廣義集值變分不等式與互補問題的誤差界

李 麗, 周厚春

(1.臨沂大學 理學院, 山東 臨沂 276005; 2.山東師范大學 數(shù)學科學學院, 山東 濟南 250014)

廣義集值變分不等式與互補問題的誤差界

李 麗1,2, 周厚春1

(1.臨沂大學 理學院, 山東 臨沂 276005; 2.山東師范大學 數(shù)學科學學院, 山東 濟南 250014)

引入了廣義變分不等式的投影殘量, 利用投影殘量, 我們給出了集值映射為γ-嚴格單調(diào)(γ-一致P-映射)和 H?lder連續(xù)的廣義集值變分不等式(廣義集值非線性互補問題)的誤差界,以上結論推廣了一般的廣義變分不等式(廣義非線性互補問題)的相關結論．

集值映射; 廣義變分不等式; 廣義非線性互補問題; 誤差界

0 引言

設F(x):C→2Rn為連續(xù)且具有非空緊值的集值映射,其中C是Rn上的非空閉凸集．廣義集值變分不等式問題,記為GVI,就是求x*∈C,ξ1∈F(x*)使得

〈ξ1,y-x*〉≥0,?y∈C

(1)

x*≥0,ξ1≥0, 〈x*,ξ1〉=0

(2)

廣義變分不等式最早由Noor[1]提出,從誤差界的角度,已取得很多重要成果[2-4]．誤差界是對任意一點到變分不等式解集合的距離估計,它在變分不等式的算法收斂性分析中起著重要作用[5-7]．最近方長杰在文[8]中研究了廣義集值變分不等式的誤差界,在集值映射是Lipschitz連續(xù)和強單調(diào)的條件下,建立了誤差界．本文在文 [8]的基礎上對F是γ-嚴格單調(diào)(γ-一致P-映射)和H?lder連續(xù)的問題(1)(問題(2))的誤差界進行研究．

1 預備知識

定義1 設集值映射F(x):C→2Rn,

(i) 稱F在C上是H?lder連續(xù),如果存在常數(shù)m>0,μ∈(0,1],對任意x,y∈C有H(F(x),F(y))≤m‖x-y‖μ,其中H表示Hausdorff度量．

(ii)稱F在C上是γ-嚴格單調(diào)的,如果存在常數(shù)L>0,γ>0使得

〈u-v,x-y〉≥L‖x-y‖1+γ,?u∈F(x),v∈F(y)．

(iii)稱F在C上是γ-一致P-映射,如果存在常數(shù)L>0,γ>0使得

對任意x∈Rn,令

PC(x)=argmin{‖x-y‖y∈C},

PC(x)稱為x在C上的投影,PC(·)稱為Rn到C上的投影算子．

性質(zhì)1[9]設C為Rn上的非空閉凸集,對投影算子PC(·),有下面結論成立:

(i)對任意x∈Rn,y∈C有〈PC(x)-x,y-PC(x)〉≥0．

(ii)對任意x,y∈Rn有‖PC(x)-PC(y)‖≤‖x-y‖．

對任意x∈C,ξ∈F(x),變分不等式(1)的投影殘量為e(x)=x-PC(x-βξ),為便于后面證明, 令β>0,且r(x)=‖e(x)‖．

引理1[10]x∈Ω的充分必要條件是r(x)=0．

2 廣義集值變分不等式的誤差界的估計

本節(jié)主要借助投影殘量研究廣義集值變分不等式(1)的誤差界．根據(jù)引理1,有下面結論

引理2 假設F(x)在C上是γ-嚴格單調(diào),若廣義集值變分不等式(1)有解,則解惟一．

證明設x*∈Ω,所以存在ξ1∈F(x*),對任意y∈C滿足

〈ξ1,y-x*〉≥0

(3)

對任意x∈C,ξ∈F(x),β>0,在式(3)中令y=PC(x-βξ),我們有

〈βξ1,PC(x-βξ)-x*〉≥0

(4)

由性質(zhì)1的(i)和x*∈C知

〈PC(x-βξ)-(x-βξ),x*-PC(x-βξ)〉≥0

(5)

式(4)與式(5)相加得

〈PC(x-βξ)-(x-βξ)-βξ1,x*-PC(x-βξ)〉=

〈βξ-βξ1-e(x),e(x)+x*-x〉=〈β(ξ-ξ1)-e(x),e(x)〉+〈β(ξ-ξ1)-e(x),x*-x〉=

〈β(ξ-ξ1),e(x)〉-〈e(x),e(x)〉-〈β(ξ-ξ1),x-x*〉+〈e(x),x-x*〉≥0,

故可得到

〈β(ξ-ξ1)+x-x*,e(x)〉≥〈β(ξ-ξ1),x-x*〉

(6)

由于F(x)在C上是γ-嚴格單調(diào)的,所以存在常數(shù)L>0,γ>0使得

Lβ‖x-x*‖1+γ≤〈β(ξ-ξ1),x-x*〉,

結合式(6)得到

Lβ‖x-x*‖1+γ≤r(x)(β‖ξ-ξ1‖+‖x-x*‖)

(7)

若x∈Ω,由引理1知,r(x)=0,由式(7),我們可以得到x=x*．故結論成立．

根據(jù)引理2,建立問題(1)的誤差界．

定理1 假設F(x):C→2Rn為H?lder連續(xù)和γ-嚴格單調(diào),且滿足

則對任意x∈C,ξ∈F(x)有

證明對任意x*∈Ω,存在ξ1∈F(x*),對任意x∈C,ξ∈F(x),由(7)和F(x)在C上H?lder連續(xù)知,

Lβ‖x-x*‖1+γ≤r(x)(β‖ξ-ξ1‖+‖x-x*‖)≤r(x)(βm‖x-x*‖μ+‖x-x*‖)

(8)

若‖x-x*‖≤1,則由(8)知

(9)

若‖x-x*‖≥1,則由(8)知

(10)

另外由引理1和性質(zhì)1(ii)知

r(x)=‖e(x)-e(x*)‖=‖x-PC(x-βξ)-(x*-PC(x*-βξ1))‖≤

‖x-x*‖+‖PC(x-βξ)-PC(x*-βξ1)‖≤‖x-x*‖+‖x-βξ-(x*-βξ1)‖≤

2‖x-x*‖+β‖ξ-ξ1‖≤2‖x-x*‖+mβ‖x-x*‖μ

(11)

當‖x-x*‖≤1時,由式(11)知

(12)

當‖x-x*‖≥1時,由式(11)知

(13)

結合(9)和(12),我們得到

(14)

結合(10)和(13),我們得到

(15)

3 廣義集值非線性互補問題的誤差界

本節(jié)主要討論了廣義集值非線性互補問題(2)的誤差界,首先給出以下引理．

引理3 如果a,b∈R,a*,b*∈R+,a*b*=0,則

[a-a*-min{a,b}][b-b*-min{a,b}]≤0．

證明當a≤b時,可得[a-a*-min{a,b}][b-b*-min{a,b}] =[a-a*-a]b-b*-a] =-a*[b-a] ≤0,同理當a≥b時,亦可得到[a-a*-min{a,b}][b-b*-min{a,b}]≤0,故結論成立．

根據(jù)引理3,對于廣義集值非線性互補問題(2),在相對弱條件下,我們建立了問題(2)的誤差界．

L≤(2+mβ)(1+mβ)/β,

(ii)當‖min{x,βξ}‖≥2+mβ時,

可得

0≥[βξi-β(ξ1)i-min{xi,βξi}][xi-(x*)i-min{xi,βξi}]=

β[ξi-(ξ1)i][xi-(x*)i]-β[ξi-(ξ1)i]min{xi,βξi}

-min{xi,βξi}[xi-(x*)i]+min{xi,βξi}min{xi,βξi}≥

β[ξi-(ξ1)i][xi-(x*)i]-min{xi,βξi}{β[ξi-(ξ1)i]+[xi-(x*)i]}．

所以

β[ξi-(ξ1)i][xi-(x*)i]≤min{xi,βξi}{β[ξi-(ξ1)i]+[xi-(x*)i]}．

由于集值映射F是H?lder連續(xù)的和γ-一致P-映射,結合上式得

Lβ‖x-x*‖1+γ≤‖min{x,βξ}‖[mβ‖x-x*‖μ+‖x-x*‖]

(12)

再結合式(11),類似于定理1證明,易推得結論(i)～(iii)成立．

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[10] Kinderlehrer D, Stamppacchia G. An introduction to varitional inequalities and their applications[M]. New York: NY Academic Press, 1980.

ErrorBoundforGeneralizedVariationalInequalityandComplmentarityProblemwithSet-valuedMapping

LI Li1,2, ZHOU Hou-chun1

(1.School of Science, Linyi University, Linyi Shandong 276005, China)(2.School of Mathematical Science, Shandong Normal University, Jinan Shandong 250014, China)

Based on the projection residue of generalized variational inequality, we establish error bound estimation for generalized variational inequality with multi-valued mapping (generalized nonlinear complementarity problem with multi-valued mapping) over a closed convex polyhedral with the underlying mapping beingγ-strict monotone (γ-uniformP-mapping) and H?lder continuous, respectively, and our result which can be taken as an extension of the result of generalized for variational inequality(generalized nonlinear complementarity problem).

multi-valued mapping; generalized variational inequality; generalized nonlinear complementarity; error bound

2012-11-03

國家自然科學基金資助項目(11271226); 山東省自然科學基金資助項目(ZR2010AL005, ZR2011FL017)； 2012年物流教改教研課題計劃項目(JZW2012065)

李麗(1987-), 女, 寧夏吳忠人, 碩士研究生, 研究方向為圖論與組合優(yōu)化．

O242

A

1671-6876(2013)01-0005-04

[責任編輯李春紅]