劉明志 杜成斌 孫立國

(河海大學 力學與材料學院,南京 211100)

重力壩作為重要的擋水建筑物,強烈地震會給大壩與庫水區(qū)帶來嚴重的破壞后果.影響大壩地震響應的因素很多,其中水體與壩體間的動力相互作用是一個非常重要的方面[1].

早在1933年,美國學者Westergaard[2]對剛性直立壩面的動水壓力進行了開創(chuàng)性的研究,提出了不考慮庫水可壓縮性的附加質(zhì)量模型,諸多學者對這一模型在試驗和數(shù)值模擬方面做了大量的研究[3-5].雖然這一模型能夠很好地模擬壩水相互作用,反映出一定的動水壓力的本質(zhì)特征,但是附加質(zhì)量模型過于理想化,主要是未計入壩體的彈性變形和庫水的壓縮性影響,這是不符合實際情況的,不能真實地反映壩體-庫水相互作用問題.在壩水相互作用的過程中,是否需要考慮庫水可壓縮性的影響一直是一個有爭議的問題,近年來,眾多學者對這一問題做了大量的研究.1972年Selby A.等[6]建立了由混凝土材料組成的庫水系統(tǒng),使用鋼絲網(wǎng)水泥墻布置壓力傳感器測量動水壓力,實驗結果表明,在忽略庫水可壓縮性時,實驗所得的動水壓力值與不考慮壓縮性時的拉普拉斯方程解較為一致,表明不考慮庫水可壓縮性更能反映實際情況.但Chakrabarti和Chopra[7-8]在研究重力壩-庫水相互作用時指出,是否考慮庫水可壓縮性與外界激勵頻率有關,當激勵頻率比壩體第一階頻率小得多時,可以不考慮庫水可壓縮性的作用;當外界激勵頻率較大時,水體的可壓縮性對結果有較大的影響.王毅等[9]研究了考慮壩體、庫底柔性時庫水可壓縮性對于壩面動水壓力的影響,計算結果表明不考慮庫水可壓縮性時,壩面所受到的動水壓力與地震動激勵的頻率無關.在考慮庫水可壓縮性時,在低頻階段,壩體柔性能夠增大系統(tǒng)的響應,相反在高頻階段其能降低系統(tǒng)響應;王銘明等[10]建立了5種不同高度重力壩的壩體-庫水流固耦合模型,研究重力壩在地震作用下的地震響應,結果表明流固耦合作用會導致重力壩壩面動水壓力呈上部偏大、下部偏小的趨勢.吳超[11]建立了拱壩-地基-庫水系統(tǒng)非線性耦合分析模型,考慮不同庫水模型模擬地震動水壓力,結果表明動水附加質(zhì)量模型比可壓縮庫水模型計算得到的拱壩響應偏大,具體表現(xiàn)為拱壩橫縫開度增加,上下游位移極值增加,壩體應力值較大,計算結果偏于保守.李渤等[12]使用有限元模擬了可壓縮庫水對于壩體動力特性的影響,結果表明可壓縮庫水相較于空庫模型明顯降低了壩體的自振頻率,且可壓縮庫水模型自振頻率低于不可壓縮庫水模型自振頻率.

本文采用ABAQUS中的聲學單元模擬庫水,在對庫水單元模型充分驗證的基礎上,以Koyna重力壩為例建立了壩體-庫水-地基流固耦合模型,探討了庫水可壓縮性對大壩動力特性和地震響應的影響,并探討了不同壩高和不同卓越頻率的地震荷載對重力壩動水壓力的影響.

1 流固耦合方程及算例驗證

1.1 庫水有限元耦合模型

基于無旋、無黏和均質(zhì)的假定,可以得到以壓力為未知量的波動方程:

式中:?2為拉普拉斯算子;p為動水壓力;c為水中聲速.

圖1為簡化壩體-庫水-地基力學模型.滿足上式的邊界條件為:

S1:流固耦合面,滿足應力連續(xù)邊界條件

式中:n為壩庫交界面法線方向;ρ為流體密度;an為加速度.

圖1 壩體-庫水-地基力學模型

S2:底面,采用吸收邊界條件

式中:m為庫水底面法線方向;q為邊界阻抗系數(shù);α為庫底反射系數(shù),其范圍為[0,1].當α=0時,表示庫底為全反射狀態(tài);當α=1時,表示庫底為完全吸收狀態(tài).

S3:無限遠處,采用無反射邊界條件

式中:l為庫尾無限遠處法線方向.

S4:自由表面處,無壓力作用,不計表面波影響

考慮庫水可壓縮性時結構位移和流體速度勢組成的混合未知量的有限元方程為:

式中:Ms、Ks、Fs分別為與結構有關的質(zhì)量、剛度和荷載矩陣;Mp、Kp分別為與流體有關的質(zhì)量、剛度矩陣;Q為流固交界面上的耦合矩陣;Q1、Q2分別為與流體流速相關的耦合矩陣分別為結構加速度、速度、位移分別為流體加速度、速度、位移.

1.2 模型驗證

1.2.1 算例1:剛性壩體

為驗證聲學單元模擬庫水的正確性,建立上游壩面豎直的壩體-庫水模型[13],壩體高180 m,寬15 m,如圖2所示.壩體設為剛性,彈性模量取為3.43×1016Pa,假設庫水可壓縮并忽略其黏性,水中聲速c=1 439 m/s,水體密度ρ=1 000 kg/m3.

圖2 上游壩面豎直的壩體-庫水模型

Tasi等[14]于1990年基于半解析解提出了一種有效的時域分析方法,考慮到庫水的可壓縮性,得到了適用于壩體-庫水相互作用的動水壓力公式:

式中:λk=(2k-1)π/2H,H為水體高度;J0為第一類貝塞爾函數(shù);an和c同前.

定義無量綱的動水壓力為:

對模型施加地面斜坡加速度如圖3所示,取a=0.2g,研究其動水壓力分布,將結果與解析解進行對比.當水體動水壓力在底部達到峰值時,繪制壩體表面上的動水壓力包絡線分布如圖4所示,其與解析解吻合較好.繪制壩踵位置動水壓力時程曲線如圖5所示,與解析解對比,在2 s前曲線趨勢較為一致;在2 s后,不同長度的庫水區(qū)域?qū)τ趧铀畨毫τ幸欢ǖ挠绊?隨著庫水區(qū)域的增大,無量綱動水壓力最小值逐漸增大,但整體趨勢接近相同.

圖3 地面斜坡加速度

圖4 壩面動水壓力包絡線比較

圖5 壩踵處動水壓力時程曲線

1.2.2 算例2:柔性壩體

此時,上游壩面豎直的壩體-庫水有限元模型仍如圖1所示,施加地震荷載EL Centro如圖6所示.壩體彈性模量取為3.43×1011Pa,密度為2 400 kg/m3,泊松比為0.假設庫水可壓縮并忽略其黏性,水體區(qū)域長度取為900 m[13],水中聲速和水體密度同前.將計算結果與Lee[15]和Tasi[16]于1991年提出的柔性壩體-庫水相互作用的時域解析解進行對比,繪制壩踵位置動水壓力時程曲線如圖7所示,圖中縱坐標為無量綱動水壓力,可見整體趨勢與解析解較為一致,無量綱動水壓力峰值接近相同.因此采用聲學單元模擬庫水是合理的.

圖6 南北向EL Centro地震時程曲線

圖7 壩踵壩面動水壓力比較

2 庫水壓縮性對Koyna重力壩動力特性的影響

2.1 工程概況及計算模型

本文以印度Koyna大壩為例進行計算,Koyna壩為混凝土重力壩,位于印度西南部,最大壩高103 m,壩底寬度為70 m.壩體剖面圖如圖8所示,壩體-庫水-地基系統(tǒng)有限元網(wǎng)格模型如圖9所示.水體區(qū)域向上游取3倍壩高,壩基深度取2倍壩高,地基向下游延伸2倍壩高,地基按無質(zhì)量考慮[17].模型共有6 923個結點、6 632個單元.其中壩體、壩基采用CPS4R4單元,即4結點減縮單元,共計4 832個;庫水采用AC2D4聲學單元,共計1 800個.

圖8 Koyna重力壩壩體剖面圖

圖9 Koyna重力壩-庫水-地基系統(tǒng)有限元模型

水體表面不考慮表面波作用.水體截斷邊界設置為吸收邊界(無反射平面),不考慮地震波在庫尾方向上的返回波.對于壩體-庫水和地基-庫水之間的接觸面,均使用ABAQUS中的TIE進行約束,以模擬接觸面之間的耦合作用.

2.2 計算工況及材料屬性

建立了3種有限元數(shù)值模型:①不考慮壩前庫水作用,即空庫模型;②滿庫可壓縮庫水模型;③滿庫不可壓縮庫水模型.當考慮水體可壓縮性時,體積模量取為2.07 GPa,當不考慮水體可壓縮性時,庫水的體積模量取為2.07×1020Pa[18],庫水滿庫水位深度取為90 m.在計算中,壩體混凝土材料、壩基部分均采用彈性模型.壩體動彈性模量為31.03 GPa,密度為2 643 kg/m3,泊松比為0.167;壩基彈性模量取為20 GPa,泊松比為0.25;水體密度取為1 000 kg/m3,考慮庫水可壓縮性時,水中聲速取為1 439 m/s.本文采用Rayleigh阻尼理論[19]來反映混凝土的阻尼,阻尼比取為5%.

計算時采用Koyna實測地震波作為輸入地震荷載,地震波時程曲線如圖10所示.Koyna地震波地震總時程為10 s,時間間隔0.02 s,地震加速度峰值為0.5g.

圖10 Koyna地震波加速度時程曲線

2.3 庫水壓縮性對大壩自振頻率的影響

對比不同模型壩體第一階自振頻率,空庫模型的第一階自振頻率最大,為2.48 Hz;不可壓縮庫水模型第一階自振頻率次之,為2.25 Hz;可壓縮庫水模型第一階自振頻率最小,為2.18 Hz.考慮庫水可壓縮性時壩體自振頻率略低于忽略庫水可壓縮性的壩體第一階自振頻率,降幅為3.1%,可見庫水的可壓縮性對壩體自振頻率有一定的影響.

繪制3種有限元模型的前8階頻率如圖11所示.

圖11 3種不同模型的前8階頻率

由圖11可見,前8階頻率空庫模型的頻率最大,可壓縮庫水模型頻率低于不可壓縮庫水模型;3種模型低階頻率相差不大,但隨著模態(tài)階數(shù)的增加,對高階頻率影響較為明顯;考慮庫水可壓縮性模型壩體頻率相較于不考慮庫水可壓縮性模型壩體頻率下降約3.1%～34.9%,可見庫水可壓縮性對壩體動力特性有一定的影響,且在4階模態(tài)后隨著模態(tài)階數(shù)的增加,相對下降幅度逐漸增大,因此在進行流固耦合計算時不能忽視庫水可壓縮性對于壩體與庫水之間相互作用的影響.

3 庫水可壓縮性對大壩地震響應的影響

3.1 庫水可壓縮性對壩體位移響應的影響

對于103 m壩高模型,在Koyna地震荷載下,選取壩頂A點、下游壩面折點B點兩個關鍵部位(見圖8),繪制其水平位移時程曲線如圖12所示.由圖12可知,兩種模型的水平位移時程曲線較為一致,水平位移峰值出現(xiàn)位置相同.

圖12 關鍵部位水平位移時程曲線對比

選取壩頂A點、下游壩面折點B點兩個關鍵部位(見圖8),其水平位移峰值見表1,可見由于地震對壩體頂部的放大作用,使得其頂部地震動位移較大,下游壩面折點位置水平位移略小.相較于不可壓縮庫水模型,當考慮庫水可壓縮性時,所選取特征點水平位移峰值均大于不可壓縮庫水模型.壩頂位置可壓縮庫水模型水平位移峰值相較于不可壓縮庫水模型增大約8.8%、下游壩面折點增大約5.8%.因此考慮庫水可壓縮性時會增大壩體的水平向位移.

表1 壩體關鍵部位水平位移峰值 (單位:mm)

3.2 庫水可壓縮性對壩體應力響應的影響

對于103 m壩高模型,在Koyna地震荷載下,選取壩體關鍵部位下游壩面折點B點、壩踵D點(如圖8所示),在地震作用下主拉應力峰值見表2.

表2 壩體關鍵部位主拉應力峰值

由表2可知,最大主拉應力出現(xiàn)于壩踵處,且大于下游壩面折點處主拉應力峰值.應該注意到壩踵位置出現(xiàn)了一定程度的應力集中,是抗震薄弱部位,在重力壩設計中應該得到重視.可壓縮庫水模型相較于不可壓縮庫水模型會增大主拉應力響應,下游壩面折點處增大幅度約為3.2%,壩踵處增大幅度約為5.2%.

4 不同大壩高度、不同地震卓越頻率對大壩動水壓力的影響

4.1 不同大壩高度對動水壓力的影響

為研究可壓縮庫水對不同高度大壩動水壓力的影響,在保持壩體上下游坡度不變的情況下分別按0.7、1.0、1.3、1.6的比例建立了大壩高度分別為72 m、103 m、134 m、164 m流固耦合模型,庫前水位分別為63 m、90 m、117 m、144 m.地震波仍然采用前述的Koyna地震波.圖13為4種不同大壩高度的壩面動水壓力峰值沿高程的變化曲線,可見庫水可壓縮性模型動水壓力均大于不可壓縮庫水模型.72 m壩高時,動水壓力峰值出現(xiàn)在壩高約39.8%處;103 m壩高動水壓力峰值出現(xiàn)在壩高約51.0%處;134 m壩高動水壓力峰值出現(xiàn)在壩高約41.6%處;164 m壩高動水壓力峰值出現(xiàn)在壩高約43.9%處.可見壩面動水壓力峰值出現(xiàn)在上游壩面中部位置,而不是在壩踵位置.

圖13 4種不同大壩高度壩面動水壓力峰值

表3給出了不同高度大壩動水壓力峰值,由表3可見72 m壩高動水壓力峰值為0.08 MPa;103 m壩高動水壓力峰值為0.19 MPa;134 m壩高動水壓力峰值為0.36 MPa;164 m壩高動水壓力峰值為0.43 MPa.對比不同高度大壩動水壓力,壩面動水壓力峰值隨著大壩的增高而逐漸增大;庫水可壓縮性對動水壓力有一定放大作用,4種工況下動水壓力峰值相較于忽略庫水可壓縮性時增幅分別約為14.3%、18.8%、20.0%、13.2%.可見庫水可壓縮性在壩水相互作用時對動水壓力有較大的影響,在計算中不能忽略.

表3 不同高度大壩動水壓力峰值 (單位:MPa)

4.2 地震激勵頻率對動水壓力的影響

根據(jù)畑野正[20]對于庫水可壓縮性的研究,動水壓力與地震輸入頻率是緊密相關的.本文對103 m壩高模型,選取Kocaeli、EL Centro、Trinidad

3條典型地震波,探究不同地震激勵頻率對于動水壓力的影響.Kocaeli、EL Centro、Trinidad地震波卓越頻率分別為0.29 Hz、1.79 Hz、2.76 Hz,加速度峰值取為0.35g,其水平方向地震時程曲線和頻譜幅值如圖14所示,豎直方向地震波取水平方向的2/3.

圖14 3種地震波加速度時程曲線以及頻譜幅值

對于可壓縮庫水模型,選取上游壩面中部C點、壩踵D點兩個位置(見圖8),繪制其動水壓力時程曲線分別如圖15、16所示.當?shù)卣鹱吭筋l率小于可壓縮庫水模型一階頻率(2.18 Hz)時,上游壩面中部、壩踵處的動水壓力是最小的;當?shù)卣鹱吭筋l率遠大于可壓縮庫水模型基頻時,動水壓力會略大于上一種情況動水壓力;當?shù)卣鹱吭筋l率和可壓縮庫水模型基頻相接近時,上游壩面中部、壩踵處動水壓力是最大的,此時地震荷載對動水壓力的影響最為明顯.

圖15 上游壩面中部動水壓力比較

圖16 壩踵動水壓力比較

表4給出了考慮庫水可壓縮性時和忽略庫水可壓縮性時,在不同地震荷載下上游壩面中部C點、壩踵D點位置(見圖8)的動水壓力峰值.

表4 壩體關鍵部位動水壓力峰值

可見當?shù)卣鸩ㄗ吭筋l率和可壓縮庫水模型一階頻率(2.18 Hz)相接近時,考慮庫水壓縮性與不考慮庫水壓縮性壩體動水壓力峰值差別是最大的,考慮庫水的壓縮性時上游壩面中部位置動水壓力峰值相較于忽略庫水可壓縮性增大約81.8%,壩踵位置增大約75.0%;當?shù)卣鹱吭筋l率小于和大于可壓縮庫水模型基頻時,兩種情況下庫水可壓縮性對動水壓力峰值的影響并不明顯.由于地震波是一個隨機波,在傳播的時候沒有固定的頻率,所以在計算地震荷載下作用于壩體的動水壓力時,不能忽視庫水可壓縮性的影響,尤其當?shù)卣鹱吭筋l率與庫水基頻相接近時,庫水可壓縮性對于動水壓力的影響更為顯著.

5 結 論

本文采用ABAQUS中的聲學單元模擬庫水,研究了庫水可壓縮性對于壩體動力特性、地震響應和動水壓力的影響,得出了以下結論:

1)庫水對于壩體自振頻率影響顯著,庫水區(qū)域的增加降低了壩體的自振頻率,其中可壓縮庫水模型自振頻率略低于不可壓縮庫水模型自振頻率.

2)考慮庫水可壓縮性時,相較于忽略庫水可壓縮性會增大壩頂、上游壩面中點等位置的水平位移響應,并且會增大下游壩面折點、壩踵位置的主拉應力響應.

3)對比不同高度大壩模型,動水壓力隨著大壩高程的增加逐漸增加,壩面動水壓力峰值出現(xiàn)于上游壩面中部位置附近;可壓縮庫水模型相較于不可壓縮庫水模型會增大壩前動水壓力,在計算中不能忽略庫水可壓縮性的影響.

4)對比不同卓越頻率地震荷載下的動水壓力,當?shù)卣鹱吭筋l率與可壓縮庫水模型自振頻率相接近時,可壓縮庫水模型相較于不可壓縮庫水模型,在壩踵、上游壩面中部的動水壓力峰值相差最為顯著,庫水可壓縮性對動水壓力有一定放大作用.