彭戰(zhàn)松，張 哲

（黃河水利職業(yè)技術學院，河南 開封 475004）

0 引言

細胞神經網(wǎng)絡是一種處理實時信息的大規(guī)模非線性的模擬電路。 它作為一種動力系統(tǒng)，具有與元細胞自動機類似的并行運算能力。 而在系統(tǒng)的動態(tài)特性中，穩(wěn)定性是至關重要的。 近年來，學術界對神經網(wǎng)絡的漸進穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性有了廣泛的研究［1～5］。然而，模型誤差、外部擾動和參數(shù)波動將會導致模型不確定性的產生，從而使系統(tǒng)的動態(tài)特性變得更加復雜。 所以，系統(tǒng)模型應該具有一定的魯棒性。 在神經網(wǎng)絡的電子線路實現(xiàn)中，由于運算放大器的切換速度有限， 時滯的存在是不可避免的。當時滯的最小值大于零時，時滯就在一個區(qū)間范圍內變化，這時稱為區(qū)間時滯。 針對區(qū)間時變時滯系統(tǒng)的一些性質，已經有了一部分研究成果［6～9］。 而對具有區(qū)間時變時滯的神經網(wǎng)絡，指數(shù)穩(wěn)定性的研究還很少。

本文針對一類帶有范數(shù)有界不確定性的時變時滯神經網(wǎng)絡系統(tǒng)，給出了時變時滯依賴的魯棒漸進穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定性準則， 并通過數(shù)值例子仿真，驗證了結論的有效性。

1 時變時滯神經網(wǎng)絡全局漸進穩(wěn)定分析

1.1 時變時滯不確定神經網(wǎng)絡系統(tǒng)的描述

考慮如下時變時滯不確定神經網(wǎng)絡系統(tǒng)：

式中： x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xn(t)］T∈Rn是狀態(tài)向量；C=diag(c1，c2，…，cn),(ci＞0)是對角正定矩陣；A=(aij)n×n，B=(bij)n×n分 別 代 表 反 饋 和 離 散 連 接 權 矩陣；f(x(t))=［f1(x1(t))，f2(x2(t))，…，fn(xn(t))］是神經元激勵函數(shù)；J=［J1，J2，…，Jn］是外界常值輸入向量；ΔC(t)，ΔA(t)和ΔB(t)是具有如下形式的不確定性。

其中，Ei,Hi(i=1,2,3)是已知的具有適當維數(shù)的矩陣；Fi(t)(i=1,2,3)是時變不確定矩陣，且滿足

時變時滯滿足下列條件：

（Ⅱ）τ1≤τ(t)≤τ2和≤μ,τ1,τ2是非負數(shù)。

顯然，（Ⅰ）比（Ⅱ）更具通用性。 下面將分別根據(jù)（Ⅰ）和（Ⅱ）討論神經網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則。

假設神經元激勵函數(shù)fi(·)(i=1,2,3,…,n)有界且滿足如下條件：

式中：l-i, l+i(i=1,2,…,n)是常數(shù)。因l-i, l+i(i=1,2,…,n) 可以是正數(shù)、 負數(shù)和零， 故神經元激勵函數(shù)比Sigmoid 型激勵函數(shù)和Lipschitz 型激勵函數(shù)更弱一些。

由著名的Brouwer’s 固定點理論可知，系統(tǒng)（1）至少存在一個平衡點。 設系統(tǒng)的平衡點為x*=［x*1，x*2，…，x*n］T，通過變換z(·)=x(·)-x*，將平衡點轉移到原點，則系統(tǒng)（1）變?yōu)椋?/p>

其中，z(t)=［z1(t)，…，zn(t)］T，g(z(t))=［g1(z1(t))，…，zn(zn(t))］T分別是系統(tǒng)變化的狀態(tài)向量和激勵函數(shù)，且gi(zi(t))=fi(zi(t)+x*i)-fi(x*i)。

激勵函數(shù)gi(·)滿足：

故討論系統(tǒng)（1）平衡點x*的穩(wěn)定性問題將轉化為討論系統(tǒng)（5）的原點的穩(wěn)定性問題。

1.2 時變時滯不確定神經網(wǎng)絡系統(tǒng)判定

引理1［10］： 設U,V,W,M 是適當維數(shù)的實數(shù)矩陣，M 滿足M=MT，若M+UVW+WTVTUT＜0，則所有的VTV≤I。 當且僅當存在一個正數(shù)ε 滿足M+ε-1UUT+εWTW＜0。

引理2［11］：（Schur complement） 對給定的矩陣滿足S11=ST12，S22=ST22，則下列條件等價：

（1）S＜0；

（2）S22＜0,S11-S12S-122ST12＜0；

（3）S11＜0,S22-ST12S-111S12＜0。

引理3［12］：（S－procedure）設Ti(i=0,1,…，n)是對稱矩陣，如果存在標量τi≥0(i=0,1,…，n)使得

則對任意的Ti＞0(i=0,1,…，n)，有T0＞0.

下面討論系統(tǒng)（5）的全局魯棒漸進穩(wěn)定性準則，時變時滯滿足條件（Ⅰ）。

首先，研究下面的標稱系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

定理1［13］：設有非線性系統(tǒng)：=A(t)x+O(x,t)對所有的t，有o(O,t)=0。 如果下列條件成立，則式子=A(t)x+O(x,t)的零解是一致、漸近、穩(wěn)定的。

（2）對于所有的t，A(t)都是有界的；

在上述定理中，條件（1）與條件（2）對參數(shù)相同系統(tǒng)是成立的；條件（3）保證了條件Lyapunov 指數(shù)全為負。這個定理把通常檢驗穩(wěn)定性的方法（Jacobin本征值方法）推廣到任意驅動都能用的Lyapunov 指數(shù)方法。

記L1=diag(l-1l+1,l-2l+2,…,l-nl+n)，L2=diag(l-1+l+1,l-2+l+2,…,l-n+l+n)，對τ＞0，系統(tǒng)（8）的平衡點是全局漸進穩(wěn)定的。 如果：

（a）存在正定矩陣P＞0,R＞0,Q1＞0,Q2＞0；

（b）對角矩陣S=diag(s1,s2,…,sn)≥0，M=diag(m1,m2,…,mn)≥0；

（c）和適當維數(shù)的矩陣Yi(i=1,2,3)，Ti(i=1,2)滿足

其中：Φ11=Q1+Y1+YT1-T1C-CTTT1-2L1S, Φ12=PT1-CTTT2+YT2, Φ22=τR-T2-TT2, Φ33=-(1-μ)Q1-Y3-YT3-2L1M,＊代表矩陣對稱位置元素的轉置。

證明：對系統(tǒng)（8）構造如下的Lyapunov 函數(shù)

其中：V1(t)＝zT(t)Pz(t)，。P,R,Q1和Q2是正定矩陣.

沿系統(tǒng)（8）的軌跡求出Lyapunov 函數(shù)V1(t)對時間t 的導數(shù)，可以得到

由Leibniz－Newton 公式

得，存在適當維數(shù)的矩陣Yi(i=1,2,3)滿足：

考慮系統(tǒng)中矩陣的關系， 存在適當維數(shù)的矩陣Yi(i=1,2,3)滿足

由引理3 得，若存在實數(shù)對角矩陣，S=diag(s1,s2,…,sn)≥0 和M=diag(m1,m2,…,mn)≥0 滿足

應用引理2，由式（9）可得Ξ(t)＜0，從而有V˙1(t)＜0 成立。根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論（定理1）可知，系統(tǒng)（8）是全局漸進穩(wěn)定的。

2 實例分析與仿真

2.1 時變時滯的超混沌R?ssler 系統(tǒng)的描述

為了研究問題的方便， 取時變時滯的超混沌R?ssler 系統(tǒng)為研究對象。

超混沌R?ssler 系統(tǒng)［12］可描述如下：

其中，x,y,z,w 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量， 當系統(tǒng)參數(shù)a=0.25,b=3.0,c=0.05,d=0.5 時， 系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。通過數(shù)值仿真得到超混沌系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)圖（如圖1 所示）以及超混沌吸引子（如圖2 所示）。

圖1 超混沌R?ssle 系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)圖Fig.1 Lyapunov index of the Hyperchaos R?ssle system

圖2 超混沌R?ssler 系統(tǒng)相圖Fig.2 Phase diagram of Hyperchaos R?ssle system

圖1中，4 條線分別代表系統(tǒng)（15）的Lyapunov 指數(shù)情況。 圖2 為系統(tǒng)（15）的混沌吸引子。

2.2 數(shù)值仿真實驗

時變時滯超混沌R?ssler 系統(tǒng)變換可描述如下：

其中，x,y,z,w 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，τ(t)為時變向量。 若系統(tǒng)參數(shù)a=0.25,b=3.0,c=0.05,d=0.5，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。 取

圖3 誤差曲線Fig.3 Error curve

從圖3 中的e1,e2,e3,e4,四條誤差線可以看出，時變時滯細胞神經網(wǎng)絡變化同步，隨著時間的增加，誤差曲線逐漸趨于零，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

3 結語

綜上所述，本文通過Lyapunov 穩(wěn)定性定理和線性矩陣不等式技術， 得到一個新的與時滯相關的穩(wěn)定性條件。 并通過一個數(shù)值例子來驗證所得定理的有效性。 同時，該方法也可用于隨機神經網(wǎng)絡、脈沖神經網(wǎng)絡等的研究。

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