陳松良, 蔣啟燕
(1.貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550018;2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550001)
關(guān)于108階群的完全分類
陳松良1, 蔣啟燕2
(1.貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550018;2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550001)
設(shè)G是108階群,對群G進行了完全分類,證明了G共有45種互不同構(gòu)的類型.若Sylow子群都正規(guī),則G有10種;若Sylow 2-子群正規(guī)而Sylow 3-子群不正規(guī),則G有7種;若Sylow 3-子群正規(guī)而Sylow 2-子群不正規(guī),則G有28種;若Sylow子群都不正規(guī),則G不存在.
有限群; 同構(gòu)分類; 群的構(gòu)造
決定n階群的構(gòu)造是有限群論中一個基本分類問題.當p是奇素數(shù)且p≠3時,文[1]確定了22p3階群的構(gòu)造,所用方法與文[2-3] 的相同. 本文用新方法確定2233,即108階群的全部構(gòu)造,結(jié)論見定理1.
定理1設(shè)G是108階群,則G共有45種互不同構(gòu)的類型,其中Sylow子群都正規(guī)的有10種,Sylow 2-子群正規(guī)而Sylow 3-子群不正規(guī)的有7種,Sylow 3-子群正規(guī)而Sylow 2-子群不正規(guī)的有28種,并且不存在Sylow子群都不正規(guī)的108階群.
引理1如果G是108階有限冪零群,則G恰有10種互不同構(gòu)的類型:1)G1?C108;2)G2?C54×C2;3)G3?C36×C3;4)G4?C18×C6;5)G5?E27×C4;6)G6?E27×E4;7)G7?A×C4;8)G8?A×E4;9)G9?B×C4;10)G10?B×E4.
下面討論G是108階非冪零群的同構(gòu)分類問題.
(i)P是27階循環(huán)群.設(shè)P=〈x〉,則CP(Q)=〈x3〉.于是x作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu),因此不難得知G的構(gòu)造是G11.
(ii)P是交換群C9×C3.設(shè)P=〈x,y|x9=y3=1=[x,y]〉,則CP(Q)可為P的9階循環(huán)子群,也可為P的9階初等交換子群.
首先,設(shè)CP(Q)是P的9階初等交換子群,則CP(Q)=〈x3,y〉,于是x作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu),可設(shè)ax=b,bx=ab. 這時〈y〉?G,〈a,b,x〉?G,從而G=〈y〉×〈x,a,b〉=〈y〉×(〈x〉∝(〈a〉×〈b〉))?C3×(C9∝E4),因此G的構(gòu)造是G12.
其次,設(shè)CP(Q)是9階循環(huán)群.注意到P的每個9階元都可看成P的一個生成元,于是不妨設(shè)CP(Q)=〈x〉,而y作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu),所以可設(shè)ay=b,by=ab. 顯然G=〈x〉×(〈y〉∝(〈a〉×〈b〉))?C3×(C9∝E4),C3∝E4?A4,故G的構(gòu)造是G13.
(iii)P是初等交換群E27.這時CP(Q)只能是9階初等交換群,不妨設(shè)CP(Q)=〈y,z〉,于是G=〈y,z〉×(〈x〉∝〈a,b〉),而〈x〉∝〈a,b〉?A4,故G的構(gòu)造是G14.
(iv)P是非交換群A.這時CP(Q)可為P的9階循環(huán)子群,也可為P的9階初等交換子群.當CP(Q)為P的9階正規(guī)循環(huán)子群時,不妨設(shè)CP(Q)=〈x〉,于是y作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu),所以G=〈x〉∝(〈y〉∝〈a,b〉)?Z9∝A4,故G的構(gòu)造是G15.
當CP(Q)為P的9階正規(guī)初等交換子群時,必有CP(Q)=〈x3〉×〈y〉,于是x作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu),所以G的構(gòu)造是G16.
(v)P是非交換群B.這時CP(Q)只能是9階初等交換群,不妨設(shè)CP(Q)=〈y,z〉,于是x作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu),所以G的構(gòu)造是G17. 證畢.
證明設(shè)P=Z27=〈x〉,則Aut(P)是18階循環(huán)群. 又因為Q不正規(guī),所以Q/CQ(P)是2階群,從而CQ(P)也是2階群. 當Q是4階循環(huán)群時,設(shè)Q=〈a〉,則CQ(P)=〈a2〉,故G的構(gòu)造是G18. 當Q是4階初等交換群時,設(shè)Q=〈a〉×〈b〉,不妨設(shè)CQ(P)=〈b〉,從而G的構(gòu)造是G19. 證畢.
證明此時顯然P的Frattini子群Φ(P)=〈x3〉是3階群,而Φ(P)charP,P?G,于是Φ(P)?G.又不難證明〈x3,y〉 是P的唯一的9階初等交換子群, 從而它是P的特征子群,于是它又必是G的正規(guī)子群. 既然〈x3〉與〈x3,y〉都是Q-不變的,由Maschke定理[4]知,〈x3〉在〈x3,y〉中有3階Q-不變補子群,不妨設(shè)其為〈y〉. 又〈x3,y〉/〈x3〉是9階初等交換群〈x,y〉/〈x3〉的Q-不變子群,再由Maschke定理知〈x3,y〉/〈x3〉在〈x,y〉/〈x3〉中有3階Q-不變的補子群〈xiyj〉/〈x3〉,其中i=1,2,4,5,7,8,j=0,1,2. 但〈xiyj,y〉=〈x,y〉,故不妨設(shè)〈x〉/〈x3〉是〈x3,y〉/〈x3〉在〈x,y〉/〈x3〉中的3階Q-不變的補子群,因而〈x〉,〈y〉都是Q-不變的. 由于Q/CQ(x)同構(gòu)于Aut(〈x〉)的一個子群,但Aut(〈x〉)是6階循環(huán)群,所以CQ(x)是2階群或等于Q. 同理,CQ(y)也是2階群或等于Q,但顯然CQ(x)與CQ(y)不能同時等于Q.若CQ(x)是Q,而CQ(y)是2階群,則當Q=〈a〉是4階循環(huán)群時,必有CQ(y)=〈a2〉且ya=y-1,因此得G的構(gòu)造為G20.
當Q=〈a〉×〈b〉是4階初等交換群時,不妨設(shè)CQ(y)=〈b〉 ,而ya=y-1,于是G=〈x,b〉×〈a,y〉?C18×S3,因此G的構(gòu)造為G21.
若CQ(y)是Q,而CQ(x)是2階群,則當Q=〈a〉是4階循環(huán)群時,必有CQ(x)=〈a2〉且xa=x-1,因此得G的構(gòu)造為G22.
又當Q=〈a〉×〈b〉是4階初等交換群時,不妨設(shè)CQ(x)=〈b〉,而xa=x-1,于是G=〈y,b〉×〈a,x〉?C6×〈a,x〉,因此G的構(gòu)造為G23.
若CQ(x),CQ(y)都是2階群,則當Q=〈a〉是4階循環(huán)群時,必有xa=x-1,ya=y-1,因此G的構(gòu)造為G24.
若CQ(x),CQ(y)都是2階群,而Q=〈a〉×〈b〉是4階初等交換群,則當CQ(x)=CQ(y)時,不妨設(shè)CQ(x)=CQ(y)=〈b〉,于是xa=x-1,ya=y-1,因此G的構(gòu)造為G25.
若CQ(x),CQ(y)都是2階群,Q=〈a〉×〈b〉是4階初等交換群,但CQ(x)≠CQ(y),則不妨設(shè)CQ(x)=〈b〉,CQ(y)=〈a〉,于是xa=x-1,yb=y-1,因此G的構(gòu)造為G26. 證畢.
證明設(shè)P=E27=〈x〉×〈y〉×〈z〉.
(i)假定G是超可解的.這時G的主因子都是素數(shù)階循環(huán)群,所以不妨設(shè)〈x〉,〈y〉,〈z〉都是Q-不變子群,于是CQ(x),CQ(y),CQ(z)都是Q或2階群,但不能全是Q. 當Q=〈a〉是4階循環(huán)群時,Q中只有一個2階子群〈a2〉. 若CQ(x),CQ(y),CQ(z)中有2個是Q時,不妨設(shè)CQ(y)=CQ(z)=Q,則CQ(x)=〈a2〉,且必有xa=x-1,從而G的構(gòu)造為G27.
若CQ(x),CQ(y),CQ(z)中有一個是Q時,不妨設(shè)CQ(z)=Q,則CQ(x)=CQ(y)=〈a2〉,且必有xa=x-1,ya=y-1,從而G的構(gòu)造為G28.
若CQ(x),CQ(y),CQ(z)都是2階群,則xa=x-1,ya=y-1,za=z-1,因此G的構(gòu)造為G29.
當Q=〈a〉×〈b〉時,Q中有3個2階子群〈a〉,〈b〉,〈ab〉. 若CQ(x),CQ(y),CQ(z)中有2個是Q時,不妨設(shè)CQ(y)=CQ(z)=Q,CQ(x)=〈b〉,則xa=x-1,所以G=〈y,z,b〉×〈x,a〉?E9×C2×S3,于是得G的構(gòu)造為G30.
若CQ(x),CQ(y),CQ(z)中只有一個是Q時,不妨設(shè)CQ(z)=Q. 則當CQ(x),CQ(y)是2個相同的2階群時,可設(shè)CQ(x)=CQ(y)=〈b〉,從而G的構(gòu)造為G31.
而當CQ(x),CQ(y)是不同的2階群時,不妨設(shè)CQ(x)=〈a〉,CQ(y)=〈b〉,于是不難看出G=〈z〉×〈x,b〉×〈y,a〉?C3×S3×S3,從而G的構(gòu)造為G32.
若CQ(x),CQ(y),CQ(z)都是2階群時,則當它們都相同時,不妨設(shè)都是〈b〉,于是易見G的構(gòu)造為G33.
而當它們中有2個相同但另一個不同時,不妨設(shè)CQ(x)=CQ(y)=〈b〉,CQ(z)=〈a〉,于是G=〈z,b〉×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉)),且〈z,b〉?S3,xa=x-1,ya=y-1,從而G的構(gòu)造為G34.
而當CQ(x),CQ(y),CQ(z)是3個互不相同的2階群時,不妨設(shè)CQ(x)=〈a〉,CQ(y)=〈b〉,CQ(z)=〈ab〉,于是xb=x-1,ya=y-1,za=zb=z-1,故G的構(gòu)造為G35.
(ii)假定G不是超可解的.由于P可看成是3元域F3上的3維線性空間,對于Q中任意一個元素a,它在P上的作用對應(yīng)F3上3維線性空間的一個線性變換,仍用a表示. 如果P是G的極小正規(guī)子群,則Q在P上的作用是不可分解的. 于是Q中至少有一個元素a的特征多項式f(λ)是F3上的3次不可約多項式. 但a4=1,所以f(λ)應(yīng)為λ4-1的因式,這是不可能的. 因此P不是G的極小正規(guī)子群. 又G不是超可解的,所以G應(yīng)有一個9階極小正規(guī)子群,不妨設(shè)其為〈x〉×〈y〉. 這時Q中至少有一個元素a的特征多項式f(λ)有一個2次不可約因式,且是λ4-1的因式.由此不難得出f(λ)=(λ2+1)(λ-1)或f(λ)=(λ2+1)(λ+1),從而Q只能是4階循環(huán)群,這時G有2種不同的構(gòu)造G36,G37. 證畢.
證明設(shè)P=〈x,y|x9=1=y3,xy=x4〉,不難驗證Z(P)=〈x3〉且〈x3,y〉是P的唯一的9階初等交換子群,因而它們都是G的正規(guī)子群,從而G是超可解的. 類似于引理4的證明,可設(shè)〈x〉,〈y〉都是Q-不變的. 若Q是4階循環(huán)群〈a〉,則因為[x,y]=x3∈Z(P),所以當xa=x-1,ya=y-1時,[x,y]a=[xa,ya]=x3≠(x3)a,矛盾;當xa=x,ya=y-1時,[x,y]a=[x,ya]=x-3≠(x3)a,亦矛盾,因此只能有xa=x-1,ya=y,于是G的構(gòu)造為G38. 若Q是4階初等交換群〈a〉×〈b〉,則CQ(x)與CQ(y)是2階群或Q. 類似于上段的討論,必有CQ(y)=Q,從而CQ(x)必是2階群,不妨設(shè)CQ(x)=〈b〉,于是G的構(gòu)造為G39. 證畢.
證明P=〈x,y,z|x3=y3=z3=1=[x,z]=[y,z],[x,y]=z〉,則Z(P)=〈z〉,于是P/〈z〉=〈x,y〉/〈z〉是Q-不變的9階初等交換群.
首先,如果G是超可解的,那么〈x,y〉/〈z〉有3階Q-不變子群,不妨設(shè)其是〈x,z〉/〈z〉,由此又知〈x,z〉是Q-不變的9階初等交換群,所以由Maschke定理知〈z〉在〈x,z〉中有3階Q-不變的補子群,不妨設(shè)其是〈x〉. 同理,因為〈x,z〉/〈z〉是〈x,y〉/〈z〉的3階Q-不變子群,所以〈x,z〉/〈z〉在〈x,y〉/〈z〉中有3階Q-不變的補子群,不妨設(shè)其是〈y,z〉/〈z〉,從而〈y〉也是Q-不變子群. 總之,可設(shè)〈x〉,〈y〉,〈z〉都是Q-不變子群. 若Q是4階循環(huán)群〈a〉,則xa=x或xa=x-1,ya=y或ya=y-1,za=z或za=z-1,注意到[x,y]=z且Q不正規(guī),所以能夠成立的情況有3種:(i)xa=x-1,ya=y,za=z-1;(ii)xa=x-1,ya=y-1,za=z;(iii)xa=x,ya=y-1,za=z-1. 但在(iii)中,若將x,y互換,同時將z,z2互換,則得(i),因此由(i)或(iii)得到的G的構(gòu)造同構(gòu),這時G的構(gòu)造為G40. 由(ii)得到的G的構(gòu)造為G41.
若Q是4階初等交換群〈a〉×〈b〉,則類似于上段的討論可知,〈a〉在P上的作用可得到2種不同構(gòu)的54階非冪零超可解群〈a〉P. 同理,〈b〉在P上的作用也可得到2種不同構(gòu)的54階非冪零超可解群〈b〉P. 所以,如果CP(a),CP(b)中恰有一個是P時,不妨設(shè)CP(b)=P,則G=〈b〉×〈x,y,z,a〉,于是得G的2種不同的構(gòu)造G42,G43.
如果CP(a),CP(b)都不是P時,則可能有4種情況出現(xiàn):(a)xa=x-1,ya=y,za=z-1,xb=x-1,yb=y,zb=z-1;(b)xa=x-1,ya=y,za=z-1,xb=x-1,yb=y-1,zb=z;(c)xa=x-1,ya=y-1,za=z,xb=x-1,yb=y,zb=z-1;(d)xa=x-1,ya=y-1,za=z,xb=x-1,yb=y-1,zb=z.
若條件(a)或(d)成立,則CP(ab)=P,又〈a,b〉=〈ab,b〉=〈a,ab〉,由此不能得到G的新的構(gòu)造. 若在條件(c)中將a,b互換位置,則得條件(b),所以由(b)或(c)可得到G的一種新的構(gòu)造G44.
其次,如果G不是超可解的,那么Q在〈x,y〉/〈z〉上的作用是不可分解的. 又〈x,y〉/〈z〉可看成是3元域F3上的2維線性空間,Q中任意一個元素a可看成是F3上的2維線性空間的一個可逆線性變換. 類似于引理5的證明中(ii)討論,可知Q只能是4階循環(huán)群,且可設(shè)Q=〈a〉,xa=y,ya=x-1,再由[x,y]=z得za=z,從而G的構(gòu)造為G45. 證畢.
引理8設(shè)群G的階為108=22·33,則G的Sylow 2-子群或Sylow 3-子群正規(guī).
由以上8個引理可知,定理1成立.
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OntheClassificationofGroupsofOrder108
CHEN Song-liang1, JIANG Qi-yan2
(1.SchoolofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalCollege,Guiyang, 550018,China;2.SchoolofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalUniversity,Guiyang, 550001,China)
LetGbe finite groups of order 108. It was showed thatGhad 45 nonisomorphic types. If every Sylow subgroup was normal,Ghad 10 nonisomorphic types. If every Sylow 2-subgroup was normal and every Sylow 3-subgroup was non-normal,Ghad 7 nonisomorphic types. If every Sylow 3-subgroup was normal and every Sylow 2-subgroup was non-normal,Ghad 28 nonisomorphic types. If every Sylow subgroup was non-normal,Ghad 0 nonisomorphic types.
finite group; isomorphic classification; structure of group
2012-08-16
貴州省自然科學(xué)基金資助項目,編號2010GZ77391.
陳松良(1964-),男,副教授,博士,主要從事代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究,E-mail: chsl2006@yahoo.com.cn.
O 152.1
A
1671-6841(2013)01-0010-05
10.3969/j.issn/1671-6841.2013.01.003