張芳娟

(1.西安郵電大學(xué)理學(xué)院，中國 西安 710121；2.西安外事學(xué)院工學(xué)院，中國 西安 710077)

保持問題的一個重要內(nèi)容是尋找一些代數(shù)或幾何不變量作為算子代數(shù)的同構(gòu)不變量.即，以盡可能少的代數(shù)或幾何性質(zhì)刻畫算子代數(shù)間的同構(gòu)問題.這個問題的研究最初是在線性的前提下[1-2].最近一些學(xué)者將線性條件減弱為可加或非線性[3-10].令B(H)是無限維Hilbert空間H上的所有有界線性算子全體，Dolinar[4]得到了B(H)滿射滿足A-λB是冪等算子當(dāng)且僅當(dāng)φ(A)-λφ(B)是冪等算子,或者存在有界可逆線性算子或有界可逆共軛線性酉算子T：H→H,使得對任意A∈B(H),有φ(A)=TAT-1,或者存在有界可逆線性算子或有界可逆共軛線性酉算子T：H→H，使得對任意A∈B(H),有φ(A)=TA*T-1.

設(shè)H是維數(shù)大于2的復(fù)Hilbert空間，B(H)是H上的所有有界線性算子全體；S(H)是H上的所有自伴算子全體；P(H)是B(H)中的正交投影的集合，即P(H)={P∈B(H):P=P2=P*}.設(shè)φ:S(H)→S(H)是滿射，如果對λ∈C,A,B∈B(H),有A-λB∈P(H)?φ(A)-λφ(B)∈P(H)成立,則稱φ雙邊保投影.取P，Q∈P(H),若PQ=QP=0，則稱P與Q是正交投影；取A，B∈B(H),若AB=BA=A，則稱A≤B.

S(H)是復(fù)Hilbert空間H上的自伴算子全體組成的集合.則S(H)是實(shí)線性空間.眾所周知，在量子力學(xué)的框架下，Hilbert空間上的有界自伴算子即為有界可觀測量.因此S(H)上的各種保持問題吸引了許多學(xué)者的關(guān)注.受文獻(xiàn)[4]的啟發(fā)，本文刻畫了自伴算子空間上保投影映射.

本文的主要結(jié)論如下：

定理1設(shè)H是維數(shù)大于2的復(fù)Hilbert空間，P(H)={P∈B(H):P=P2=P*}.S(H)是H上的自伴算子代數(shù).φ:S(H)→S(H)是滿射,且對λ∈C,A,B∈B(H),滿足A-λB∈P(H)?φ(A)-λφ(B)∈P(H)當(dāng)且僅當(dāng)存在酉算子或共軛酉算子U：H→H,使得對任意A∈S(H),有φ(A)=UAU*.

證充分性顯然成立,分下面5步證明必要性.

1)φ(0)=0,φ(I)=I且φ是單射.

由0-λ·0=0∈P(H),λ∈C，得φ(0)-λφ(0)=(1-λ)φ(0)∈P(H).由λ的任意性得φ(0)=0.

設(shè)φ(A)=I,則A∈P(H).又φ(I)<φ(A)=I,因此φ(A)-φ(I)∈P(H)?A-I∈P(H).所以A=I，于是φ(I)=I.若φ(A)=φ(B),A,B∈S(H),則φ(A)-φ(B)∈P(H)?A-B∈P(H).又φ(B)-φ(A)∈P(H)?B-A∈P(H).于是A=B，因此φ是單射.

2) 對所有A∈S(H)，λ∈C,有φ(λA)=λφ(A).

當(dāng)λ=0時，由于φ(0)=0,則φ(λA)=λφ(A)成立.當(dāng)λ∈C{0}時，對所有A∈S(H),λA-λA∈P(H)?φ(λA)-λφ(A)∈P(H).令Q=φ(λA)-λφ(A).又A-(1/λ)(λA)∈P(H)?φ(A)-(1/λ)φ(λA)∈P(H),則-(1/λ)Q=φ(A)-(1/λ)φ(λA)∈P(H).由λ的任意性得Q=0，即φ(λA)-λφ(A)=0.

3)φ雙邊保投影的正交性.

若P，Q是相互正交的非零投影，則φ(P),φ(Q),P+Q∈P(H),P+Q∈P(H)?φ(P)+φ(Q)∈P(H).進(jìn)而由(φ(P)+φ(Q))2=φ(P)+φ(Q)得

φ(P)φ(Q)+φ(Q)φ(P)=0.

(1)

(1)式分別左乘和右乘φ(P)得φ(P)φ(Q)=φ(Q)φ(P)=0.

同理可得φ-1保正交投影，所以φ雙邊保投影的正交性.

4)φ雙邊保一秩投影.

設(shè)P為一秩投影，若rankφ(P)≥2,則對任意一秩投影Q，有0

同理可得φ-1保一秩投影，所以φ雙邊保一秩投影.

5) 存在酉算子或共軛算子U：H→H使得對任意A∈S(H)有φ(A)=UAU*.

由于φ|P(H)是作用在P(H)上的雙邊保正交的雙射，由文獻(xiàn)[11]或[12]可得存在一個酉算子或共軛酉算子U：H→H使得對任意P∈P(H)有φ(P)=UPU*.

令ψ(A)=U*φ(A)U,則ψ(P)=P.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明ψ在S(H)上都是恒等算子，即對任意A∈S(H)有ψ(A)=A.

當(dāng)m=1時，由2)，對α1∈R,P1∈P(H),有ψ(α1P1)=α1ψ(P1)=α1P1.

(2)

則C∈P(H)..

(3)

進(jìn)而

P1-αkD+αkPk∈P(H).

(4)

由(2)得

(5)

由(3)得

(6)

由(5)和(6)可知

αkPk-αkD=P1-C.

(7)

由(4)和(7)，P1-αkD+αkPk=2P1-C∈P(H).于是(2P1-C)2=4P1-2P1C-2CP1+C=2P1-C，即

P1+C=P1C+CP1.

(8)

(9)

若α1≠0,則由2)和(9)式得

因此ψ在S(H)上是恒等算子，即對任意A∈S(H)有ψ(A)=A.則存在酉算子或共軛酉算子U：H→H使得對任意A∈S(H)有φ(A)=UAU*.

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