關于Gauss-Kronecker曲率為零的極小超曲面的注記

馬紅娟，趙秀蘭，鄭喜英

(黃河科技學院信息工程學院，中國 鄭州 450063)

定理1[7]設M3是數(shù)量曲率有下界的完備可定向三維黎曼流形,f:M3→R4是滿足Gauss-Kronecker曲率恒為零，第二基本形式恒不為零的等距極小浸入，則f(M3)可分解為黎曼直積L2×R，L2是R3中高斯曲率有下界的完備極小超曲面．

上述分類定理對數(shù)量曲率和第二基本形式加了很強的條件.如果f:M3→R4是完備極小超曲面，f(M3)可分解為L2×R，其中L2是R3中的完備極小曲面，那么M3的數(shù)量曲率一定有下界嗎？本文通過具體例子說明上述定理中的部分條件是不必要的，并給出分類定理．

1 準備知識

設f:M3→R4是定向極小超曲面，截面曲率為零，選取{e1,e2,e3,e4}為正交標架，對偶標架{ω1,ω2,ω3,ω4}，聯(lián)絡形式{ωij}，約定1≤i,j≤3，主曲率滿足k1=k>k2=0>k3=-k，k>0，數(shù)量曲率和Gauss-Kronecker曲率分別由下式確定：

H=k1k2+k1k3+k2k3,K=k1k2k3.

設函數(shù)u=ω12(e3),v=e2(logk)，顯然上式等價于

ei(kj)=(ki-kj)ωij(ej),(k1-k2)ω12(e3)=(k2-k3)ω23(e1)=(k1-k3)ω13(e2).

容易得到

e2(v)=v2-u2,e1(u)=e3(v),e2(u)=2uv,e3(u)=-e1(v),

由上式可得

(1)

文獻[7]中設Mn是n維完備黎曼流形，n≥2，假設h是Mn中光滑非負函數(shù)，滿足Δh≥ch2，c≥0是常數(shù)，則h恒為零．

2 主要結果

假設M3是單連通的，u和v定義在整個M3上，則u和v是調(diào)和函數(shù)．事實上，

同理可得Δu=0，利用(1)和Δu=Δv=0得

A1e1=0,A1e3=0,A2e1=ke1,A2e3=-ke3.

下面通過Weierstrass表示討論一些例子．

例1[11]f=1,g=-iez，其中z=u+iv，相應的極小曲面為正螺面．

因為ds2=(1+e2u)2(du2+dv2),故(u,v)是等溫參數(shù)，是正則曲面．在R3中任意緊致集的逆象在(u,v)平面內(nèi)是緊致的，在(u,v)平面上發(fā)散于無窮遠的曲線的象在R3中也發(fā)散于無窮遠，曲面是完備的．

同理，可證明經(jīng)典的完備極小曲面包括懸鏈面、Enneper曲面、Scherk曲面、Schwarz曲面等的主曲率都是有界的．

例2為獲得Gauss曲率無界的完備極小曲面，考慮Gauss函數(shù)[12].設f=1,g=ez2，其中z=rcosθ+irsinθ．

因為ds2=(1+e2r2cos 2θ)2(dr2+r2dθ2),故(r,θ)是等溫參數(shù)，是正則曲面．在(r,θ)平面上發(fā)散于無窮遠的曲線的象在R3中也發(fā)散于無窮遠，曲面是完備的．

注記更一般地，設f=1,g=ezk，其中k∈Z．高斯曲率為

定理2設f:M3→R4是滿足Gauss-Kronecker曲率恒為零，第二基本形式恒不為零的等距極小浸入.若M3是完備的，則f(M3)可分解為黎曼直積L2×R，其中L2是R3中高斯曲率有下界的完備極小曲面．

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