胡金杰 陳志祥

(紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，浙江 紹興312000)

0 引言

理論教學(xué)是大學(xué)生數(shù)學(xué)課程的主要教學(xué)方式，大量引理和定理的抽象推導(dǎo)與證明過程是大學(xué)數(shù)學(xué)的主流教學(xué)模式.由于近些年來的擴(kuò)招等因素，普通大學(xué)的大學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的畏懼心逐漸加重，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣普遍下降.然而，數(shù)學(xué)被廣泛而深入地應(yīng)用于不同的領(lǐng)域，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等，特別是以解決復(fù)雜實(shí)際問題著稱的應(yīng)用數(shù)學(xué)，越來越被重視.在新的形勢(shì)下，高等學(xué)校提出了大力加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐能力培養(yǎng)的總體方向，給數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的挑戰(zhàn)，同時(shí)也是一個(gè)難得的機(jī)遇.如何切實(shí)提高數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐性、創(chuàng)新性就顯得格外重要.

數(shù)學(xué)模型課程是一門綜合性強(qiáng)、實(shí)踐要求高、與社會(huì)實(shí)際問題緊密聯(lián)系的應(yīng)用型課程.改革的目標(biāo)是以“用數(shù)學(xué)”為宗旨，以可視化教學(xué)為主要教學(xué)途徑，實(shí)施“問題驅(qū)動(dòng)”的研討式學(xué)習(xí)模式.整體過程大致可描述為：把每套案例看成一個(gè)具體的實(shí)際問題，作為一個(gè)學(xué)習(xí)單元，學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作，邊學(xué)邊查邊用，從基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)到結(jié)果輸出及應(yīng)用推廣，并形成一個(gè)小系統(tǒng)，最后撰寫出一篇小論文.本教學(xué)改革大力度地改變了傳統(tǒng)的教師講授為主、學(xué)生單獨(dú)被動(dòng)接受知識(shí)的局面，在多方面體現(xiàn)出改革的顯著成效.

1 可視化的概念

要把復(fù)雜而抽象的數(shù)學(xué)問題闡述清楚，便于數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生和非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的理解，引入圖形、圖像和序列圖形是一種不錯(cuò)的選擇.可視化教學(xué)是系統(tǒng)化利用圖形圖像輔助教學(xué)的新型教學(xué)手段，在國(guó)外已有較系統(tǒng)研究，在國(guó)內(nèi)，可視化教學(xué)雖然還有待完善，但在數(shù)學(xué)模型建立過程中，特別是數(shù)據(jù)處理、求解過程及結(jié)果分析中，化抽象為形象的可視化技術(shù)能起到顯著的教學(xué)效果.

可視化(Visualization)是利用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理技術(shù)，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成圖形或圖像在屏幕上顯示出來，并進(jìn)行交互處理的理論、方法和技術(shù)[1].可視化應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上的應(yīng)用較多的是科學(xué)計(jì)算可視化，最常見的是用多幅圖形來表現(xiàn)二維或三維復(fù)雜曲線曲面的特征，把計(jì)算的結(jié)果用圖形直觀地表現(xiàn)出來[2].另一方面的重要用途是把離散的雜亂數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖等方式描述出來，讓研究者可以更直觀地尋找數(shù)據(jù)內(nèi)部可能存在的規(guī)律性.可視化技術(shù)已成為研究數(shù)據(jù)表示、數(shù)據(jù)處理、決策分析和結(jié)果分析等一系列問題的綜合技術(shù)[3]，本文引入的可視化技術(shù)主要是其中的科學(xué)計(jì)算可視化.

科學(xué)計(jì)算可視化[1，4]是美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)在1987年的一份報(bào)告中正式提出的，科學(xué)計(jì)算可視化的基本含義是運(yùn)用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)或者一般圖形學(xué)的原理和方法，將科學(xué)與工程計(jì)算等產(chǎn)生的大規(guī)模數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖形、圖像，以直觀的形式表示出來.科學(xué)計(jì)算可視化在教學(xué)中的應(yīng)用，已有些學(xué)者作了探索和實(shí)踐[5-10]，本文把科學(xué)計(jì)算可視化引入到教學(xué)中，主要在數(shù)據(jù)分析和處理過程、數(shù)學(xué)模型的數(shù)值求解過程、模型結(jié)果的分析檢驗(yàn)過程中得到體現(xiàn).具體做法:

(1)做詳細(xì)的數(shù)據(jù)分析處理，在多媒體課堂上從多角度展現(xiàn)數(shù)據(jù)的離散特征.從數(shù)據(jù)特征結(jié)合機(jī)理分析，推演模型的建立過程.

(2)對(duì)優(yōu)化過程、微分方程數(shù)值求解過程、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程等復(fù)雜的過程，給出中間過程的序列圖形，彌補(bǔ)理論教學(xué)中無(wú)法直接展現(xiàn)的弊病.

(3)對(duì)優(yōu)化結(jié)果、方程的數(shù)值解和網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的泛化效果等進(jìn)行圖表分析，進(jìn)一步分析模型與實(shí)際問題的吻合程度.

2 教學(xué)模式框架的構(gòu)建

2.1 理論教學(xué)環(huán)節(jié)

對(duì)于每一套案例，理論教學(xué)環(huán)節(jié)是教學(xué)的基礎(chǔ)和先導(dǎo)，為了培養(yǎng)學(xué)生理解、分析和解決實(shí)際問題的能力，在講授時(shí)，需要詳細(xì)引入問題的背景，穿插該問題的更一般性、往往也是更復(fù)雜化的“一類”社會(huì)實(shí)際問題.這個(gè)環(huán)節(jié)主要分為以下三個(gè)部分.

2.1.1 案例的選取

由于整個(gè)教學(xué)課時(shí)有限，數(shù)學(xué)模型課程一般選取8到10個(gè)主講案例[11]，每個(gè)主案例都配上一個(gè)指定的輔助案例，由學(xué)生自學(xué)完成.案例的選擇依據(jù)主要是數(shù)學(xué)模型各知識(shí)點(diǎn)中的典型實(shí)例，并充分考慮知識(shí)點(diǎn)覆蓋面和模型的復(fù)雜程度.

2.1.2 可視化輔助問題分析和數(shù)據(jù)處理

從教材中遴選的大部分案例，是源自社會(huì)實(shí)際問題，教材對(duì)這些問題往往作了簡(jiǎn)化，特別是其數(shù)據(jù)，不但量少，且往往已被處理成理想化的數(shù)據(jù).在進(jìn)行問題分析時(shí)，要一定程度的回歸實(shí)際問題的原型，適當(dāng)擴(kuò)大樣本數(shù)據(jù)的規(guī)模和復(fù)雜性.同時(shí)，源于實(shí)際問題的數(shù)據(jù)內(nèi)往往蘊(yùn)含著某些規(guī)律性，數(shù)據(jù)處理的一個(gè)重要任務(wù)是刻畫出這些潛在的規(guī)律性.在理論課堂上需要做好兩方面教學(xué)工作：

(1)在合適的假設(shè)下，進(jìn)行嚴(yán)格的理論推演，也即機(jī)理分析.抓住問題的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行深入的機(jī)理分析.因?yàn)闄C(jī)理分析具有較強(qiáng)的理論推演，對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，課堂理解上存在較大困難，需要運(yùn)用可視化手段來輔助教學(xué).

(2)繪制樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.為了探究樣本數(shù)據(jù)可能表現(xiàn)出來的特征，基于合理的假設(shè)，選取若干量之間的關(guān)系，繪制散點(diǎn)圖.對(duì)于大部分案例，繪制散點(diǎn)圖是非常有必要的.比如，在講授“牙膏的銷售”案例[11]中，為了了解銷售量與售價(jià)、差價(jià)、廣告費(fèi)等究竟是什么樣的關(guān)系，可以把銷售量作為因變量，選其他一種或兩種量作為自變量，繪制多幅靜態(tài)的散點(diǎn)圖，來研究數(shù)據(jù)內(nèi)在可能存在的大致函數(shù)關(guān)系.本環(huán)節(jié)利用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)圖形展示并作深入分析.

2.1.3 模型的建立過程

本環(huán)節(jié)是理論課主講的中心內(nèi)容.與教學(xué)模式改革前相比，模型建立過程的講授得到了明顯加強(qiáng)，其他諸如知識(shí)點(diǎn)的理論證明、模型求解的各種方法介紹等，由于理論要求過高，適當(dāng)降低了要求，在實(shí)踐環(huán)節(jié)中則充分強(qiáng)調(diào)怎么編程實(shí)現(xiàn).為了把較抽象的模型建立過程講透，一方面需要引導(dǎo)學(xué)生查找學(xué)術(shù)文獻(xiàn)，并要在小論文中得到充分體現(xiàn)，另一方面要求學(xué)生在合理的分析過程中，借助已學(xué)的各種知識(shí)和參考相關(guān)專業(yè)知識(shí)一步步地進(jìn)行推演，每個(gè)公式都要有根有據(jù).我們?cè)趶?qiáng)調(diào)“用數(shù)學(xué)”的同時(shí)，不能丟掉數(shù)學(xué)的嚴(yán)密的邏輯性.

2.2 實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)

學(xué)生以3人一組形式進(jìn)行上機(jī)實(shí)踐，實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)要解決下列問題：

(1)每組至少1位學(xué)生負(fù)責(zé)搜索文獻(xiàn)、閱讀文獻(xiàn)，以尋求更好的模型參考.

(2)另兩位學(xué)生編程以求解模型，編程繪制序列圖以展示模型求解的中間過程.

(3)用圖形、表格和相應(yīng)文字來展示模型求解的結(jié)果，作比較、檢驗(yàn)及參數(shù)靈敏性分析等，并作撰寫小論文的準(zhǔn)備.

實(shí)踐環(huán)節(jié)中，教師的示范操作非常關(guān)鍵，示范操作的重點(diǎn)在于編程、中間過程圖形展示和結(jié)果分析等方面.教師要引導(dǎo)學(xué)生完成文獻(xiàn)查閱和編程，解決學(xué)生在上機(jī)實(shí)踐中遇到的各種問題，使學(xué)生能在實(shí)踐課堂內(nèi)完成主體程序，構(gòu)建整個(gè)小論文的框架，并在課外完成模型的具體求解.實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)是教學(xué)模式改革的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，重點(diǎn)強(qiáng)化圖形化過程，把科學(xué)計(jì)算可視化充分運(yùn)用到實(shí)踐環(huán)節(jié)中.

2.3 學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)研討環(huán)節(jié)

關(guān)于團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)的概念及其重要性,最先提出的學(xué)者是國(guó)際組織學(xué)習(xí)協(xié)會(huì)的創(chuàng)始人彼得圣吉(Peter M.Senge)，在他的《第五項(xiàng)修煉：學(xué)習(xí)型組織的藝術(shù)和實(shí)踐》中闡述了團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)的概念[12-13]，即團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)是發(fā)展團(tuán)隊(duì)成員整體搭配與實(shí)現(xiàn)共同目標(biāo)的能力的過程,它建立在發(fā)展共同意愿和自我超越的基礎(chǔ)之上.我們也可理解為，團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)是個(gè)體學(xué)習(xí)和協(xié)作學(xué)習(xí)的整合與升華，它可以發(fā)揮團(tuán)隊(duì)成員的集體智慧，使學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)換為現(xiàn)實(shí)的創(chuàng)造力[14].

陳國(guó)權(quán)[13]提出了組織團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)的九種行為和相應(yīng)的組織學(xué)習(xí)的九種能力：發(fā)現(xiàn)能力、發(fā)明能力、選擇能力、執(zhí)行能力、推廣能力、反思能力、獲取知識(shí)能力、輸出知識(shí)能力和建立知識(shí)庫(kù)能力.在本課程提倡的學(xué)生學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)研討過程中，這九種能力都在一定程度上得到鍛煉，特別是選擇能力、執(zhí)行能力、推廣能力、反思能力、知識(shí)的獲取和輸出能力得到顯著鍛煉.

學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)建設(shè)[15]是本課程教改的關(guān)鍵點(diǎn).由教師指定好要進(jìn)行研討的案例，規(guī)定好每次研討的重點(diǎn)和拓展點(diǎn)，并選好團(tuán)隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng).實(shí)際執(zhí)行時(shí)，共研討了5套案例的小論文.

2.3.1 學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)研討的具體實(shí)施方案

(1)全班以3人為一個(gè)小組，4個(gè)小組為一個(gè)大組組成3個(gè)大組.每小組設(shè)一個(gè)小組長(zhǎng)，每個(gè)大組由一個(gè)班委來當(dāng)大組長(zhǎng).

(2)研討時(shí)，每個(gè)大組在不同教室獨(dú)立開討論課，由大組長(zhǎng)主持，每組由小組長(zhǎng)安排該組同學(xué)上講臺(tái)陳述本組的論文主要內(nèi)容、模型結(jié)果和圖形展示.下面各組至少提出一個(gè)問題，由陳述者回答.大組長(zhǎng)還負(fù)責(zé)在討論情況記錄紙上記錄各組陳述情況和回答問題情況.

(3)教師隨機(jī)旁聽，并就研討中出現(xiàn)的問題進(jìn)行適當(dāng)干預(yù)，及時(shí)糾正，同時(shí)作好討論情況的記錄工作.

2.3.2 學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)研討所取得的效果分析

在研討活動(dòng)準(zhǔn)備階段，學(xué)生先查閱相當(dāng)數(shù)量的文獻(xiàn)，理解、吸收并進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化后，運(yùn)用到自己的案例學(xué)習(xí)中來.在汲取他人相關(guān)知識(shí)的過程中，慢慢形成自己的新想法新觀點(diǎn)，這使得提出有創(chuàng)新意義的新模型成為可能.此過程有利于學(xué)生獲取并積累新知識(shí)，逐步形成知識(shí)鏈，成為更好解決問題的理論基礎(chǔ).

在學(xué)生上講臺(tái)陳述自己的解題思路、觀點(diǎn)、方法和結(jié)果的過程中，非常高效地鍛煉了學(xué)生的表達(dá)能力和知識(shí)輸出能力，也鍛煉了其膽魄.在實(shí)踐中，學(xué)生經(jīng)歷了從開始時(shí)不愿上講臺(tái)，到躍躍欲試，到最后爭(zhēng)著上講臺(tái)的蛻變過程.在第三次研討活動(dòng)時(shí)，教師修改了研討規(guī)則，由原來每組至少講述8分鐘，改為每組至多講述20分鐘.

雖然學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)研討活動(dòng)是放在課堂外進(jìn)行，不占用正常上課時(shí)間，學(xué)生們依然非常自覺，沒有抵觸情緒.在整個(gè)過程中，只有3人次請(qǐng)假，無(wú)曠課記錄.這是非常難得的，說明學(xué)生確實(shí)是自己有了興趣，有了主動(dòng)意識(shí).

2.4 交叉評(píng)閱和考核環(huán)節(jié)

由于三人合作完成各個(gè)環(huán)節(jié)，難免出現(xiàn)個(gè)別學(xué)生不夠努力，指望本組其他成員來完成小論文和討論過程的現(xiàn)象.這種現(xiàn)象我們稱其為“搭便車”現(xiàn)象.為有效杜絕或減少學(xué)生搭便車現(xiàn)象，一方面實(shí)行兩組配對(duì)，結(jié)成互評(píng)小組，實(shí)行交叉評(píng)閱，并對(duì)評(píng)閱要求和評(píng)閱規(guī)范作了詳細(xì)規(guī)定，在對(duì)比中找差距、找新思路，同時(shí)也起到互相監(jiān)督作用；另一方面考核中實(shí)行“差異性”考核，即根據(jù)整組的各項(xiàng)表現(xiàn)情況，教師給出整組的總分，由小組長(zhǎng)來分配給組內(nèi)的三人，要求盡量體現(xiàn)分?jǐn)?shù)差異.該措施把一部分權(quán)力下放給小組長(zhǎng)，有利于激發(fā)團(tuán)隊(duì)協(xié)作性能，并收到良好效果.

本課程的整體考核為：小論文成績(jī)占30%，學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)研討成績(jī)占30%，交叉評(píng)閱成績(jī)占10%，期末理論考試成績(jī)占30%.

3 課改效果

相比于改革前，學(xué)生主動(dòng)參與的程度大大提高.學(xué)生在完成理論課和實(shí)踐課的課堂學(xué)習(xí)外，還要在課外完成撰寫八篇以上符合要求的小論文，并在課外時(shí)間進(jìn)行六次以上討論課.同時(shí)，教師的壓力也大大提升.教師要準(zhǔn)備好每套案例的各個(gè)環(huán)節(jié)，及時(shí)記錄討論課情況和書寫教改日志，還要批閱大量的小論文、引導(dǎo)學(xué)生尋求建立更好的數(shù)學(xué)模型，并建立可視化圖形庫(kù).

在臨近教改項(xiàng)目結(jié)題時(shí)，教師設(shè)計(jì)了《數(shù)學(xué)模型課程學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)學(xué)生問卷調(diào)查表》，調(diào)查結(jié)果較好地反映出學(xué)生學(xué)習(xí)和討論情況.簡(jiǎn)要總結(jié)如下:

(1)92%以上的學(xué)生認(rèn)為，此項(xiàng)目對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力、提高創(chuàng)新意識(shí)和對(duì)學(xué)生能力要求上是有利的、積極的.82%以上的學(xué)生感覺題目偏難，小論文數(shù)量和質(zhì)量要求偏高，但還能接受.

(2)28%左右的學(xué)生常常課外討論，36%的學(xué)生小論文是組內(nèi)輪流撰寫完成的，47%的學(xué)生由組長(zhǎng)分配任務(wù)寫論文，50%的學(xué)生是通過上網(wǎng)找資料來整合論文的.

(3)11%的學(xué)生查閱大量文獻(xiàn)，51%的學(xué)生查閱3篇以上文獻(xiàn)，30%基本沒找文獻(xiàn)，而只有8%以復(fù)制為主.

(4)72%的學(xué)生每套案例需要花費(fèi)7小時(shí)以上的時(shí)間，22%學(xué)生每套案例花費(fèi)3小時(shí)左右.只有5%的學(xué)生不怎么花時(shí)間.

(5)在交叉評(píng)閱環(huán)節(jié)，約1/3的組由單人看論文進(jìn)行評(píng)閱，1/3的組3人全看論文.52%的學(xué)生覺得交叉評(píng)閱有意義，而39%的學(xué)生覺得交叉評(píng)閱是種形式，9%的學(xué)生覺得交叉評(píng)閱沒有用.

(6)61%的學(xué)生對(duì)上臺(tái)討論作了較好的準(zhǔn)備，13.8%的學(xué)生基本不準(zhǔn)備，95%的學(xué)生比較關(guān)注同學(xué)的臺(tái)上講評(píng)，但基本提不出問題或不大去想提問題.

(7)組隊(duì)方面，17%感覺組隊(duì)良好，58%的學(xué)生組隊(duì)問題不大，25%的組隊(duì)有些問題，但也還能勉強(qiáng)維持.

這份調(diào)查問卷比較真實(shí)地反映出了教改情況，絕大多數(shù)學(xué)生在相對(duì)高的要求下，比較認(rèn)真地學(xué)習(xí)，也對(duì)此次學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目給予較大的支持，極少數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度有待提高.從調(diào)查結(jié)果分析看，此項(xiàng)目的可行性得到了證實(shí)，效果應(yīng)該比較好，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)也得到較大的提高.

在新的培養(yǎng)方案下，因?yàn)樵撜n程只有一個(gè)專業(yè)開設(shè)，所以未實(shí)施對(duì)比式問卷調(diào)查,以后條件允許可以先進(jìn)行對(duì)比性試驗(yàn),由此得到的問卷調(diào)查數(shù)據(jù),將會(huì)更令人信服.盡管如此，但從筆者近幾年授課經(jīng)歷看，在新的教學(xué)模式下，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、團(tuán)隊(duì)協(xié)作學(xué)習(xí)能力和查閱文獻(xiàn)能力都得到顯著鍛煉和提高.

4 案例中科學(xué)計(jì)算可視化展示

4.1 相關(guān)性可視化

許多實(shí)際問題，都要用統(tǒng)計(jì)的方法來分析兩個(gè)因素之間的相關(guān)性.相關(guān)性是刻畫兩個(gè)因素之間存在相互聯(lián)系的程度，其數(shù)值稱為相關(guān)度.一個(gè)簡(jiǎn)單的理解就是一個(gè)變量在多大程度上隨著另一個(gè)變量的變化而變化.相關(guān)性是一個(gè)基本概念，學(xué)生一學(xué)就懂，但卻很難深入理解.

利用可視化技術(shù)，可以很直觀地表現(xiàn)兩個(gè)因素之間的關(guān)聯(lián)程度.圖1給出了解釋“相關(guān)性”概念的一系列對(duì)比圖.

圖1 解釋兩個(gè)因素相關(guān)度為-1到1的散點(diǎn)圖

圖1中，每個(gè)子圖的兩組屬性X,Y都具有50個(gè)屬性值，這些屬性值服從均勻分布并隨機(jī)產(chǎn)生，使得X和Y的相關(guān)度從-1到1，相鄰子圖的相關(guān)度相差0.1.圖1中每個(gè)小圓圈代表50對(duì)屬性中的一對(duì)，其x坐標(biāo)是屬性X的一個(gè)屬性的值，y坐標(biāo)是屬性Y的對(duì)應(yīng)屬性的值.

子圖下面的相關(guān)度的值用來刻畫本子圖中屬性X與屬性Y的相關(guān)性.以圖1第一行最右邊的“相關(guān)度-0.4”的子圖為例，縱坐標(biāo)(因?yàn)閳D較小，不宜作坐標(biāo)軸標(biāo)記)總體上隨著橫坐標(biāo)的增大而變小，它們是負(fù)相關(guān)的，但關(guān)聯(lián)性不是很強(qiáng).相關(guān)度為-1或1的，表示兩者關(guān)聯(lián)性最強(qiáng).第二行正中間的“關(guān)聯(lián)度0”的子圖，兩屬性呈現(xiàn)出完全不相關(guān)的狀態(tài).

通過類似的例子，使學(xué)生從定性理解轉(zhuǎn)換為定量分析上來，從字面理解轉(zhuǎn)化為具體生動(dòng)的圖形表現(xiàn)來輔助理解，大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對(duì)抽象概念的理解.

4.2 優(yōu)化過程的可視化

下面再以一個(gè)非線性最優(yōu)化模型為例，來看看模型求解過程的可視化.

建立的非線性整數(shù)規(guī)劃模型如下:

在不考慮整數(shù)條件下，其求解結(jié)果為:x1=6.08，x2=0.41,zmin=215.50.這個(gè)結(jié)果是在不考慮整數(shù)條件下的最優(yōu)解，并且可能與求解時(shí)所給的初始值有關(guān).對(duì)于非線性規(guī)劃，所得到的解有可能只是局部最優(yōu)解，并且要通過嚴(yán)格的理論證明一個(gè)解是全局最優(yōu)解是很難實(shí)現(xiàn)的，這是模型求解過程中經(jīng)常遇到的難題.怎么才能避開嚴(yán)格理論證明又能準(zhǔn)確判斷一個(gè)解是否為局部最優(yōu)解呢？運(yùn)用可視化技術(shù)遠(yuǎn)比用文字表述來得有說服力.我們可以放寬約束來繪制曲面圖，見圖2.

圖2 目標(biāo)函數(shù)在決策變量上下界內(nèi)的曲面圖

從圖2可以看出，在決策變量的上下界[-10,20]內(nèi)，曲面的極小值點(diǎn)只會(huì)落在一個(gè)凹形區(qū)域內(nèi)，可以直觀、不嚴(yán)格地得出結(jié)論：上面的最優(yōu)解是全局最優(yōu)解.

下面我們來解決整數(shù)約束問題.觀察圖2，并根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的性狀，可以得出，整數(shù)下的最優(yōu)解應(yīng)該在點(diǎn)(6.08,0.41)附近.顯然，與此點(diǎn)相鄰的整數(shù)點(diǎn)有四個(gè)點(diǎn):(6,0),(6,1),(7,0),(7,1)，見圖3.

圖3 整數(shù)最優(yōu)解落在連續(xù)最優(yōu)解的四周：視角為(-45，45)

圖3是從視角(-45，45)方向看這5個(gè)點(diǎn)的結(jié)果.“*”標(biāo)記的點(diǎn)為無(wú)整數(shù)條件下的連續(xù)最優(yōu)解(6.08,0.41,215.50).“·”標(biāo)記的3個(gè)點(diǎn)，為符合約束條件的3個(gè)點(diǎn)，分別為：(6,0,216),(7,0,343),(7,1,318)，“o”標(biāo)記的點(diǎn)為不符合約束條件的點(diǎn)(6,1,195).從圖3中可以清楚看到，(6,0,216)恰好落在可行域的邊緣.

為了讓學(xué)生看得更清楚，我們可以對(duì)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，即調(diào)整視角，來選擇較佳的觀察角度，見圖4.

圖4 整數(shù)最優(yōu)解落在連續(xù)最優(yōu)解的四周：視角為(20，30)

圖4是從視角(20，30)方向看這5個(gè)點(diǎn)的結(jié)果.可以清晰地看到點(diǎn)(6,1,195)落在可行區(qū)域外，其z值比其他點(diǎn)都小，但不是最優(yōu)值.

綜上可得，在課堂上，利用數(shù)學(xué)軟件把尋找最優(yōu)解的過程動(dòng)態(tài)形象的展現(xiàn)出來，配以較為抽象的數(shù)學(xué)理論解說，大部分學(xué)生容易當(dāng)場(chǎng)接受.實(shí)踐表明，課堂氣氛活躍，學(xué)生興趣大大提高.

5 結(jié)論

此次數(shù)學(xué)模型課程改革中，把科學(xué)計(jì)算可視化引入到教學(xué)中來，并進(jìn)行了大膽而深入的課堂實(shí)踐，取得較理想的效果，其可行性在于本課程的案例往往都是較復(fù)雜的實(shí)際問題，數(shù)據(jù)處理、求解過程和結(jié)果的圖形展示都是極為必要的環(huán)節(jié)，而相關(guān)軟件能較為方便地提供這些展示功能.在改革實(shí)踐中，教師并沒有遇到難以解決的技術(shù)問題，授課情況良好，而學(xué)生更形象深入地接受了知識(shí)并運(yùn)用到實(shí)踐中去.學(xué)生團(tuán)隊(duì)研討式學(xué)習(xí)是一個(gè)新的嘗試，可以清楚看到，學(xué)生能動(dòng)起來，確實(shí)也動(dòng)了起來.學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作學(xué)習(xí)能力都得到實(shí)踐鍛煉.

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