楊 柳，何蘊龍

(武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國家重點實驗室，武漢 430072)

1 研究背景

壩體－庫水的耦合作用一直是大壩抗震分析的重要課題，尤其在近年混凝土拱壩修建越來越多的情況下，拱壩的抗震分析中流固耦合的影響更是不可忽視的重要內(nèi)容。目前在實際工程計算分析中，據(jù)Westergaard［1］動水壓力解析解提出的附加質(zhì)量模型應(yīng)用最為廣泛。但附加質(zhì)量模型不計壩體自身變形和壩體－庫水動力相互作用的影響，本文通過考慮庫水可壓縮性的流固耦合模型的計算分析來對比附加質(zhì)量法的適用性。

由于拱壩自身的復(fù)雜性，對于拱壩動水壓力的研究比重力壩要晚，1961 年，Korsubo［2］通過將壩體簡化為中心角為直角的圓柱體的一部分，將庫水區(qū)域簡化為扇形，得出了剛性拱壩在簡諧地面運動的壩面動水壓力的解析解。在壩庫系統(tǒng)中，是否考慮庫水的可壓縮性一直是個有爭議的課題，Chopra［3］的研究發(fā)現(xiàn)忽略水的可壓縮性將導(dǎo)致顯著的誤差，會過低估計地震動水壓力。日本學(xué)者畑野正［4］的試驗說明動水壓力和地震輸入頻率緊密相關(guān)。中美兩國合作進行的現(xiàn)場試驗研究未獲得支持哪種模型的明確結(jié)論［5］。目前對其進行數(shù)值方法的研究仍有重要意義，隨著計算工具和方法的發(fā)展，計算模型得到不斷完善，考慮庫水可壓縮性的流固耦合方法是一種比較符合實際的先進方法。本文用在流固耦合方面較有優(yōu)勢的有限元軟件ADINA進行分析，討論庫水可壓縮性在計算過程中的影響。

2 計算方法與拱壩有限元分析模型

2.1 數(shù)值分析方法

當(dāng)考慮水體的可壓縮性時，以結(jié)構(gòu)位移和流體速度勢組成混合未知量，有限元方程如下，

式中:［Ms］、［Ks］、［Fs］為與結(jié)構(gòu)有關(guān)的質(zhì)量、剛度和荷載矩陣;［Mp］、［Kp］為與流體相關(guān)的“質(zhì)量”、“剛度”矩陣;Q為流固交界面上的耦合矩陣，Q1，Q2為與流體流速有關(guān)的耦合矩陣。

在可壓縮庫水模型中假設(shè)庫水是均勻、無黏、無旋、線性小擾動理想流體，其基本方程表示為:

式中:▽2為Laplace算子;為水中聲速;k為水體體積彈性模量;ρ為流體密度;φ為流體速度勢(ν=▽φ，ν是流體速度);p為流體壓力;ui為時均流速的3個分量;n為壩庫交界面的法線方向;r為足夠遠處邊界的法線方向。

2.2 有限元分析模型

五嘎沖水電站位于貴州省馬別河上游平塘河段，壩頂高程1 344 m，最大壩高105 m，壩頂弦長612.5 m。有限元計算模型中拱壩壩高105 m，壩基范圍及下游均取1.5倍壩高，根據(jù)黃耀英［6］、李瓚［7］等人的研究結(jié)果，為充分反映水體的影響，水庫長度向上游取3倍壩高。采用無質(zhì)量地基模型進行計算。在可壓縮庫水流固耦合模型中，庫尾設(shè)置為無窮遠邊界，庫水表面設(shè)置為自由液面，考慮了自由面波的影響。附加質(zhì)量模型中將壩面上的動水壓力施加到壩面節(jié)點上，其中材料參數(shù):壩體體積彈性模量為20 GPa，密度為 2 400 kg/m3，泊松比為0.167，基巖體積彈性模量為25 GPa，泊松比為0.25，水體密度為1 000 kg/m3。模型如圖1所示。

圖1 五嘎沖拱壩模型Fig.1 Model of the Wugachong arch dam

2.3 地震波的選取

選取水工建筑物抗震設(shè)計規(guī)范推薦的標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜為目標(biāo)譜，生成人工地震波作為拱壩壩基輸入地震波，地震加速度峰值為0.1 g，地震動反應(yīng)譜特征周期為0.20 s，相應(yīng)地震基本斜度為7度。圖2為所輸入的規(guī)范波的順河向加速度時程曲線。

3 壩體自振頻率和振型的分析

表1為2種模型的壩體自振頻率，由于附加質(zhì)量的影響，體系的質(zhì)量增加而剛度未變，其自振頻率在初期時下降幅度更大。從第1階自振頻率來看，相對于考慮庫水可壓縮性情況下的壩體自振頻率，附加質(zhì)量模型降幅達到17.38%，其后高階頻率中二者相差范圍縮小，但整體上來說附加質(zhì)量模型比可壓縮庫水模型頻率小，周期較長。

圖2 順河向地震波Fig.2 Time-history curve of seismic wave along the river direction

表2為空庫、可壓縮庫水模型、附加質(zhì)量模型前五階振型的比較表，其中附加質(zhì)量模型的振型和空庫振型一致，對稱性相同，可見可壓縮庫水模型更能反映壩庫相互作用。

表2 振型比較Table 2 Comparison of vibration modes

4 拱壩地震動力響應(yīng)分析

4.1 動水壓力分析

圖3分別為地震作用下2種模型拱壩上游面的動水壓力包絡(luò)圖，可壓縮庫水模型的動水壓力包絡(luò)圖如圖3(a)所示，附加質(zhì)量模型的動水壓力包絡(luò)圖如圖3(b)所示，在壩高1/3處達到最大，數(shù)值上近似是可壓縮庫水模型的2.5倍，與解析解所得結(jié)果相符合［8］。圖4為2種模型壩高約15 m處同一點的動水壓力時程圖，可壓縮庫水模型最大值為93.78 kPa，在 10.0 s，附加質(zhì)量模型最大值為165.86 kPa，在7.08 s。附加質(zhì)量模型的動水壓力在整個壩面比可壓縮庫水的動水壓力大。

圖3 動水壓力包絡(luò)圖Fig.3 Envelopes of hydrodynamic pressure

圖4 動水壓力時程曲線Fig.4 Time-history curves of hydrodynamic pressure

圖5(a)至圖5(c)為各層沿拱圈的動水壓力包絡(luò)圖，沿拱圈的法線方向表示動水壓力的值，圖中上部兩條線分別表示可壓縮庫水模型和附加質(zhì)量模型的動水壓力值。可壓縮庫水模型的動水壓力在每層拱圈中沿拱向變化不大，但各層拱圈的動水壓力有所不同，附加質(zhì)量模型的動水壓力在每層拱圈的拱冠梁處達到最大，附加質(zhì)量模型動水壓力普遍大于可壓縮庫水模型的動水壓力。在拱冠梁的動水壓力包絡(luò)圖中，可壓縮庫水模型的動水壓力隨壩高的降低而增大，最大值出現(xiàn)在壩踵，為93.25 kPa，附加質(zhì)量模型動水壓力最大值出現(xiàn)在壩高1/3處，為217 kPa，在相同位置，附加質(zhì)量模型的動水壓力比可壓縮庫水的動水壓力大152%.可壓縮庫水由于考慮了庫水的可壓縮性，更能真實模擬壩庫相互作用。

圖5 各層拱圈及拱冠梁動水壓力包絡(luò)圖Fig.5 Envelopes of hydrodynamic pressure in the arch and the crown cantilever

4.2 壩體位移變形分析

2種模型中壩體的位移變形規(guī)律基本一致，分別選取壩體拱頂、拱冠左右拱圈的特征點進行比較，各特征點的動位移比較如表3所示，可壓縮庫水模型和附加質(zhì)量模型的動位移分布規(guī)律基本一致，橫河向動位移最值出現(xiàn)在拱頂左1/4拱圈處，順河向動位移和豎直向動位移最值出現(xiàn)在拱頂拱冠梁處。附加質(zhì)量模型動位移結(jié)果幾乎都比流固耦合模型動位移結(jié)果大。各方向位移時程曲線見圖6。

表3 拱壩特征點動位移絕對值峰值Table 3 Maximum dynamic displacements of feature points

橫河向位移時程(圖6(a)):可壓縮庫水模型峰值發(fā)生在12.8 s處，為8.45 mm，附加質(zhì)量模型峰值發(fā)生在9.9 s處，為8.27 mm，二者在整個時程中相差不大，改變周期相近。

順河向位移時程(圖6(b)):可壓縮庫水模型峰值發(fā)生在12.48 s處，為25.05 mm，附加質(zhì)量模型峰值發(fā)生在9.5 s處，為29.34 mm，增大17.13%，庫水可壓縮性的考慮對順河向位移影響較大。

豎直向位移時程(圖6(c)):附加質(zhì)量模型峰值發(fā)生在9.42 s處，為4.93 mm，可壓縮庫水模型峰值發(fā)生在10 s處，為4.90 mm，二者的位移均沿z軸負方向，發(fā)生時刻相近，峰值相差不大，但從整個時程圖可看出，附加質(zhì)量模型的豎直向位移比可壓縮庫水模型的豎直向位移大，在4～8 s中，二者相差不大，8～14 s中，附加質(zhì)量模型的豎直向位移基本都比可壓縮庫水模型的結(jié)果大。

圖6 各方向位移時程曲線Fig.6 Time-history curves of transverse，longitudinal and vertical displacements

由圖7可得2種模型的順河向絕對加速度時程規(guī)律基本一致且附加質(zhì)量模型的順河向加速度大于可壓縮庫水模型的結(jié)果，可壓縮庫水模型的峰值發(fā)生在12.50 s，為7.03 m/s2附加質(zhì)量模型的順河向加速度峰值發(fā)生在9.48 s，為7.88 m/s2，增大12.09%。

圖7 順河向加速度時程曲線比較Fig.7 Comparison of time-history curves of longitudinal acceleration

4.3 壩體拱向應(yīng)力分析

可壓縮庫水模型和附加質(zhì)量模型的拱向應(yīng)力分布規(guī)律基本相同，上游面拱向拉應(yīng)力最大值出現(xiàn)在壩肩處，可壓縮庫水模型的最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在壩體上部拱冠梁處，附加質(zhì)量模型的最大壓應(yīng)力出現(xiàn)位置接近壩頂，但分布趨勢基本一致，2種模型的拱向應(yīng)力相差不大(圖8，圖9)。

圖8 可壓縮庫水的拱向應(yīng)力的上游面動靜疊加包絡(luò)圖Fig.8 Arch stress contours of upstream face of compressible fluid model after superposing the dynamic response

圖9 附加質(zhì)量模型的拱向應(yīng)力的上游面動靜疊加包絡(luò)圖Fig.9 Arch stress contours of upstream face of the additional mass model after superposing the dynamic response

4.4 壩體豎直向應(yīng)力分析

圖10 可壓縮庫水的豎直向應(yīng)力的上游面動靜疊加包絡(luò)圖Fig.10 Vertical stress contours of the compressible fluid model after superposing the dynamic response

圖11 附加質(zhì)量模型的豎直向應(yīng)力的上游面動靜疊加包絡(luò)圖Fig.11 Vertical stress contours of the additional mass model after superposing the dynamic response

計算中壓應(yīng)力為負、拉應(yīng)力為正。在圖10和圖11中(a)為靜力計算的應(yīng)力結(jié)果與拉應(yīng)力的包絡(luò)值疊加結(jié)果，(b)為靜力計算的應(yīng)力結(jié)果與壓應(yīng)力的包絡(luò)值疊加結(jié)果?？蓧嚎s庫水模型和附加質(zhì)量模型豎直向拉應(yīng)力的分布規(guī)律相同，拉應(yīng)力出現(xiàn)在左岸壩肩及1/5壩高處以下，在壩體下部拉應(yīng)力隨壩高的降低而增大，最大值均出現(xiàn)在上游面壩踵處，可壓縮庫水模型的最大壓應(yīng)力為4.0 MPa，附加質(zhì)量模型的最大壓應(yīng)力為4.3 MPa，增大7.5%。2種模型的壓應(yīng)力分布規(guī)律相同，壓應(yīng)力最大值出現(xiàn)在1/2壩高的拱冠梁處，可壓縮庫水模型的最大壓應(yīng)力為1.76 MPa，附加質(zhì)量模型的最大壓應(yīng)力為2.40 MPa，增大36.36%。

5 結(jié)論

(1)從庫水的物理特性來看，可壓縮庫水模型最能真實地反映庫水的特性，也最能反映庫水對壩體動力特性的影響。附加質(zhì)量模型與可壓縮庫水模型相比降低了壩體的自振頻率。

(2)2種模型的結(jié)果對比分析表明，附加質(zhì)量模型的動水壓力約為可壓縮庫水模型動水壓力的2.5倍，當(dāng)壩體受到順河向地震激勵時，由附加質(zhì)量產(chǎn)生的動水壓力會大大增大壩體的動力反應(yīng)，與可壓縮庫水模型的計算結(jié)果相比，對順河向位移反應(yīng)影響較大，對豎直向位移影響較小，對橫河向位移基本沒有影響。對豎直向應(yīng)力反應(yīng)有較大影響，而對壩體拱向應(yīng)力反應(yīng)影響較小。

(3)地震激勵作用下，附加質(zhì)量模型計算的壩體的應(yīng)力、位移反應(yīng)比可壓縮庫水模型偏大，并且其誤差在壩體上部更為明顯，差別更大。附加質(zhì)量模型夸大了地震時壩體的應(yīng)力反應(yīng)。

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