楊 倫，樓文娟，潘小濤

浙江大學(xué)結(jié)構(gòu)工程研究所，杭州310058

舞動是輸電導(dǎo)線在惡劣風(fēng)雨雪冰凍氣候條件下產(chǎn)生的大幅低頻振動，會對輸電塔線造成構(gòu)件及電氣方面的損壞，危害電網(wǎng)的安全和電力的正常供應(yīng)［1-2］.

自Den Hartog［3］和Nigol 等［4］分別提出豎向和扭轉(zhuǎn)舞動機(jī)理以來，不少學(xué)者針對覆冰導(dǎo)線提出了各種二自由度［5-6］和三自由度耦合舞動質(zhì)點(diǎn)模型［7-8］，并采用攝動法、多尺度法等近似解析的方式求解了舞動響應(yīng). 然而鑒于質(zhì)點(diǎn)舞動模型無法考慮導(dǎo)線大幅振動所致的幾何非線性效應(yīng)，Luongo［9］、Liu［10］和Yan［11］等建立了二維或三維連續(xù)體耦合非線性模型，并針對導(dǎo)線在初始條件下的舞動穩(wěn)定性、分岔特征以及內(nèi)共振模式展開了一系列的定性分析. 值得注意的是，以上連續(xù)體舞動模型仍然過于簡化，忽略了實(shí)際大氣環(huán)境下線路不均勻覆冰、幾何剛度時變特征、不同階振型之間的耦合效應(yīng)以及不同檔距導(dǎo)線之間的相互作用等因素的影響，不能有效反映輸電線路舞動響應(yīng)的動態(tài)物理特征. 為此，Desai 等［12］針對覆冰導(dǎo)線舞動的非線性特征，提出了三節(jié)點(diǎn)拋物線索單元，并建立了用于單導(dǎo)線舞動分析的非線性有限元法. 與商業(yè)有限元軟件提供的索單元不同的是，Desai 提出的索單元具有扭轉(zhuǎn)自由度，同時能考慮偏心覆冰對舞動的影響. 李黎等［13］利用具有扭轉(zhuǎn)自由度的二節(jié)點(diǎn)索單元，并通過將分裂導(dǎo)線等效為單導(dǎo)線的方式，建立了連續(xù)多檔距覆冰導(dǎo)線有限元模型. 然而有關(guān)研究表明，將分裂導(dǎo)線等效為單根導(dǎo)線無法考慮子導(dǎo)線之間的尾流干擾效應(yīng)，從而導(dǎo)致得出的舞動幅值偏?。?4］. 因此，劉小會等［15］基于Desai 提出的三節(jié)點(diǎn)拋物線索單元，采用對索節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)自由度擴(kuò)充為3 個方向上轉(zhuǎn)動自由度的方式，建立了能夠?qū)Ω髯訉?dǎo)線施加不同氣動荷載，且考慮間隔棒與子導(dǎo)線運(yùn)動耦合效應(yīng)的分裂導(dǎo)線有限元模型.

值得注意的是，覆冰分裂導(dǎo)線的扭轉(zhuǎn)剛度遠(yuǎn)大于單導(dǎo)線，致使兩者在起舞機(jī)理方面有著顯著差別. 為此，本研究基于完全拉格朗日格式(Total Lagrange)，建立適用于單導(dǎo)線和分裂導(dǎo)線舞動數(shù)值模擬的非線性有限元動力分析方法，采用具有扭轉(zhuǎn)自由度的三節(jié)點(diǎn)拋物線索單元離散覆冰單導(dǎo)線. 對于覆冰分裂導(dǎo)線，在單導(dǎo)線有限元法的基礎(chǔ)上，利用歐拉梁單元模擬間隔棒的運(yùn)動過程. 為盡可能地提高計算效率，提出梁單元轉(zhuǎn)動自由度縮聚法實(shí)現(xiàn)間隔棒與分裂子導(dǎo)線之間的耦合，并運(yùn)用隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法求解舞動過程中的梁節(jié)點(diǎn)不平衡力. 在此基礎(chǔ)上，結(jié)合覆冰導(dǎo)線氣動力系數(shù)的風(fēng)洞試驗結(jié)果，分別考察覆冰單導(dǎo)線和四分裂導(dǎo)線在湍流和均勻流場中的起舞機(jī)理和舞動響應(yīng)特征之異同.

1 覆冰導(dǎo)線有限元法

1.1 單導(dǎo)線的動力平衡方程和氣動荷載

基于完全拉格朗日格式，具有扭轉(zhuǎn)自由度的三節(jié)點(diǎn)拋物線索單元描述導(dǎo)線單元的非線性動力平衡方程［12］為

如圖1 所示，作用于覆冰導(dǎo)線某截面的氣動荷載可表示為

其中，F(xiàn)x、Fy和M 分別為x 向、y 向和扭轉(zhuǎn)向的節(jié)點(diǎn)氣動荷載;ρa(bǔ)ir為空氣密度;D 為導(dǎo)線直徑;Uz為來流風(fēng)速;CL、CD和CM分別是導(dǎo)線截面的升力系數(shù)、阻力系數(shù)和扭轉(zhuǎn)系數(shù)，與導(dǎo)線覆冰形狀和風(fēng)對導(dǎo)線的攻角α 有關(guān)，

其中，˙y 為豎向運(yùn)動速度;β 和θ 分別為初始風(fēng)攻角和t 時刻導(dǎo)線的扭轉(zhuǎn)角. 式(6)右第3 和第4 項分別代表導(dǎo)線豎向和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動速度對總風(fēng)攻角的影響.

圖1 覆冰導(dǎo)線截面風(fēng)攻角及受力Fig.1 Attack angle and aerodynamic force of iced conductor

1.2 覆冰分裂導(dǎo)線有限元模型

分裂導(dǎo)線由多根單導(dǎo)線和間隔棒共同組成. 間隔棒的作用在于保持子導(dǎo)線間距，防止子導(dǎo)線之間由于電磁吸引以及風(fēng)力而引發(fā)的相互靠近和碰撞鞭擊. 同時，受間隔棒約束作用的影響，分裂導(dǎo)線舞動時表現(xiàn)為顯著的整體運(yùn)動. 因此從數(shù)值模擬的角度來看，只需對按照一定規(guī)律排列的多根子導(dǎo)線構(gòu)成的振動系統(tǒng)中加入模擬間隔棒的梁單元即可. 這一過程中首先需要解決的是如何高效、可靠地實(shí)現(xiàn)分裂子導(dǎo)線與間隔棒的連接. 另外，分裂導(dǎo)線發(fā)生舞動時間隔棒的運(yùn)動表現(xiàn)出典型的大轉(zhuǎn)動、小應(yīng)變特征，精確求解間隔棒在運(yùn)動過程中的單元不平衡抗力向量，是保證舞動計算收斂性的關(guān)鍵. 本研究分別采用梁單元轉(zhuǎn)動自由度縮聚和隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法［16］，實(shí)現(xiàn)子導(dǎo)線與間隔棒的連接，并求解梁單元節(jié)點(diǎn)的不平衡抗力向量.

1.2.1 分裂子導(dǎo)線與間隔棒的連接

分裂導(dǎo)線由單導(dǎo)線和間隔棒組成，其有限元模型如圖2 所示. 各子導(dǎo)線之間通過由歐拉梁單元模擬的間隔棒相連，其中梁單元節(jié)點(diǎn)有3 個平動自由度及3 個扭轉(zhuǎn)自由度，子導(dǎo)線單元節(jié)點(diǎn)有3 個平動自由度和1 個轉(zhuǎn)動自由度.

圖2 分裂導(dǎo)線有限元模型Fig.2 Finite element model of bundled conductors

針對分裂子導(dǎo)線與間隔棒的連接問題，文獻(xiàn)［15］提出一種對索單元節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)自由度擴(kuò)張的方式來模擬子導(dǎo)線與間隔棒的連接. 即在間隔棒與子導(dǎo)線的交點(diǎn)處，將索節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)自由度投影至梁節(jié)點(diǎn)3個方向的轉(zhuǎn)動自由度上，交點(diǎn)處索節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)由4 個增加至6 個. 采用該連接方式會在一定程度上增加整個系統(tǒng)的自由度數(shù)，從而影響求解效率.

為盡可能地減小計算量，提高舞動分析效率，本研究采用對梁節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)自由度縮聚的方法實(shí)現(xiàn)梁單元節(jié)點(diǎn)與索單元節(jié)點(diǎn)的耦合. 在間隔棒與子導(dǎo)線的連接處，保持索單元節(jié)點(diǎn)的4 個自由度不變，將梁單元節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系下的3 個轉(zhuǎn)動自由度縮聚為1 個沿索單元軸線方向的扭轉(zhuǎn)自由度. 以導(dǎo)線初始構(gòu)型為參考構(gòu)型，t 時刻梁單元在整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移向量可表示為

圖3 分裂子導(dǎo)線與間隔棒的連接Fig.3 Connection between sub-conductor and space rod

1.2.2 梁單元節(jié)點(diǎn)抗力的計算

分裂導(dǎo)線舞動過程中，間隔棒的節(jié)點(diǎn)位移可分解為剛體運(yùn)動和單元變形兩部分. 傳統(tǒng)的完全拉格朗日列式法僅適用于轉(zhuǎn)動較小的情形，轉(zhuǎn)動位移較大時無法有效分離單元的剛體轉(zhuǎn)動和單元變形，導(dǎo)致在結(jié)構(gòu)非線性增量求解過程中無法精確計算由于純變形產(chǎn)生的單元抗力. 為此，本研究運(yùn)用隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系方法［16］解決問題. 如圖4，選定t = 0 時刻梁單元構(gòu)型所在的局部坐標(biāo)系為初始坐標(biāo)系，則t 時刻梁單元節(jié)點(diǎn)在初始坐標(biāo)系下的位移向量可表示為

圖4 梁單元不同時刻的構(gòu)型Fig.4 Configurations of beam element at different time

在初始局部坐標(biāo)系下梁單元兩端平動位移增量可表示為

由于梁單元在運(yùn)動過程中變形較小，因此在t 時刻的弦長Lt可表示為

則梁單元的伸長量ΔLt為

如圖5，將梁單元在t 時刻局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)移至初始時刻局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)動剛體位移可用梁端位移平動位移增量和扭轉(zhuǎn)角表示為

梁節(jié)點(diǎn)在t 時刻局部坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)動變形位移為

將梁單元在局部坐標(biāo)系下的單元抗力轉(zhuǎn)換至整體坐標(biāo)系下，并進(jìn)行自由度縮聚，可得梁單元在整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)抗力為

圖5 梁單元轉(zhuǎn)動剛體位移Fig.5 Rigid rotational displacement of beam element

1.3 非線性動力方程的求解

求得表征子導(dǎo)線和間隔棒舞動特性的單元矩陣和荷載向量后，便可根據(jù)單元定位向量獲得單導(dǎo)線或者分裂導(dǎo)線系統(tǒng)的非線性運(yùn)動方程. 本研究采用無條件穩(wěn)定的Newmark 法對方程直接積分求解，并運(yùn)用Newton-Raphson 法對每個時間步末尾的位移向量進(jìn)行迭代求解. Newmark 法采用平均加速度方案，即積分精度參數(shù)α 和穩(wěn)定性參數(shù)β 分別取0.25和0.5. 那么t 至t +Δt 過程中，基于完全拉格朗日格式的遞推迭代公式可表示為［18］

2 有限元算例驗證

為驗證本研究計算分裂導(dǎo)線方法的有效性，以某工程的單跨四分裂導(dǎo)線為例，采用本研究方法和ANSYS 有限元軟件求解導(dǎo)線舞動響應(yīng). 分裂導(dǎo)線等間距設(shè)置5 組間隔棒，子導(dǎo)線物理參數(shù)如表1.

表1 覆冰導(dǎo)線物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of iced conductor

ANSYS 模型中分別采用Link 10 單元和Beam 4單元離散子導(dǎo)線和間隔棒. 由于分裂導(dǎo)線的整體抗扭剛度比子導(dǎo)線繞自身軸的抗扭剛度大得多，因此在ANSYS 模型中不考慮子導(dǎo)線的抗扭剛度. 本研究計算模型中，每根子導(dǎo)線劃分20 個三節(jié)點(diǎn)拋物線索單元. 鑒于Link 10 單元是2 節(jié)點(diǎn)單元，為保證兩種方法的節(jié)點(diǎn)數(shù)量保持一致，ANSYS 計算模型中每根子導(dǎo)線劃分40 個單元.

分別在每根子導(dǎo)線跨中節(jié)點(diǎn)上同時施加400 N、400 N 和40 N·m 的垂直、水平和扭轉(zhuǎn)向突加荷載.經(jīng)計算，兩種方法所得的子導(dǎo)線跨中位移時間歷程如圖6. 不難看出，兩種方法得出的計算結(jié)果吻合很好，說明本算法可靠有效.

圖6 子導(dǎo)線跨中位移時程Fig.6 Time histories of displacement of sub-conductor at the mid-span

3 覆冰導(dǎo)線舞動數(shù)值模擬

3.1 覆冰導(dǎo)線氣動力

以新月形覆冰為例，制作1∶1 四分裂導(dǎo)線節(jié)段模型，模型長度為1.0 m. 鑒于舞動發(fā)生時的風(fēng)速大多低于20 m/s，本研究試驗風(fēng)速取為15 m/s. 利用高頻動態(tài)測力天平，考察導(dǎo)線在均勻流和6%均勻湍流場下新月形覆冰四分裂導(dǎo)線整體氣動三分力系數(shù)隨攻角的變化規(guī)律(如圖7).

圖7 覆冰導(dǎo)線氣動三分力系數(shù)隨風(fēng)攻角的變化規(guī)律Fig.7 Aerodynamic coefficients of iced conductor versus wind attack angle

由于Den Hartog 系數(shù)和Nigol 系數(shù)分別體現(xiàn)了覆冰導(dǎo)線的豎向和扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定性，因此結(jié)合氣動力測試結(jié)果，給出了以上2 類系數(shù)隨初始攻角的變化規(guī)律(如圖8). 不難看出，初始攻角落在25°和175°附近時兩類系數(shù)均小于零，說明在此情形下導(dǎo)線極有可能喪失穩(wěn)定性.

3.2 覆冰導(dǎo)線舞動響應(yīng)分析

以表1 導(dǎo)線參數(shù)為例，采用本研究提出的有限元法，分別對單根和四分裂導(dǎo)線在均勻流和湍流條件下進(jìn)行舞動分析. 結(jié)合圖8 給出的不穩(wěn)定攻角范圍，選取25°和175°為初始風(fēng)攻角. 鑒于舞動屬于典型的自激振動，主要與平均風(fēng)荷載有關(guān)，計算風(fēng)速取為13 m/s. 另外，為保證算法的收斂性，舞動計算的時間步長取為0.01 s.

3.2.1 覆冰單導(dǎo)線舞動響應(yīng)分析

圖9 為25°攻角下覆冰單導(dǎo)線在2 類流場下的跨中舞動響應(yīng). 初始風(fēng)攻角為25°時，無論在湍流還是均勻流作用下，單導(dǎo)線在垂直方向上均保持穩(wěn)定. 但在這2 種流場中未發(fā)生舞動的原因有著本質(zhì)區(qū)別:在湍流場中，雖然Den Hartog 系數(shù)和Nigol系數(shù)均為負(fù)，但是單導(dǎo)線的抗扭剛度很小，在扭轉(zhuǎn)系不穩(wěn)定攻角范圍內(nèi)，單導(dǎo)線會發(fā)生振幅較大的扭轉(zhuǎn)舞動，使動態(tài)攻角極易脫離Den Hartog 系數(shù)小于零的區(qū)域，所以其豎向振動幅值很小，可認(rèn)為保持穩(wěn)定;而流場為均勻流時，Den Hartog 系數(shù)和Nigol系數(shù)均為正，因此覆冰單導(dǎo)線并未發(fā)生舞動.

圖8 覆冰導(dǎo)線的Den Hartog 系數(shù)和Nigol 系數(shù)Fig.8 Nigol coefficient of iced conductor

圖9 25°風(fēng)攻角下單導(dǎo)線在兩類流場中的跨中舞動響應(yīng)Fig.9 Galloping responses of mid-point of single conductor with attack angle of 25° in two types of flow field

圖10 給出當(dāng)風(fēng)向改變、使初始風(fēng)攻角變?yōu)?75°時的導(dǎo)線舞動響應(yīng). 可見，湍流作用下覆冰單導(dǎo)線僅發(fā)生了大振幅的扭轉(zhuǎn)舞動，其機(jī)理與湍流場中25°初始風(fēng)攻角下的舞動機(jī)制相同. 當(dāng)流場為均勻流時，Nigol 系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎鳧en Hartog 系數(shù)為負(fù)，因此單導(dǎo)線發(fā)生了振幅較大的豎向舞動. 從圖9 (b)和圖10 (b)均不難發(fā)現(xiàn)，單導(dǎo)線扭轉(zhuǎn)舞動的特征頻率更高.

圖10 175°風(fēng)攻角下單導(dǎo)線在兩類流場中的跨中舞動響應(yīng)Fig.10 Galloping responses of mid-point of single conductor with attack angle of 175° in two types of flow field

3.2.2 覆冰四分裂導(dǎo)線舞動響應(yīng)分析

圖11 為25°初始攻角下四分裂導(dǎo)線在兩類流場中的跨中舞動響應(yīng). 由于分裂導(dǎo)線的扭轉(zhuǎn)剛度較大，因此在湍流場中即使初始攻角落入Nigol 系數(shù)的不穩(wěn)定區(qū)域，其扭轉(zhuǎn)向僅發(fā)生了小幅振動. 在此情形下，Den Hartog 系數(shù)起主導(dǎo)作用，所以分裂導(dǎo)線發(fā)生了顯著的豎向舞動. 流場為均勻流時，Den Hartog 系數(shù)和Nigol 系數(shù)均大于零，因此分裂導(dǎo)線豎向和扭轉(zhuǎn)向均保持穩(wěn)定.

圖11 25°風(fēng)攻角下分裂導(dǎo)線子導(dǎo)線在兩類流場中的跨中舞動響應(yīng)Fig.11 Galloping responses of mid-point of sub-conductor with attack angle of 25° in two types of flow field

圖12 175°風(fēng)攻角下分裂導(dǎo)線子導(dǎo)線在兩類流場中的跨中舞動響應(yīng)Fig.12 Galloping responses of mid-point of sub-conductor with attack angle of 175° in two types of flow field

圖12 給出175°攻角下分裂導(dǎo)線的舞動響應(yīng).結(jié)合圖8 不難看出，在湍流場中，雖然Nigol 系數(shù)為負(fù)，但由于分裂導(dǎo)線的抗扭剛度較大且Den Hartog 系數(shù)大于零，導(dǎo)線并未舞動.然而在均勻流場中，Den Hartog 系數(shù)變?yōu)樨?fù)值，因此分裂導(dǎo)線發(fā)生了振幅較大的豎向舞動. 同時，受豎向舞動的激勵作用，分裂導(dǎo)線在扭轉(zhuǎn)向發(fā)生了振幅較小的受迫振動.

結(jié) 語

基于完全拉格朗日格式，采用具有扭轉(zhuǎn)自由度的三節(jié)點(diǎn)拋物線索單元和歐拉梁單元，分別模擬導(dǎo)線和間隔棒，提出了梁節(jié)點(diǎn)自由度縮聚法，實(shí)現(xiàn)了子導(dǎo)線和間隔棒的連接，建立了適用于單導(dǎo)線和分裂導(dǎo)線舞動分析的非線性有限元法. 結(jié)合覆冰導(dǎo)線在湍流場和均勻流場中的氣動力測試結(jié)果，求解了新月形覆冰單導(dǎo)線和四分裂導(dǎo)線的舞動響應(yīng)，并揭示了單導(dǎo)線和分裂導(dǎo)線在不同流場中的起舞機(jī)理.研究表明:由于單導(dǎo)線抗扭剛度較小，在Nigol 系數(shù)為負(fù)的情況下會發(fā)生大幅扭轉(zhuǎn)舞動，所以動態(tài)攻角極易脫離升力系數(shù)的不穩(wěn)定區(qū)域，保證了單導(dǎo)線的豎向穩(wěn)定性;對于抗扭剛度較大的分裂導(dǎo)線來說，其氣動穩(wěn)定性主要受升力系數(shù)的特征控制，即使在Den Hartog 系數(shù)和Nigol 系數(shù)均為負(fù)的情況下，仍易發(fā)生大幅的豎向舞動. 下一步筆者將基于D 形覆冰四、六、八分裂導(dǎo)線子導(dǎo)線氣動力測試結(jié)果，對各子導(dǎo)線施加不同的氣動荷載，運(yùn)用本文給出的非線性有限元算法，細(xì)致考察子導(dǎo)線間氣流干擾效應(yīng)對分裂導(dǎo)線舞動特征的影響.

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