楊 坤

(沈陽化工大學 數理系，遼寧 沈陽 110142)

物理學是與日常生活關系最密切的學科，很多物理現象都可以在生活中觀察到.譬如:很多人都曾在樓上透過紗窗觀察遠處的燈光，看到了紗窗網孔的衍射現象.但是，由于數學推導上的困難，到目前為止，還沒有人給出該現象的理論解釋.本文借助Mathematica 軟件，利用基爾霍夫衍射理論，推導出由矩形孔構成的2 行×2 列、4行×2 列、2 行×4 列、4 行×4 列等紗窗網孔的Fraunhofer 衍射相對衍射強度公式，并在此基礎上歸納推廣，得到由2n行×2m列矩形孔構成的紗窗網孔的Fraunhofer 衍射相對衍射強度通式.繪制出不同數目矩形孔構成的紗窗網孔的幾種典型衍射圖樣及對應的相對光強三維立體圖，更加真實、精確、簡便地再現了生活中看到的不同數目矩形孔構成的紗窗網孔的Fraunhofer(夫瑯禾費)衍射現象，對深刻理解不同數目矩形孔構成的紗窗網孔的Fraunhofer 衍射現象具有重要意義.

1 紗窗網孔的Fraunhofer 衍射光強

任意孔的Fraunhofer 衍射的基爾霍夫衍射理論公式為［1－2］:

其中，UP(X，Y)是在屏幕上任意點p(X，Y)的電磁波函數的值，r 是孔的某一微小面元至接收屏上的點p(X，Y，Z)的距離，k 是光的波矢值，C 是與光源和觀察點位置相關的一些物理量來確定的復常數.

圖1 為矩形4 孔與屏上各點的坐標表示.由圖1 可知:

把式(4)代入到式(1)可得:

在屏幕上任意點(X，Y)的光的強度為:

在屏幕中央點(0，0)上的光的強度為:

在屏幕上任意點(X，Y)的光的相對強度為［3－4］:

對于矩形孔構成的2 行×2 列的紗窗網孔的4 孔(如圖1 所示)，根據圖1 和式(6)可得:

由圖1可得:A =4ab，式(10)代入式(9)，經化簡可得:

圖1 矩形4 孔與屏上各點的坐標表示Fig.1 Four rectangular holes and the screen coordinates of the points indicated

圖2 為4 行×2 列矩形8 孔與屏上各點的位置示意圖.

圖2 4 行×2 列矩形孔構成的紗窗網與屏上各點的位置示意圖Fig.2 4 ×2 rows of rectangular holes of the window screen and screen the schematic diagram

對于矩形孔構成的4 行×2 列的紗窗網孔的8 孔(如圖2 所示)，仿照圖1 寫出圖2 各矩形孔的各點坐標，再利用式(6)可得:

由圖2 可得:A =8ab，式(12)代入式(9)，經化簡可得:

圖3為2 行×4 列矩形8 孔與屏上各點的位置示意圖.

圖3 2 行×4 列矩形孔構成的紗窗網與屏上各點的位置示意圖Fig.3 2 ×4 rows of rectangular holes of the window screen and screen the schematic diagram

對于矩形孔構成的2 行× 4 列的紗窗網孔的8 孔(如圖3 所示)，仿照圖1 寫出圖3 各矩形孔的各點坐標，再利用式(6)可得:

由圖3 可得:A=8ab，式(14)代入式(9)，經化簡可得:

圖4 為4 行×4 列矩形孔構成的窗紗網與屏上各點的位置示意圖.

圖4 4 行×4 列矩形孔構成的紗窗網與屏上各點的位置示意圖Fig.4 4 ×4 rows of rectangular holes of the window screen and screen the schematic diagram

對于矩形孔構成的4 行× 4 列的紗窗網孔的16 孔(如圖4 所示)，仿照圖1 寫出圖4 各矩形孔的各點坐標，再利用式(6)可得:

由圖4 可得:A=16ab，式(16)代入式(9)，經化簡可得:

圖5 為2n行×2m列矩形孔構成的窗紗網與屏上各點位置示意圖.

圖5 2n 行×2m 列矩形孔構成的紗窗網與屏上各點的位置示意圖Fig.5 2n ×2m rows of rectangular holes of the window screen and screen the schematic diagram

對于矩形孔構成的2n行×2m列的紗窗網孔的2n×2m個孔(如圖5 所示)，由式(10)、(12)、(14)、(16)歸納推理可得:

由圖5 可得:A=(2n× 2m)ab，式(18)代入式(9)，經化簡可得:

2 不同數目矩形孔構成的紗窗網孔在接 收屏上的Fr a unhofer 衍射模擬［5］

根據式(19)，利用Mathematica 軟件中DensityPlot 函數，模擬繪制不同數目矩形孔構成的紗窗網孔在接收屏上的Fraunhofer 衍射圖樣，用Plot3D 繪制接收屏上相對光強三維立體圖如表1 所示.

表1 不同數目矩形孔構成的紗窗網孔在接收屏上的Fraunhofer 衍射圖樣及對應的相對光強三維立體圖Table 1 Different number of rectangular holes of screen mesh in the receiving screen Fraunhofer diffraction pattern and the corresponding relative intensity of 3D map

續(xù)表

由表1 的(6)、(7)、(8)、(9)圖可知:紗窗網孔Fraunhofer 衍射圖樣的主要結構是中間較粗的十字線形狀，旁邊還有一些細的橫的與豎的亮線，這些亮線在交叉的地方亮度增大.這與透過紗窗觀察遠處燈光看到的結果是一致的.從對應的相對光強三維立體圖也可以看出:大小、孔間隔均相同的矩形孔構成的紗窗網孔，隨矩形孔數目增多，其主極大所包含的次極大數目變多，各級次極大衍射明紋強度明顯變尖變細.對數目、孔大小、分布均相同的矩形孔構成的紗窗網孔，隨相鄰矩形孔間隔增大，其主極大所包含的次極大數目變多，各級衍射明條紋強度明顯比同一級明紋強度變細變尖，次極大間隔變小，各孔的多光束干涉現象越來越明顯，如表1 中圖(1)、(10);對數目、分布、孔間隔均相同的矩形孔構成的紗窗網孔，隨矩形孔變大，其主極大所包含的次極大數目不變，但各級衍射明條紋強度明顯比同一級明紋強度變小，次極大間隔變小，各孔的多光束干涉現象明顯減弱，如表1 中圖(1)、(11).

根據表1 可知:欲找出一定數目矩形孔或方形孔構成的紗窗網孔與Fraunhofer 衍射圖樣的內在規(guī)律，可以通過改變各參數值，得到不同條件下紗窗網孔在屏上的Fraunhofer 衍射圖樣及相應的相對光強三維立體圖，有針對性地總結出其遵循的規(guī)律.

3 結論

對于由2n行×2m列的矩形孔構成的紗窗網孔的Fraunhofer 衍射相對衍射強度通式，通過改變m、n、a、b、c 參數值，就可以繪制出對應數目矩形孔構成的紗窗網孔的衍射圖樣及相應的相對光強三維立體圖，更加真實、精確、簡便地再現了該數目矩形孔構成的紗窗網孔的Fraunhofer(夫瑯禾費)衍射現象.事實上，這些實驗現象用實驗方法也都可以觀察到，但成本要比用這種方法高得多.所以，該方法是研究這類問題的簡單有效方法.

［1］馬科斯·玻恩，埃米爾·沃爾夫.光學原理.上冊［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2005:342－428.

［2］EUGENE HECHT.Optics［M］.4thed.New York:Addison-Wesley，2002:447－464.

［3］楊坤，成泰民，葛崇員.矩形孔和圓孔構成的雙孔Fraunhofer 衍射圖樣模擬［J］.沈陽師范大學學報(自然科學版)，2012，30(1):36－39.

［4］楊坤，成泰民.不同三角形孔和矩形孔構成的雙孔Fraunhofer 衍射圖樣模擬［J］.曲阜師范大學學報(自然科學版)，2012，38(2):64－68.

［5］張韻華，王新茂.Mathematica7 實用教程［M］.合肥:中國科學技術大學出版社，2011:215－217.