唐 娟，楊 林，2

(1.中煤科工集團重慶研究院， 重慶 400039;2.瓦斯災(zāi)害應(yīng)急信息技術(shù)實驗室， 重慶 400039)

0 引言

隨著經(jīng)濟的高速發(fā)展，煤礦安全高效生產(chǎn)越發(fā)重要。煤礦巷道用全液壓鉆裝機可以代替耙斗裝巖機和液壓臺車實現(xiàn)巖石巷道掘進除渣和鑿巖鉆孔作業(yè)，在提高生產(chǎn)效率的同時減少了安全隱患。鉆裝機主要是由扒渣工作裝置(挖臂)、鑿巖推進工作裝置(鉆臂)、刮板運輸機組成，其中挖臂是由水平擺動座、動臂、斗桿、四桿機構(gòu)以及扒斗5個部分串聯(lián)而成(如圖1所示)，是鉆裝機中關(guān)鍵的工作部件，其作業(yè)效率決定了鉆裝機的裝載性能。

鉆裝機除渣作業(yè)依賴于挖臂各個部件之間的相對轉(zhuǎn)動。對挖臂進行動力學(xué)分析和建模是完成挖臂結(jié)構(gòu)設(shè)計和實現(xiàn)挖臂運動控制所必需的。挖臂是由多個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)串聯(lián)而成，是由多個剛體組成的動力學(xué)系統(tǒng)，具有非線性以及多輸入、多輸出的特點，各個部件之間存在著復(fù)雜的耦合關(guān)系。為了使挖臂完成預(yù)期的作業(yè)路徑，每個關(guān)節(jié)必須提供一定規(guī)律的驅(qū)動力矩。

圖1 挖臂結(jié)構(gòu)

通過建立挖臂機械手的動力學(xué)模型，并對機械手動力學(xué)模型進行分析與評價，可為得出合理的結(jié)構(gòu)尺寸以及恰當(dāng)?shù)尿?qū)動油缸參數(shù)提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

1 挖臂作業(yè)軌跡空間

挖臂的作業(yè)空間范圍與挖臂上各個轉(zhuǎn)動部件的結(jié)構(gòu)尺寸以及驅(qū)動油缸的參數(shù)有關(guān)，通過調(diào)整動臂、斗桿、扒斗以及四桿機構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸以及相對應(yīng)的驅(qū)動油缸參數(shù)(缸筒尺寸、缸桿尺寸、流量等)，可以得到不同的作業(yè)空間范圍。為了計算扒斗斗齒在基礎(chǔ)坐標(biāo)空間內(nèi)的活動范圍，在每個轉(zhuǎn)動部件上固結(jié)一個坐標(biāo)系，然后描述這些坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，通過這些變換關(guān)系，最終計算出斗齒的活動空間。為此，引入D－H(Denavit－Hartenberg)變換，利用一個4×4的齊次變換矩陣，表示兩個相鄰坐標(biāo)系的變換關(guān)系，齊次變換矩陣可描述為下面的形式:

s——正弦函數(shù) sin();

c——余弦函數(shù) cos();

θi——兩個部件之間的關(guān)節(jié)角;

ai－1——兩部件關(guān)節(jié)間的長度，即相鄰坐標(biāo)系原點間的距離。

齊次變換矩陣可以寫成如下形式:

挖臂各個部件的參數(shù)如表1所示。

表1 構(gòu)件參數(shù)表

利用上述公式，將斗齒尖所能達到的空間位置在Matlab軟件中描述出來，得到扒斗斗齒的作業(yè)空間包絡(luò)圖如圖2所示。

圖2 斗齒活動空間包絡(luò)圖

2 動力學(xué)分析

規(guī)定坐標(biāo)系{c}的坐標(biāo)原點為剛體的質(zhì)心，相對于坐標(biāo)系{c}，慣性張量cI定義為3×3的對稱矩陣:

式中，對角線元素是剛體繞三坐標(biāo)軸x，y，z的質(zhì)量慣性矩:

其余元素的慣性積:

式中，ρ——結(jié)構(gòu)件的密度;

挖臂斗齒的運動速度可以由兩部分組成:扒斗坐標(biāo)系坐標(biāo)原點的速度和加速度，以及扒斗相對于扒斗坐標(biāo)系的角速度和角加速度。vi和ωi分別表示挖臂的各個部件坐標(biāo)系{i}相對于基座坐標(biāo)系{0}的速度，ivi和iωi則說明vi和ωi在本部件坐標(biāo)系{i}中表示的線速度和角速度，同理i+1vi+1和i+1ωi+1表示在部件坐標(biāo)系{i+1}中的線速度和角速度。

部件i+1相對于部件i的角速度是繞轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)i+1運動引起的。

在相同坐標(biāo)系中，兩個向量可以相互疊加，因此部件i+1的角速度等于部件i的角速度加上部件i+1繞關(guān)節(jié)i+1轉(zhuǎn)動的角速度，在{i}中的表示為:

坐標(biāo)系{i+1}原點的線速度等于坐標(biāo)系{i}原點的線速度加上部件i因轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的速度分量，ipi+1表示{i+1}坐標(biāo)原點在坐標(biāo)系{i}中的位置矢量，因此得到速度公式:

19世紀(jì)中葉，統(tǒng)計學(xué)形成了兩個主要的學(xué)派，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)派與社會統(tǒng)計學(xué)派．隨著概率論的成熟，為統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．19世紀(jì)中葉，比利時的阿道夫·凱特勒（1796—1874）主張用自然科學(xué)的方法研究社會現(xiàn)象，把古典概率論引入了統(tǒng)計學(xué)，使得統(tǒng)計學(xué)進入了一個新的發(fā)展階段．不過凱特勒將自然科學(xué)的觀點與方法機械套用到犯罪、道德等社會問題，混淆了自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象之間的本質(zhì)區(qū)別．盡管如此，凱特勒把概率論引入統(tǒng)計學(xué)至少使得統(tǒng)計學(xué)在“政治算術(shù)”的“算術(shù)”方法基礎(chǔ)上往準(zhǔn)確化道路邁進了一大步，他為后期數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的形成與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)．

分別對上述公式求微分，即可得出各個部件的角加速度和線加速度的傳遞公式:

同理，求出部件質(zhì)心的加速度為:

根據(jù)牛頓－歐拉方程得出挖臂各個部件之間的力、速度關(guān)系通式:

對挖臂進行靜力學(xué)分析時，首先對其中一個部件進行受力分析，從而建立部件的靜力學(xué)平衡方程。當(dāng)部件處于力學(xué)平衡狀態(tài)時，所受到的合力以及合力矩為零。推導(dǎo)出力和力矩的平衡方程為:

式中，ifi，ini——部件 i受到部件 i－1 的作用力、力矩;

由于{0}固結(jié)在水平擺動座上，在x，y平面內(nèi)，是固定不動的，因而0ω0=0，0v0=0，{4}固結(jié)在扒斗的末端，即斗齒尖的位置，得出θ4=0=0。

挖臂運動具有多輸入、多輸出的特點。由于輸入?yún)?shù)的不同，在相同的位置點也會產(chǎn)生不同的速度以及挖掘力。為了更清楚的描述挖臂的速度、力參數(shù)與斗齒所在的位置之間的關(guān)系，選取一個工作路徑，并分析這個工作路徑上所有連續(xù)點的速度以及挖掘力曲線并利用Matlab分析其數(shù)據(jù)曲線(如圖3～圖4所示)。

圖3 挖臂速度曲線

圖4 挖臂挖掘力曲線

3 動力學(xué)性能優(yōu)化

在奇異點挖臂會喪失一個或者幾個自由度。在奇異點附近，其動力學(xué)性能也會變差;離奇異點越遠，挖臂在各個方向的運動性能和施力效果的一致性愈好。挖臂的動力學(xué)性能，對于挖臂結(jié)構(gòu)設(shè)計、工作空間選擇、控制方案擬定、液壓系統(tǒng)選型以及軌跡規(guī)劃都具有十分重要的作用。挖臂動力學(xué)的復(fù)雜性不僅在于結(jié)構(gòu)復(fù)雜性，還在于煤礦井下除渣作業(yè)情況的多樣性和影響因素的可變性。在設(shè)計挖臂工作范圍或?qū)崿F(xiàn)挖臂軌跡控制時，最值得注意的是一些最嚴(yán)峻最危險的情況，如最高速度作業(yè)時，最大關(guān)節(jié)驅(qū)動力時，挖臂懸伸最長時等，應(yīng)該考慮這些最壞情況下的作業(yè)情況和對動力學(xué)的要求。因此，提出了衡量挖臂動力學(xué)性能的綜合性能指標(biāo)以及相應(yīng)的優(yōu)化方法。為了說明各種動力學(xué)性能指標(biāo)之間的聯(lián)系，根據(jù)H.Asada的廣義慣性橢球GIE(generalized inetia tensor ellipsoid)理論來評定挖臂的動力學(xué)特征。廣義慣性橢球理論GIE實質(zhì)上是以笛卡爾慣性矩陣的特征值來描述挖臂在各個方向上的加速特征:

式中，D(q)——操作臂的慣性矩陣，可以通過推導(dǎo)公式求出;

J(q)——雅克比矩陣。

對于n×n的慣性矩陣V(q)，二次型方程:

可以表示n維空間中的一個橢球，稱之為廣義慣性橢球GIE。慣性矩陣V(q)特征矢量的方向即為橢球的主軸方向，矩陣V(q)特征值的平方根為橢球主軸的長度。利用廣義慣性橢球GIE來衡量挖臂的加速性能具有明顯的幾何直觀性。在挖臂斗齒的活動空間內(nèi)的任何一點，根據(jù)上述二次型方程可以畫出一個橢球，該點對應(yīng)橢球的形狀可以衡量其動力學(xué)性能的好壞，橢球愈接近球，即主軸長度一致時，動力學(xué)性能愈好。廣義慣性橢球的形狀完全是個圓球的點稱為動力學(xué)各向同性點，在動力學(xué)各向同性點上，慣性矩陣V(q)的列向量互相線性獨立，并且模相等。橢球接近于圓球形時，加速性能變好，近似于各向同性;在工作空間邊緣部分，橢圓變扁，動力學(xué)性能變差，圖5為鉆裝機挖臂部分空間位置的廣義慣性橢球圖。

4 結(jié)論

圖5 挖臂空間慣性橢球圖

基于D－H法，建立兩個相鄰部件之間的空間變換關(guān)系，并以此推導(dǎo)出斗齒在基礎(chǔ)坐標(biāo)系內(nèi)的活動范圍，做出斗齒的工作空間包絡(luò)圖。利用牛頓－歐拉方程建立挖臂的動力學(xué)方程，并借助MATLAB軟件進行動力學(xué)仿真計算，得出動臂、斗桿、扒斗的驅(qū)動力矩變化規(guī)律，分析出斗齒末端的速度、力曲線。最后利用廣義慣性橢球理論，評價挖臂在整個工作空間的動力學(xué)性能，為挖臂的機械結(jié)構(gòu)設(shè)計、工作空間的選擇、作業(yè)軌跡規(guī)劃和控制方案的擬定提供數(shù)據(jù)參考。

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