場和萬有引力場中,得出各自場中的高斯定理,并分別舉例說明高斯定理的運(yùn)用。
高斯公式是數(shù)學(xué)中曲面積分的一個(gè)重要公式,它可以把高斯面上的第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為所圍體的三重積分[5]。描述為:
設(shè)空間區(qū)域V的邊界曲面S是光滑的或分片光滑的,函數(shù) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),在Q及S上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),S的方向?yàn)橥夥ㄏ颍瑒t
或
如果引入矢量函數(shù),高斯公式又寫為:
數(shù)學(xué)意義為:矢量場通過閉合曲面S的流量等于此閉合曲面所圍體V上每一點(diǎn)的散度在體V上的三重積分。
數(shù)學(xué)中,保守場的定義為:在矢量場α中,若曲線積分與路徑無關(guān),只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),這種場稱為保守場。矢量場α為保守場的充要條件是:▽×α=0
農(nóng)林院校大學(xué)物理課程中,電場力做功和萬有引力做功都與路徑無關(guān),即:
根據(jù)斯托克斯定理
得出:
由此從數(shù)學(xué)推導(dǎo),可以知道電場和萬有引力場都是保守場。
把高斯公式運(yùn)用到大學(xué)物理的電場中,就是電場高斯定理。電場通量(即:閉合曲面所圍體V上每一點(diǎn)的散度在體V上的三重積分(即:為電荷體密度[4])。
它可以表述為:通過一個(gè)任意閉合曲面S的電通量Φe等于該面所包圍的所有電量的代數(shù)和∑q除以ε0,與閉合面外的電荷無關(guān)。即:
在求解具有高對(duì)稱性帶電體系的電場分布時(shí),電場高斯定理可以大大簡化計(jì)算過程[6],還反映出電場的另一重要性質(zhì):靜電場是有源場。正電荷是靜電場的源頭,向四周輻射電場。
例:求一個(gè)均勻帶正電球體內(nèi)外的電場強(qiáng)度分布,設(shè)球體帶電總量為Q,球體半徑為R,如圖1。
如果用電場強(qiáng)度疊加原理,把帶電體系分割成無窮多個(gè)電荷元,其中每個(gè)電荷元視為點(diǎn)電荷,對(duì)無窮多個(gè)電荷元產(chǎn)生的電場積分求和,勢必涉及一個(gè)三重積分,顯然,這在數(shù)學(xué)計(jì)算中是比較復(fù)雜的。
如果應(yīng)用高斯定理,由于電荷Q均勻分布在球面上,其電場分布具有球?qū)ΨQ性。在任何與帶電球面同心的球殼上的各點(diǎn),電場強(qiáng)度大小均應(yīng)相等,方向沿各自的矢徑方向。
圖1 帶電量為Q的球體 (虛線為高斯面)Fig.1 The Sphere Charged of Q(The Dotted Line for Gaussian Surface)
在球面外任取一點(diǎn)P,設(shè)想過P點(diǎn)做一個(gè)半徑為r(r>R)的球面,稱之為高斯面,因球面上各點(diǎn)的法線方向與場強(qiáng)方向一致,所以通過該球面的電通量為:
此時(shí),該球面包圍的電荷為:
根據(jù)高斯定理可得:
P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為
對(duì)于球內(nèi)任一點(diǎn)P′,同樣過P′作一半徑為r(r<R)的球形高斯面,通過該球面的電通量為:
此時(shí),該球面包圍包圍的電荷為:
由高斯定理可得:
此時(shí)必有:
萬有引力場和靜電場同屬于保守場,可以設(shè)想萬有引力場如同電場一樣,是一種物理客觀存在。質(zhì)量為M的物體向四周輻射萬有引力場,且萬有引力定律F=GM1M2/r2與庫侖定律F=Q1Q2/4πε0r2相似,都服從平方反比定律。其中,G和1/4πε0類似,為常數(shù);質(zhì)量M 和電量Q 類似。運(yùn)用類比思想[7],把高斯公式應(yīng)用到萬有引力場得,萬有引力場通量(Φf=?SEg·d S),等于閉合曲面所圍體V上每一點(diǎn)的散度在體V上的三重積分(-4πG?ρd v,ρ為質(zhì)量密度)。它可以表述為[8]:通過一個(gè)任意閉合曲面S的萬有引力場通量Φf等于該面所包圍的所有質(zhì)量的代數(shù)和∑imi除以a0,負(fù)號(hào)表明萬有引力場為匯聚場,穿入閉合曲面S。
電場高斯定理在求解具有高對(duì)稱性帶電體系的電場分布時(shí)有著十分重要的地位,同理,在求解具有高對(duì)稱性質(zhì)量體系的萬有引力場分布時(shí),用萬有引力場中的高斯定理會(huì)大大簡化求解過程[9]。
例:求均質(zhì)細(xì)棒中垂面上的受到的引力場強(qiáng)度,設(shè)棒長為2l,如圖2。
圖2 質(zhì)量均勻的細(xì)棒(圓柱體為高斯面)Fig.2 The Thin Rods With Unifor m Quality(The Cylinder for Gaussian Surface)
如果用萬有引力定律計(jì)算,選細(xì)棒中點(diǎn)O為原點(diǎn),取坐標(biāo)軸z沿細(xì)棒向上,由于細(xì)棒具有軸對(duì)稱性,取紙平面作代表[10],細(xì)棒的中垂面與紙面的交線為中垂線OP。
整個(gè)細(xì)棒可以分割成一對(duì)一對(duì)的線元,其中每對(duì)線元dz和dz′對(duì)于中垂線OP 對(duì)稱,這一對(duì)線質(zhì)元在中垂線上任一點(diǎn)P所產(chǎn)生的元引力場d Eg和d Eg′也對(duì)中垂線對(duì)稱。他們在垂直于OP方向的分量互相抵消,從而合成矢量d Eg+d Eg′沿中垂線方向其大小為2d Egcosα,其中:
r表示距離OP,λ表示線質(zhì)量密度,則λd z是總質(zhì)量。
當(dāng)細(xì)棒為無限長時(shí),l→∞,這時(shí)的萬有引力場強(qiáng)為:
如果用應(yīng)用萬有引力場中高斯定理,因該體系具有軸對(duì)稱性,若以細(xì)棒為軸,在垂直于軸的平面內(nèi),同一圓周上的萬有引力場大小處處相等,方向垂直于棒,向內(nèi)匯聚。于是可選取以棒為軸,半徑為r,長為l的封閉圓柱面為高斯面。圓柱的上、下兩個(gè)底面,Eg與d S的方向垂直;側(cè)面的Eg與d S的方向相反,所以通過封閉圓柱體的萬有引力通量為:
根據(jù)高斯定理得:
得:
公式(19)與公式(22)是相等的,可以看出,比起用萬用引力定律來說,用萬有引力高斯定理求解問題比較簡單,省去了很多積分過程,并且體現(xiàn)出萬有引力場是保守場的性質(zhì)。
運(yùn)用數(shù)學(xué)中保守場定義,推導(dǎo)出農(nóng)林院校大學(xué)物理中兩個(gè)保守場:電場和萬有引力場,把高斯公式運(yùn)用到這兩個(gè)保守場中,得到人們比較熟悉的電場中的高斯定理,同時(shí),把高斯公式運(yùn)用到萬有引力場中,結(jié)合類比思想,得到萬有引力場中的高斯定理:
把萬有引力場高斯定理運(yùn)用到實(shí)際解題過程中,可以大大簡化運(yùn)算過程,用很好的運(yùn)用價(jià)值。同時(shí),也揭示了萬有引力場如同電場一樣,是有源場,質(zhì)量為M的體系輻射萬有引力場。
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[3]溫耐,王偉峰.高斯定理在靜電場中的應(yīng)用問題[J].物理通報(bào),2010(11):9-11.
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[5]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京,高等教育出版社,1996:234-240.
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[7]蔡香民.萬有引力與高斯定理——類比在物理學(xué)中的作用[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,25(2):147-150.
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