面向?qū)嶋H工程應(yīng)用的線性代數(shù)教學(xué)研究

王炯琦，馮良貴，周海銀

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院，湖南長沙410073)

線性代數(shù)(Linear Algebra)是討論矩陣?yán)碚摗⑴c矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科[1]，是高等院校理工、經(jīng)濟類專業(yè)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，具有廣泛的應(yīng)用性，對提高教師和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、訓(xùn)練與提高學(xué)生的抽象思維能力與邏輯推理能力都具有重要作用[2]。然而，該課程本身具有概念抽象、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計算強度大等特點，不僅消磨了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也使得教師和學(xué)生難以將所教或所學(xué)的理論方法應(yīng)用到解決實際問題中，從而失去了線性代數(shù)應(yīng)有的基礎(chǔ)應(yīng)用性作用。

為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，使線性代數(shù)真正與實際應(yīng)用和實際問題相結(jié)合，發(fā)揮其基礎(chǔ)應(yīng)用性課程的作用，近年來，眾多從事線性代數(shù)的教學(xué)、教育的工作者，積極探索實際問題驅(qū)動的線性代數(shù)課程教學(xué)理念，研究該課程的直觀性教學(xué)思想和方法，并形成基于問題解決的線性代數(shù)課程的教學(xué)設(shè)計模式，包括問題背景下的教學(xué)內(nèi)容組織、課程教學(xué)設(shè)計及現(xiàn)代化教學(xué)運用等[3-5]，取得了一定的效果。

近5年來，緊密結(jié)合國防現(xiàn)代化建設(shè)的需求，我校線性代數(shù)教學(xué)團隊，以物理背景為依托，以線性代數(shù)方法創(chuàng)新為突破，以國防建設(shè)工程、型號應(yīng)用為目的，實踐了一條以理論教學(xué)促進工程發(fā)展、科研實踐豐富理論教學(xué)應(yīng)用的教學(xué)、科研相互促進的良性發(fā)展模式。一方面，鼓勵從事線性代數(shù)教學(xué)的教師參加科研活動，加強其科研背景，引導(dǎo)其形成自己的科研方向;通過參加科研工作，使得教師的知識結(jié)構(gòu)更加全面合理，知識不斷更新，教師的思路和視野不斷開闊。另一方面，科研研究的成果、積累的素材積極的融入到線性代數(shù)課程教學(xué)中，豐富了教學(xué)實驗案例，更新了教學(xué)理念、教學(xué)方式與手段，培養(yǎng)了學(xué)生較強的線性代數(shù)實際應(yīng)用能力，適應(yīng)了新時期人才培養(yǎng)的目標(biāo)。

下面，以實際例子來說明線性代數(shù)教學(xué)中矩陣跡的實際工程應(yīng)用。

一 問題的提出

設(shè)有N個傳感器對狀態(tài)向量X∈Rn×1進行線性測量，如圖1，觀測方程為:

其中 Zi∈ Rmi×1為觀測向量，Hi∈ Rmi×n為列滿秩觀測矩陣，觀測誤差εi∈Rmi×1滿足如下假設(shè):

現(xiàn)考慮如何通過觀測數(shù)據(jù)融合，獲得關(guān)于目標(biāo)狀態(tài)向量的最優(yōu)估計，并分析估計的性質(zhì)。

圖1 多傳感器線性加權(quán)融合模型

二 線性融合模型及融合估計精度

對于式(1)的觀測模型，式(2)的實際工程意義是:傳感器觀測誤差為零均值，不同傳感器的觀測是不相關(guān)的，同一傳感器的各測量通道的測量是不相關(guān)且等精度的，如果各通道精度不等，則易通過歸一化處理為等精度[6]。

(一)線性融合估計

下面的定理給出了式(1)中狀態(tài)向量的估計。定理1 模型(1)下狀態(tài)向量X的最優(yōu)估計為

估計的均方誤差MSE為

其中tr為方陣的跡。

其中Eε=0，EεεT=I。

由最小二乘估計準(zhǔn)則[7]，知X的最優(yōu)估計為:

從而

利用矩陣跡的可交換性[8]及E tr A=tr E A，因此

(二)融合估計性質(zhì)及精度分析

從定理1可知，對于多傳感器線性觀測模型，狀態(tài)向量的最優(yōu)估計^X實際上為各傳感器觀測數(shù)據(jù)Zi的加權(quán)和，其融合加權(quán)權(quán)值為

其實際工程意義為:當(dāng)狀態(tài)向量為一維的，各傳感器直接對狀態(tài)進行觀測時，狀態(tài)量的最優(yōu)估計為各傳感器觀測值的加權(quán)平均，其權(quán)為:

式(9)的分母是權(quán)值的歸一化，即各傳感器權(quán)值的和為1，分子為第i個傳感器的觀測精度;此外，假設(shè)N個傳感器的觀測信息精度相等，即σ1=σ2=，Λ，=σN=σ0，則N個傳感器融合后的均方誤差MSE[hat X]=♂/N，表明N個相同精度傳感器的輸出信息融合后精度提高到單個傳感器的倍;假如傳感器的測量精度有高低之分，最低精度與最高精度分別為和，則融合精度為

這說明通過多傳感器測量，采用最優(yōu)加權(quán)信息融合方法，能夠提高一維系統(tǒng)狀態(tài)估計的精度。

下面考慮模型(1)下的多傳感器線性融合估計性質(zhì)。顯然，式(1)中，僅用第i個傳感器進行線性觀測，其最優(yōu)估計為

且

而由定理1知，N個傳感器線性觀測下得到的最優(yōu)估計的均方誤差為

定理2 多傳感器線性最優(yōu)融合的精度優(yōu)于任意單一傳感器測量給出的最優(yōu)估計精度，即

三 定理2的證明

由于 Hi∈ Rmi×n為列滿秩矩陣，σ2i＞0，從而為正定矩陣，記為 Bi，i=1，2，…，N 。定理2可轉(zhuǎn)化為如下命題。

命題:已知 Bi＞ 0，i=1，2，…，N ，求證 tr(B1+B2+…BN)-1＜tr(Bi)-1。

方法1:直接證明法

證:因為

而

從而

故

由于正定矩陣的逆、正定矩陣的和以及正定矩陣的合同變換都是正定的[8]，所以是正定矩陣，其特征值均大于0，即

上式推廣，即得

#

方法2:利用矩陣相似、矩陣合同性質(zhì)

證:因為B1正定，則B-11也正定，從而存在矩陣 P1，使得 PT1B-11P1= I。另一方面，易知PT1B-12P1也為正定矩陣，從而存在正交矩陣P2，使得PT2PT1B-12P1P2=Λ，其中Λ為對角矩陣，且對角元素 λ1，λ2，…，λn＞ 0 。令 P=P1P2，Q=P-1，即

(B1+B2)-1=QT(I+Λ)-1Q

令 QT= [q1，q2，…，qn]，qi∈ Rn×1，i=1，2，…．n ，從而

從而

上式推廣，即得

#

定理1和定理2的實際工程意義在于:

注釋1:多傳感器線性觀測系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)估計精度由單一傳感器的測量精度σ2i和觀測矩陣Hi等系統(tǒng)參數(shù)共同決定。

注釋2:在由多個傳感器組成的線性融合系統(tǒng)中，觀測矩陣和測量精度分別為 Hi和 σ2i，則相同的多傳感器融合系統(tǒng)，狀態(tài)估計的精度也相同。

注釋3:多傳感器線性融合系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)估計精度比基于單一傳感器的測量信息的狀態(tài)估計精度要高。

注釋4:利用的測量信息越多，則最優(yōu)估計的精度就越高，即多傳感器信息融合在一定程度上能提高融合系統(tǒng)的狀態(tài)估計精度。

以上結(jié)論對于實際工程中高性能多傳感器融合系統(tǒng)的設(shè)計提供了重要的理論基礎(chǔ)。

四 結(jié)論

線性代數(shù)是一門應(yīng)用性、實踐性極強的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。實際工程中的許多物理現(xiàn)象均能夠提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論和方法，而所提煉的數(shù)學(xué)理論反過來又能解釋或指導(dǎo)工程應(yīng)用。然而目前大多數(shù)線性代數(shù)的課程教學(xué)嚴(yán)重脫離實際應(yīng)用，使得學(xué)生無法理解或難以將所學(xué)的理論方法應(yīng)用到解決實際問題中，降低了學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)習(xí)的效率。

多年來，我校線性代數(shù)教學(xué)團隊一直秉承“以實際問題驅(qū)動的線性代數(shù)教學(xué)”理念和方法，以物理背景為依托，以線性代數(shù)方法創(chuàng)新為突破，以國防建設(shè)工程、型號應(yīng)用為目的，實踐了一條以理論教學(xué)促進工程發(fā)展、科研實踐豐富理論教學(xué)應(yīng)用的教學(xué)、科研相互促進的良性發(fā)展模式。本文以線性代數(shù)教學(xué)中矩陣“跡”的實際工程為例，闡述了我校線性代數(shù)教學(xué)團隊積極將科研研究的成果、積累的素材有效地融入到線性代數(shù)課程教學(xué)中，豐富了教學(xué)實驗案例，很大程度上提高了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，使得學(xué)生們“在研究中學(xué)習(xí)、在學(xué)習(xí)中研究”，培養(yǎng)學(xué)生的研究能力和創(chuàng)新能力。

[1]李尚志．線性代數(shù)[M]．北京:高等教育出版社，2006．

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