魯紅英，王林琪

(1.成都理工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610059;2.成都理工大學(xué) 能源學(xué)院，四川 成都 610059)

0 引言

20世紀(jì)70年代初，美國運(yùn)籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂提出了將定性和定量分析結(jié)合的層次權(quán)重決策方法—層次分析法(Analytic Hierarchy Process簡稱AHP)，該方法主要是針對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題做出決策，合理地將定性與定量的決策結(jié)合起來，按照人們思維、心理的規(guī)律把決策過程層次化、數(shù)量化，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題.［1-3］1982年以來，層次分析方法以其系統(tǒng)性的分析方法、簡潔實(shí)用的決策方法和所需定量數(shù)據(jù)信息較少的特點(diǎn)，在我國社會(huì)經(jīng)濟(jì)各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)迅速得到了廣泛的重視和應(yīng)用.如在能源系統(tǒng)分析、經(jīng)濟(jì)管理、科技、文化、軍事、環(huán)境和社會(huì)發(fā)展等方面的管理決策中都有廣泛的應(yīng)用.

1 層次分析法的基本原理

在日常生活中，往往會(huì)遇到面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案，這就是所謂的決策.層次分析法求解問題的基本思路遵循“分解-建立-計(jì)算-檢驗(yàn)-評判”的原則，首先根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，分解影響決策所要考慮的因素，按照因素間的相互關(guān)系及隸屬關(guān)系建立合理的多層次結(jié)構(gòu)模型，根據(jù)諸因素的相對重要性構(gòu)造判斷矩陣，計(jì)算矩陣的特征向量(權(quán)向量)，進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，最后對所要決策的問題做出綜合評價(jià).運(yùn)用層次分析法建立模型時(shí)，基本步驟是:建立層次結(jié)構(gòu)模型;構(gòu)造判斷(成對比較)矩陣;層次單排序及其一致性檢驗(yàn);層次總排序及其一致性檢驗(yàn)(如圖1所示).

圖1 層次分析法建模步驟

2 層次分析法求解過程

2.1 建立層次結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)所需決策的問題進(jìn)行深入分析，將有關(guān)因素自上而下分層(目標(biāo)—準(zhǔn)則—方案)，上層受下層影響，而層內(nèi)各因素基本上相對獨(dú)立，構(gòu)造出一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型(如圖2所示).層次結(jié)構(gòu)模型一般分為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層三層.目標(biāo)層即最高層，目標(biāo)層中只有一個(gè)元素，表示決策的目的、要解決的問題，最后要達(dá)到的總目標(biāo);準(zhǔn)則層即中間層，表示實(shí)現(xiàn)預(yù)定總目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)表示考慮的因素，它可以由若干個(gè)層次組成;方案層即最底層，表示為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等.

圖2 層次結(jié)構(gòu)模型

2.2 構(gòu)造判斷矩陣

層次結(jié)構(gòu)反映了各因素之間的關(guān)系，在決策者的心目中，準(zhǔn)則層中的各指標(biāo)在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，而是各占一定的比例.Saaty等人提出采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣辦法，即每次取兩個(gè)因子Xi和Xj，以Aij表示Xi和Xj，對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為X-Z之間的成對比較判斷矩陣(簡稱判斷矩陣).［4-5］在構(gòu)造判斷矩陣時(shí)，確定aij的值，引用數(shù)字1-9及其倒數(shù)作為標(biāo)度，1-9標(biāo)度的含義如表1所示.

表1 1-9標(biāo)度含義

2.3 層次單排序及一致性檢驗(yàn)

在層次結(jié)構(gòu)模型中，層次單排序是指對于上一層某因素而言，本層次各因素的重要性的排序.［6-8］

(1)計(jì)算成對比較矩陣的最大特征值λmax及其對應(yīng)的特征向量W.

設(shè)給定判斷矩陣A，

式中λmax為 A的最大特征根，W為對應(yīng)于λmax的正規(guī)化的特征向量，W的分量ωi即是相應(yīng)元素單排序的權(quán)值.為檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性，需要計(jì)算一致性指標(biāo)CI、平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI和一致性比率CR.

(2)計(jì)算一致性指標(biāo)CI

(3)查找隨機(jī)一致性指標(biāo)RI

表2 隨機(jī)一致性指標(biāo)RI

(4)一致性比率CR

當(dāng)隨機(jī)一致性比率CR＜0.1時(shí)，認(rèn)為層次分析排序的結(jié)果具有滿意的一致性，即權(quán)系數(shù)的分配是合理的;否則，要調(diào)整判斷矩陣的元素取值，重新分配權(quán)系數(shù)的值.

2.4 層次總排序及一致性檢驗(yàn)

層次總排序是指計(jì)算某一層次所有因素對于最高層(總目標(biāo))相對重要性的權(quán)值.［9］

(1)計(jì)算層次總排序

設(shè)準(zhǔn)則層A中 m個(gè)因素 A1，A2，…，Am對總目標(biāo)Z的排序?yàn)閍1，a2，… am，方案層B中n個(gè)因素對準(zhǔn)則層A中因素為Aj的層次單排序?yàn)閎1j，b2j，…，bnj(j=1，2，…，m)

(2)計(jì)算層次總排序的一致性比率CR

設(shè)B層B1，B2，…Bn對上層(A層)中因素Aj(j=1，2，…m)的層次單排序一致性指標(biāo)為CIj，隨機(jī)一致性指標(biāo)為RIj，則層次總排序的一致性比率為:

當(dāng)CR＜0.1時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗(yàn).層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值.到此，根據(jù)最下層(決策層)的層次總排序做出最后決策.

3 實(shí)例試算

在商品房選購時(shí)，選購者考慮的主要因素有:價(jià)格、樓層、方位、通透性等情況，基本確定從三款房型中選擇一款套型.根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型(如圖3所示).

圖3 房屋選購層次結(jié)構(gòu)

根據(jù)層次分析法的原理及求解過程，準(zhǔn)則層的判斷矩陣如表3所示，方案層的判斷矩陣如表4所示.

表3 準(zhǔn)則層判斷矩陣

表4 方案層判斷矩陣

表5 層次總排序結(jié)果

從表5中可以得到:根據(jù)層次總排序的結(jié)果，單一排序和總排序的一致性檢驗(yàn)值CR均小于0.1，該決策結(jié)果是可以接受的.該選購者最滿意的房屋套型是套型2，最不滿意的套型是套型3.同時(shí)也可以得到:價(jià)格最高的是套型1，樓層最好的是套型2，方位最好的是套型1，通透性最好的是套型2.

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