許旺明

（三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌 443002）

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多新方法來進(jìn)行信號(hào)處理.值得注意的是四元數(shù)傅里葉變換這一工具得到了廣泛的研究和應(yīng)用.在文獻(xiàn)［1］中，作者成功地將四元數(shù)傅里葉變換運(yùn)用于二維線性時(shí)不變系統(tǒng).在文獻(xiàn)［2－4］中，作者將四元數(shù)傅里葉變換運(yùn)用于彩色圖像分析.在文獻(xiàn)［5－6］中，與四元數(shù)傅里葉變換有關(guān)的四元數(shù)校正技術(shù)得到很大的發(fā)展.除此之外，四元數(shù)傅里葉變換還被應(yīng)用于二維解析信號(hào)［7］，圖像水?。?－9］等.由此可以看出，四元數(shù)傅里葉變換已經(jīng)成為信號(hào)處理的有力工具.

由于四元數(shù)傅里葉變換具有廣泛的應(yīng)用背景，許多學(xué)者對(duì)四元數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)進(jìn)行了研究.然而，四元數(shù)乘法的非交換性導(dǎo)致四元數(shù)傅里葉變換具有3種不同的定義方式，即右邊四元數(shù)傅里葉變換，雙邊四元數(shù)傅里葉變換，以及左邊四元數(shù)傅里葉變換.在文獻(xiàn)［7］中，Bülow 及其合作者給出了一些雙邊四元數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)并據(jù)此引進(jìn)了二維超復(fù)信號(hào).在文獻(xiàn)［10］中，Bahri及其合作者研究了右邊四元數(shù)傅里葉變換，給出了許多右邊四元數(shù)傅里葉變換的重要性質(zhì).作者證明了右邊四元數(shù)傅里葉變換將實(shí)信號(hào)分解成具有不同對(duì)稱性的4個(gè)部分.

在本文中，將首先給出文獻(xiàn)［7］第5 節(jié)的定理1的另一證明，并利用此結(jié)果證明雙邊四元數(shù)傅里葉變換也可將二維實(shí)信號(hào)分解成具有不同對(duì)稱性的4個(gè)部分.

1 雙邊四元數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)

為了更清楚地理解雙邊四元數(shù)傅里葉變換，首先回顧一下四元數(shù)的概念.四元數(shù)集是一個(gè)定義了乘法法則的集合H＝｛a＋ib＋jc＋kd｜a，b，c，d∈R｝，該乘法法則定義如下：

定義函數(shù)f∈L2（R2；H）的雙邊四元數(shù)傅里葉變換Fqf 為

其中，x＝（x1，x2），u＝（u1，u2）∈R2.需要指出的是，一般情況下，（1）中的等號(hào)是在L2（R2；H）范數(shù)意義成立，而不是在點(diǎn)態(tài)意義下幾乎處處成立，但在本文中，總是假設(shè)∫R2｜f（x）｜2d2x 存在，即式（1）中的等號(hào)也可視為在點(diǎn)態(tài)意義下幾乎處處成立.該變換是可逆的，它的逆變換由下面式子給出：

與實(shí)函數(shù)f 的傅里葉變換具有埃爾米特對(duì)稱性類似，雙邊四元數(shù)傅里葉變換具有下列性質(zhì).

定理1 一個(gè)二維實(shí)函數(shù)f 的雙邊四元數(shù)傅里葉變換Fq具有四元埃爾米特性.

證明：僅僅需要證明（Fqf）（－u1，u2）＝αj（（Fqf）（u1，u2））其余情況類似可得.注意到－jij＝－i并且f 是實(shí)的，有：

證畢.

一個(gè)實(shí)函數(shù)的傅里葉變換可以分解成具有不同對(duì)稱性的兩個(gè)部分：偶對(duì)稱部分fe→Fe和奇對(duì)稱部分fo→Fo，其中Fe是實(shí)值的，而Fo是純虛數(shù)值的.事實(shí)上，能將任意的實(shí)函數(shù)寫成如下形式：

它是一個(gè)實(shí)值函數(shù)與一個(gè)純虛數(shù)值函數(shù)之和.一個(gè)二維實(shí)值函數(shù)的雙邊四元數(shù)傅里葉變換也具有類似的性質(zhì).

定理2 一個(gè)二維實(shí)值函數(shù)f 的雙邊四元數(shù)傅里葉變換Fqf 可以被分解成具有不同對(duì)稱性的4個(gè)部分

這里下標(biāo)e和o表示偶和奇對(duì)稱元素.

注意到

證畢.

3 結(jié) 論

為了在圖像處理等領(lǐng)域中更好地利用雙邊四元數(shù)傅里葉變換，本文研究了雙邊四元數(shù)傅里葉變換的部分性質(zhì).首先重新證明了一個(gè)二維實(shí)函數(shù)的雙邊四元數(shù)傅里葉變換具有四元埃爾米特性.這一重新證明從新的角度理解了雙邊四元數(shù)傅里葉變換.基于這一新的理解，構(gòu)造性地證明了一個(gè)二維實(shí)值函數(shù)的雙邊四元數(shù)傅里葉變換可以被分解成具有不同對(duì)稱性的4個(gè)部分.

［1］ Ell T A.Quaternion Fourier Transforms for Analysis of 2－dimensional Linear Time－invariant Partial－differential Systems［C］.32nd IEEE Conf.Decision Contr.，San Antonio，TX，Dec.25－17，1993，1830－1841.

［2］ Ell T A，Sangwine S J.Hypercomplex Fourier Trans－forms of Color Images［J］.IEEE Trans.Image Process，2007，16：22－35.

［3］ Sangwine S J.Fourier Transforms of Color Images Using Quaternion or Hypercomplex，Numbers［J］.Electron.Lett，1996，32：1979－1980.

［4］ Sangwine S J，Ell T A.Hypercomplex Fourier Transforms of Color Images［C］.IEEE Int.Conf.Image Process，2001，1：137－140.

［5］ Moxey C，Sangwine S J，Ell T A.Hypercomplex Correlation Techniques for Vector Images［J］.IEEE Trans.Signal Process，2003，51：1941－1953.

［6］ Pei S C，Ding J J，Chang J H.Efficient Implementation of Quaternion Fourier Transform，Convolution，and Correlated by 2－D Complex FFT［J］.IEEE Trans.Signal Process，2001，49：2783－2797.

［7］ Bülow T，Sommer G.Hyper Complex Signals－A Novel Extension of the Analysis to the Multidimensional Case［J］.IEEE Trans.Signal Process，2011，49：2844－2852.

［8］ Bas P，Bihan N L，Chassery J M.Color Image Watermarking Using Quaternion Fourier Transform ［C］.IEEE Int. Conf. Accoustics， Speech and Signal Process.（ICASSP＇03），Hong Kong，2003，3：521－524.

［9］ Chang J H，Pei S C，Ding J J.2D Quaternion Fourier Spectral Analysis and Its Applications［J］.IEEE Int.Symp.Circuits and Systems，2004，3：241－244.

［10］Bahri M，Hitzer E M S，Hayashi A，et al.An Uncertainty Principle for Quaternion Fourier Transform［J］.Computer ＆ Mathematics with Applications，2008，56：2398－2410.