觀察法判斷一元函數(shù)的一致連續(xù)性

劉 倩，任曉花

(重慶師范大學數(shù)學學院，重慶401331)

1 引言及基本概念

“函數(shù)的一致連續(xù)性”是數(shù)學分析的一個重點和難點，一致連續(xù)性刻畫了函數(shù)在某個區(qū)間的整體性質(zhì)，是微積分學的基礎.目前判定和證明函數(shù)一致連續(xù)性的方法很多［1-3］，但是判斷和證明的過程比較繁瑣，此處將引進一種新的判斷函數(shù)一致連續(xù)性的方法——觀察法.通過對連續(xù)模數(shù)的學習，認真總結(jié)，結(jié)合MATLAB，并運用實例證明這種方法非常的快速有效.下面介紹所涉及的基本概念.

定義 1［4］設 f為定義在區(qū)間 I上的函數(shù)，若對任給的 ε ＞0，存在 δ= δ(ε)＞0，使得對任何 x'，x″∈I，只要就有，則稱函數(shù)f在區(qū)間I上一致連續(xù).

注1 f在I上一致連續(xù)意味著:不管兩點x'，x″在區(qū)間I中處于什么位置，只要它們的距離小于δ，就可使

定義 2［5］若f(x)在區(qū)間I上有定義，則ω(δ)=稱為函數(shù)f的連續(xù)模數(shù)，ω(δ)ff是關(guān)于δ的非負、不減函數(shù).

2 主要結(jié)論及其證明

定理1 若f(x)在區(qū)間I上有定義，則f(x)在I上一致連續(xù)的充要條件是(δ)=0.

證明 (1)必要性.因 f(x)在 I上一致連續(xù)，因此?ε＞0，?δ1＞0，當時，有，從而

所以f在I上一致連續(xù).證畢.

因為ωf(δ)的值只與f的圖形最陡的地方有關(guān)，根據(jù)定理1可得一元函數(shù)一致連續(xù)性的觀察法.

下面借助于 MATLAB［6］作出 f(x)＞0)的圖像，利用定理2，描述出函數(shù)的一致連續(xù)區(qū)間.并證明其正確性.

圖1 函數(shù)一致連續(xù)區(qū)間

由圖像可以看出，在x=0處，圖形無限變陡，?δ＞0，ωf(δ)=+∞(δ)≠0.因此 f在任何區(qū)間(0，c)(c＞0)上都是非一致連續(xù)的，但在區(qū)間［c，+∞］上，f(x在點c處最陡，且ω(δ)(δ→0+)，可見 f(x)在［c，+∞］上一致連續(xù).

3 結(jié)束語

一致連續(xù)性表示在區(qū)間的任何部分只要變元的兩個數(shù)值達到一定的接近程度，就可以使對應的函數(shù)值達到所需要的接近程度.因此可以看出函數(shù)的一致連續(xù)性與定義區(qū)間的緊性有很大的關(guān)系.此處從函數(shù)圖像的角度，對函數(shù)一致連續(xù)性作了簡單的討論.但這種方法也有不足之處，對于函數(shù)圖像復雜的，或不知道函數(shù)圖像的并不適用.一致連續(xù)性是數(shù)學分析的一個難點，在物理、工程方面的應用也很廣泛，希望以后做更深入的研究.

［1］韓仲平.函數(shù)的一致連續(xù)性分析［J］.內(nèi)江科技，2009(5):72-73

［2］姜雄.關(guān)于函數(shù)在任意區(qū)間上一致連續(xù)性與非一致連續(xù)性的條件的討論［J］.遼寧科技學院報，2005(7):35-36

［3］馬砦偉，杜煒，朱嫻.關(guān)于函數(shù)的一致連續(xù)性的一點注記［J］.科技資訊，2009(2):253

［4］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2004

［5］裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法［M］.2版.北京:高等教育出版社，2006

［6］蕭樹鐵.數(shù)學實驗［M］.2版.北京:高等教育出版社，2008