馬 彪

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

J-周期環(huán)及其擴張

馬 彪

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

定義了J-周期環(huán),推廣了周期環(huán).首先,討論J-周期環(huán)的一些基本性質(zhì),如J-周期環(huán)的商環(huán)、子環(huán)以及J-周期環(huán)與周期環(huán)的關(guān)系.然后,給出J-周期環(huán)的一些擴張,并證明環(huán)的J-周期性與其上的冪級數(shù)環(huán)、廣義矩陣環(huán)、上三角矩陣環(huán)的J-周期性是等價的.

周期環(huán);J-周期環(huán);Jacobson根;廣義矩陣環(huán);擴張

1 基本性質(zhì)

設(shè)R是含單位元1的結(jié)合環(huán),N(R),J(R),C(R)和U(R)分別表示環(huán)R中所有冪零元組成的集合,R的Jacobson根,R的中心和R中所有可逆元.環(huán)中元素x叫做potent元,如果存在整數(shù)n>1使得xn=x成立.環(huán)R叫做potent環(huán),如果R中元素都是potent元.Jacobson[1]證明了所有的potent環(huán)都是交換環(huán). 如果存在兩個不相等的正整數(shù)m,n使得xm=xn成立，則環(huán)中元素x叫做周期元.如果R中元素都是周期元,則環(huán)R叫做周期環(huán).顯然,周期環(huán)是potent環(huán)的推廣,但周期環(huán)可以是不交換的,例如M2(Z2).周期環(huán)的一個經(jīng)典刻畫由Chacron[2]給出,其指出一個環(huán)R是周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對R任意的元素x都存在一個正整數(shù)q和一個整系數(shù)多項式f(t)∈Z[t]使得xq=xq+1f(x).不難驗證,x-xk∈N(R)能夠得到xq=xq+1f(x),而x-xk∈N(R)又等價于xm-xn∈N(R).因此,環(huán)R是周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)存在不同的正整數(shù)m,n使得xm-xn∈N(R).在上述條件中用J(R)代替N(R),我們得到新的一類環(huán),它包含了所有的周期環(huán).

定義1環(huán)R叫做J-周期環(huán),如果對任意一個x∈R存在兩個不同的正整數(shù)m,n使得

xm-xn∈J(R).

注該定義等價于說R是J-周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/J(R)是周期環(huán).

引理1J-周期環(huán)的同態(tài)像是J-周期環(huán).

證明設(shè)π:R→S為環(huán)R到環(huán)S的滿同態(tài),其中R為J-周期環(huán).如果x∈J(R),那么對任意的r∈R有1-xr∈U(R).于是對任意的s∈S,1-π(x)s∈U(S),所以有π(J(R))?J(S).對任意的s∈S存在r∈R使得π(r)=s.由R是J-周期環(huán)知存在不同的正整數(shù)m,n使得rm-rn∈J(R).因此,sm-sn=π(rm-rn)∈J(S),即S是一個J-周期環(huán).

引理2環(huán)R是J-周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對R中任意的x都存在正整數(shù)n,k使得(x-xn)k∈J(R).

推論1一個環(huán)R是周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是J-周期環(huán)且J(R)是詣零的.

證明設(shè)R是一個J-周期環(huán)并且J(R)是詣零的,那么對任意的x∈R存在不同的正整數(shù)m,n使得xm-xn∈J(R)?N(R),所以R是周期環(huán).反過來,如果R是周期環(huán),則J(R)是詣零的[3].

推論2設(shè)R是一個J-周期環(huán)并且R是除環(huán),則R是一個域.

證明R是除環(huán)則J(R)=0.因此,R是一個周期的除環(huán).由文獻[3]，R是一個域.

環(huán)R的一個理想I叫做約化理想,如果由a2∈I能夠得到a∈I.顯然,I是一個約化理想當(dāng)且僅當(dāng)R/I是一個約化環(huán).

推論3設(shè)R是一個J-周期環(huán),如果J(R)是一個約化理想則R/J(R)是交換環(huán).

證明如果J(R)是一個約化理想,那么R/J(R)是約化環(huán).由引理2,R/J(R)是一個potent環(huán),因此是交換環(huán).

推論4設(shè)R是一個J-周期環(huán),如果J(R)是一個約化理想并且J(R)?C(R),則R是交換環(huán).

證明如果R滿足上述條件,由引理2，對任意的x∈R存在正整數(shù)k使得x-xk∈J(R)?C(R).由文獻[4],R是交換環(huán).

設(shè)R是一個周期環(huán),S是R的一個子環(huán),則對任意的s∈S,存在不同的正整數(shù)m,n使得sm-sn∈J(R).因此,對任意的r∈R有1-(sm-sn)r∈U(R).特別的,對任意的s′∈S有1-(sm-sn)s′∈U(R),但1-(sm-sn)s′未必是S中的可逆元.所以J-周期環(huán)的一個子環(huán)未必是J-周期環(huán).當(dāng)然,如果1-(sm-sn)s′∈U(S),那么S一定是J-周期環(huán).自然地,我們得到下面的定理.

定理1設(shè)R是一個J-周期環(huán),S是R的一個子環(huán).對s∈S,如果s∈U(R)就有s∈U(S),那么S是一個J-周期環(huán).

設(shè)e是環(huán)R中的一個冪等元,集合eRe關(guān)于R中的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán),叫做R的corner環(huán),其單位元為e.下面的定理給出了J-周期環(huán)與其corner環(huán)的關(guān)系.

定理2環(huán)R是J-周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對R中任意的冪等元e,eRe是J-周期環(huán).

證明如果R是J-周期環(huán),那么對任意的eae∈eRe?R,存在不同的正整數(shù)m,n使得(eae)m-(eae)n∈J(R).因為J(eRe)=eJ(R)e,且(eae)m-(eae)n∈eJ(R)e=J(eRe),所以eRe是J-周期環(huán).反過來,如果對任意的冪等元e有eRe是J-周期環(huán),那么取e=1立即得到R是J-周期環(huán).

2 擴 張

定理3環(huán)R是J-周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)冪級數(shù)環(huán)R[[x]]是J-周期環(huán).

引理3設(shè)R是任意一個環(huán),則R[[x]]/(xn)?Sn(R),其中

證明定義映射φ:R[[x]]→Sn(R)為

其中f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+….不難驗證φ是環(huán)R[[x]]到環(huán)Sn(R)的一個滿同態(tài).因為

由環(huán)同構(gòu)定理,R[[x]]/(xn)?Sn(R).

推論5對于環(huán)R,下面的說法等價:

1)R是J-周期環(huán).

2)R[[x]]是J-周期環(huán).

3)Sn(R)是J-周期環(huán).

證明1)?2)，由定理3可得.2)?3)，由定理3、引理3及引理1可得.3)?1)，對任意的r∈R,令

那么存在不同的正整數(shù)m,n使得Am-An∈J(Sn(R)).因為

所以rm-rn∈J(R),因此R是一個J-周期環(huán).

構(gòu)成一個環(huán),叫做R上關(guān)于乘子s的廣義矩陣環(huán).

引理4[6]設(shè)R是一個環(huán),Ks是R上關(guān)于乘子s的廣義矩陣環(huán).則

其中(s:J(R))={r∈R|rs∈J(R)}.特別地,如果s∈C(R)∩J(R),那么

下面關(guān)于周期元的引理可以在文獻[7]中找到證明.為了方便讀者閱讀,我們給出一個比較簡單的證明.

引理5對任意的兩個周期元a,b,存在不同的正整數(shù)k,l使得ak=al且bk=bl.

證明設(shè)a,b為周期元,那么存在正整數(shù)n,s≥1使得an+s=an以及正整數(shù)m,t≥1使得bm+t=bm.兩個式子兩邊分別乘am和bn得到an+m+s=an+m且bm+n+t=bm+n.令k=m+n+st,l=m+n,則

ak=am+n+st=am+n+sas(t-1)=am+n+s(t-1)=…=am+n=al

且

bk=bm+n+st=bm+n+tb(s-1)t=bm+n+(s-1)t=…=bm+n=bl.

因為s,t≥1,所以k,l是不相等的正整數(shù),這樣就證明了引理.

顯然,引理5的結(jié)論可以推廣到任意有限個周期元的情形.

定理4設(shè)R是一個環(huán),s∈C(R)∩J(R),則R是J-周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Ks也是J-周期環(huán).

其中s1,s2,s3,s4∈J(R).因為ak-al∈J(R)且dk-dl∈J(R)，利用引理4可得Ak-Al∈J(Ks),因此Ks是J-周期環(huán).

由引理4,am-an∈J(R),因此R是J-周期環(huán).

對任意的環(huán)R,設(shè)n>1為一固定的正整數(shù),記Tn(R)為R上所有n階上三角矩陣組成的集合.Tn(R)關(guān)于通常的矩陣加法和乘法構(gòu)成一個環(huán),稱為R上的n階上三角矩陣環(huán).利用引理5,還可以證明J-周期環(huán)的上三角矩陣環(huán)也是J-周期環(huán).

定理5環(huán)R是J-周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Tn(R)也是J-周期環(huán).

證明設(shè)R是J-周期環(huán).對任意固定的正整數(shù)n>1,Tn(R)為R上的n階上三角矩陣環(huán).對任意的

因為

所以Ak-Al∈J(Tn(R)).這表明Tn(R)是J-周期環(huán).

反過來,設(shè)Tn(R)是周期環(huán).對任意的x∈R,令X=diag{r,r,…,r}∈Tn(R).因為Tn(R)是J-周期環(huán),所以存在不同的正整數(shù)m,n使得Xm-Xn∈J(Tn(R)),從而rm-rn∈J(R).因此R是周期環(huán).

推論6環(huán)R是J-周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的平凡擴張也是J-周期環(huán).

由引理5立即可以得到,任意有限個J-周期環(huán)的直和也是J-周期環(huán).下面證明有限個J-周期環(huán)的直和的一類子環(huán)也是J-周期環(huán).

定理6設(shè)R1,R2是J-周期環(huán),則R1,R2的亞直和R也是J-周期環(huán).

下面考慮J-周期環(huán)的另一類擴張,這類擴張和子環(huán)有關(guān).

定義3[8].設(shè)D是一個環(huán),C是D的一個子環(huán),記

R[D,C]={(d1,d2,…,dn,c,c,…)|di∈D,c∈C,n≥1},

則R[D,C]關(guān)于對應(yīng)分量的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán).

引理6[8]設(shè)D是一個環(huán),C是D的一個子環(huán),則J(R[D,C])=R[J(D),J(C)∩J(D)].

定理7設(shè)D是一個環(huán),C是D的一個子環(huán),則R[D,C]是J-周期環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)C,D都是J-周期環(huán)并且對每個a∈J(C)存在正整數(shù)n使得an∈J(D).

證明設(shè)R[D,C]是一個J-周期環(huán).對任意的d∈D和c∈C,分別令x=(d,0,…)∈R[D,C]和y=(c,c,…)∈R[D,C].那么存在兩對不同的正整數(shù)m,n和s,t分別使得xm-xn∈J(R[D,C])和ys-yt∈J(R[D,C]).由引理6有dm-dn∈J(D)及cs-ct∈J(D)∩J(C).因此,D和C都是J-周期環(huán).如果a∈J(C),令z=(a,a,…),那么存在不同的正整數(shù)k,l使得zk-zl∈J(R[D,C]).所以ak-al∈J(D).不妨設(shè)l>k,則ak(1-al-k)∈J(D).因為a∈J(C),所以1-al-k∈U(R),因此有ak∈J(D).

[1] Jacobson N. Structure of rings,AMS Colloq Publ Vol 37[M]. Providence R I: American Mathematical Society,1964:217.

[2] Chacron M. On a theorem of Herstein[J]. Canad J Math,1969,21:1348-1353.

[3] Grosen J, Tominaga H, Yaqub A. On weakly periodic rings, periodic rings and commutativity theorems[J]. Math J Okayama Univ,1990,32:77-81.

[4] Herstein I N. A generalization of a theorem of Jacobson III[J]. Amer J Math,1953,75:105-111.

[5] Krylov P A. Isomorphism of generalized matrix rings[J]. Algebra Logic,2008,47(4):258-262.

[6] Krylov P A, Tuganbaev A A. Modules over formal matrix rings[J]. J Math Sci,2010,171(2):248-295.

[7] Itani H W. Structure of rings with conditions involving periodic, potent, and central elements[D]. Beirut: American University of Beirut,2009.

[8] 程恭品.環(huán)R[D,C]的結(jié)構(gòu)及其刻畫[D].南京:東南大學(xué),2006.

J-periodicRingandExtensions

MA Biao

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

This paper definedJ-periodic ring which generalized the concept of periodic ring. Firstly, some elementary properties ofJ-periodic rings were studied, such as the quotient rings and subrings ofJ-periodic rings as well as the relationship betweenJ-periodic rings and periodic rings. Then some extensions ofJ-periodic rings were provided, and the equivalence of theJ-periodicity of a ring and theJ-periodicity of the power series ring, generalized matrix ring and upper triangular matrix ring over it was proved.

periodic ring;J-periodic ring; Jacobson radical; generalized matrix ring; extension

2013-03-20

杭州師范大學(xué)創(chuàng)新種子基金項目.

馬彪(1989—),男,基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生,主要從事代數(shù)研究.E-mail: 1989mabiao@sina.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.04.014

O153.3MSC201013M05

A

1674-232X(2013)04-0354-05