[摘 要]本文全面地介紹了估計總體標(biāo)準(zhǔn)差的7種主要統(tǒng)計方法：貝塞爾公式法（最為常用）、彼得斯公式法、極差法、最大誤差法、最大殘差法、較差法和最大方差法。系統(tǒng)地研究了各種估計總體標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計方法的由來和原理，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝茖?dǎo)出了其標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計算公式。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)大小所反映出的測量精密度高低可分析比較出各種估計總體標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計方法的優(yōu)劣及其適用范圍。

[關(guān)鍵詞]總體標(biāo)準(zhǔn)差；參數(shù)估計；無偏估計；系統(tǒng)誤差；隨機(jī)誤差；綜合誤差；測量不確定度；自由度；標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

[中圖分類號]O 212 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1005-6432（2013）10-0023-011

1 引 言

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，測量可分為常量測量和變量測量兩大類。物理量的變化量遠(yuǎn)小于測量儀器誤差范圍的測量稱為常量測量（又稱經(jīng)典測量、基礎(chǔ)測量），其核心理論是誤差理論[1-3]，誤差理論的基本單元是誤差元（測量值減真值）。測量儀器誤差范圍遠(yuǎn)小于物理量的變化量的測量稱為變量測量（又稱統(tǒng)計測量），其核心理論是數(shù)理統(tǒng)計理論（概率論是其理論基礎(chǔ)），數(shù)理統(tǒng)計理論的基本單元是偏差元（又稱離差元，測量值減數(shù)學(xué)期望）。標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation，又稱標(biāo)準(zhǔn)偏差、均方差，其英文縮寫詞為SD，此術(shù)語1893年由卡爾·皮爾遜首創(chuàng)）是用來衡量一組測量數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計量，它反映了隨機(jī)變量的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度。經(jīng)典測量學(xué)只能處理常量測量問題，而當(dāng)今頻域界的頻率穩(wěn)定度測量（常用阿倫方差表示）則屬于變量測量。

等精度測量（equally accurate measurement）是指在測量條件（包括測量儀器的準(zhǔn)確度、觀測者的技術(shù)水平、環(huán)境條件影響及測量方法等）不變的情況下，對某一被測物理量所進(jìn)行多次測量的一種方法。在實(shí)際測量工作中，由相同設(shè)備、相同人員、相同環(huán)境和相同方法所獲得的各測量值可視為是等精度測量值。文獻(xiàn)[4]介紹了流量計量中的計量學(xué)基本原則——等精度傳遞理論。

在測量實(shí)踐中，有時為了獲得準(zhǔn)確度更高的測量結(jié)果，往往要求在不同的測量環(huán)境條件下，使用不同的測量儀器，選用不同的測量者和不同的測量次數(shù)，采用不同的測量方法進(jìn)行對比測量，這種測量方法稱為不等精度測量（unequally accurate measurement）。不等精度測量的不確定度應(yīng)采用加權(quán)方式計算[5-6]。

若無特別說明，本文中所涉及的測量均指等精度測量。

2 誤差的種類和應(yīng)用

誤差公理認(rèn)為誤差自始至終存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)和測量之中，是不可避免的，即誤差無處不在，真值是不可知的。在實(shí)際應(yīng)用工作中，可用約定真值或相對真值來代替理論概念中的理想真值。約定真值一般包括約定值、指定值和最佳估計值三種類型。

測量誤差最基本的表示方法有如下三種：①絕對誤差=測量值-真值，絕對誤差通常簡稱為誤差（即真誤差）；②相對誤差=絕對誤差/真值≈絕對誤差/測量值；③引用誤差=示值誤差/測量范圍上限（或全量程）。殘差（又稱剩余誤差）=測量值-估計值，殘差可認(rèn)為是真誤差的估計值。絕對誤差和相對誤差通常用于單值點(diǎn)測量誤差的表示，而對于具有連續(xù)刻度和多檔量程的測量儀器的誤差則通常采用引用誤差來表示。

按誤差的特點(diǎn)和性質(zhì)可將其分為粗大誤差（parasitic error）、系統(tǒng)誤差（systematic error）和隨機(jī)誤差（random error）三大類。可消除的粗大誤差（又稱過失誤差，沒有規(guī)律可循）應(yīng)予全部剔除，系統(tǒng)誤差（又稱規(guī)律誤差、理論誤差或方法誤差，一個定值或服從函數(shù)規(guī)律）反映測量的正確度（correctness），隨機(jī)誤差（舊稱偶然誤差、不定誤差，服從統(tǒng)計規(guī)律，大多數(shù)服從正態(tài)分布規(guī)律）反映測量的精密度（precision），測量的準(zhǔn)確度（accuracy，又譯為精確度）則是用綜合誤差（即測量不確定度）來衡量的，有時也用極限誤差來衡量測量的準(zhǔn)確度。逐項(xiàng)獲得測量的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，采用誤差合成的方法（各系統(tǒng)誤差絕對值相加得系統(tǒng)誤差范圍，各隨機(jī)誤差均方根合成則得隨機(jī)誤差范圍。系統(tǒng)誤差范圍加隨機(jī)誤差范圍可得綜合誤差范圍）合成綜合誤差，它表征了測量結(jié)果與真值的不一致程度。

泛指性的“精度”一詞常被用作“精確度（即準(zhǔn)確度）”或“精密度”的替代詞，因其并無明確和嚴(yán)格的科學(xué)定義，故在學(xué)術(shù)論文中應(yīng)慎用或棄用。

下面簡要介紹一下隨機(jī)誤差所遵循的一些基本統(tǒng)計規(guī)律，首先需要介紹中心極限定理：

當(dāng)測量次數(shù)n無限增大時，在真誤差序列中，若比某真誤差絕對值大的誤差和比其絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率相等，則稱該真誤差為或然誤差（probable error，又稱概率誤差，它在衡量射擊精密度時尤其顯得重要），記作ρ。

作為精密度的評定指標(biāo)，中誤差最為常用，因?yàn)樗从沉苏嬲`差分布的離散程度。

通常以2倍或3倍的中誤差作為隨機(jī)誤差的極限誤差（limit error），其置信概率分別是9544%（2σ準(zhǔn)則）和9973%（3σ準(zhǔn)則）。如果某個誤差超過了極限誤差，就可以認(rèn)為它是粗大誤差而被剔除，其相應(yīng)的測量值應(yīng)舍棄不用。

對于某個測量值，通常采用相對中誤差（即中誤差和測量值之比，又稱相對標(biāo)準(zhǔn)差）配合中誤差來衡量，它能更全面地表達(dá)測量值的好壞。

英國物理學(xué)家、化學(xué)家和數(shù)學(xué)家瑞利勛爵（Lord Rayleigh，1842—1919）以嚴(yán)謹(jǐn)、廣博和精深而著稱，他善于利用簡單的設(shè)備做實(shí)驗(yàn)而能獲得十分精確的數(shù)據(jù)。他因?qū)怏w密度的精確研究并因此參與發(fā)現(xiàn)稀有氣體（舊稱惰性氣體）氬而榮獲1904年諾貝爾物理學(xué)獎。1892年瑞利在研究氮?dú)鈺r發(fā)現(xiàn)[7]：從液態(tài)空氣中分餾出來的氮，其密度為12572 kg/m3，而用化學(xué)方法直接從亞硝酸銨中得到的氮，其密度則為12508 kg/m3（現(xiàn)在的最權(quán)威數(shù)據(jù)125046 kg/m3是基于0 ℃和01 MPa時），前者比后者大05117%，因?qū)嶒?yàn)中已排除了粗大誤差的可能，這一差異已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出隨機(jī)誤差的正常范圍（現(xiàn)在通過t檢驗(yàn)準(zhǔn)則可以判定當(dāng)時瑞利測得的空氣中氮的密度數(shù)據(jù)是存在系統(tǒng)誤差的）。英國物理化學(xué)家和放射化學(xué)家拉姆賽（Sir William Ramsay，1852—1916，1904年諾貝爾化學(xué)獎獲得者）注意到這個問題并要求與瑞利合作對此問題展開共同研究，最終他們利用光譜分析法于1894年8月13日發(fā)現(xiàn)了第一種稀有氣體─氬（Ar）。氬元素的發(fā)現(xiàn)是科學(xué)家們注意測量結(jié)果中的微小誤差（實(shí)際上是系統(tǒng)誤差）而取得重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的經(jīng)典范例，是名副其實(shí)的“第三位小數(shù)”的勝利[8]。隨后，其他稀有氣體氦（He，1895年3月）、氪（Kr，1898年5月）、氖（Ne，1898年6月）、氙（Xe，1898年7月）、氡（Rn，1899年，繼釙Po、鐳Ra和錒Ac之后第4個被發(fā)現(xiàn)的天然放射性元素）陸續(xù)被拉姆賽等人所發(fā)現(xiàn)，稀有氣體的發(fā)現(xiàn)完善和發(fā)展了俄國化學(xué)家門捷列夫（1834—1907）的元素周期表（1869年）。

3 統(tǒng)計量的概率分布類型

離散型統(tǒng)計量服從的概率分布類型主要有：①退化分布（又稱單點(diǎn)分布）；②伯努利（瑞士數(shù)學(xué)家，Jocob Bernoulli，1654—1705）分布（又稱兩點(diǎn)分布）；③二項(xiàng)分布：包括超幾何分布（又衍生出負(fù)超幾何分布）、β-二項(xiàng)分布和離散均勻分布；④泊松分布：包括帕斯卡（法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，Blaise Pascal，1623—1662）分布（又稱負(fù)二項(xiàng)分布）和幾何分布；⑤對數(shù)分布等。

隨機(jī)誤差大多服從正態(tài)分布或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有單峰性、對稱性、有界性和抵償性。正態(tài)分布是隨機(jī)誤差遵循的最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一的分布規(guī)律。隨機(jī)誤差服從的常見非正態(tài)分布（又稱偏態(tài)分布）主要有：①均勻分布（又稱矩形分布、等概率分布）；②伽馬分布（Γ-分布）：包括指數(shù)分布（兩個相互獨(dú)立且都服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和服從廣義指數(shù)分布）、厄蘭（丹麥數(shù)學(xué)家和統(tǒng)計學(xué)家，Agner Krarup Erlang，1878—1929）分布和τ-分布（χ2-分布是其特例）等特例；③χ-分布：包括反射正態(tài)分布、瑞利分布和麥克斯韋（英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，James Clerk Maxwell，1831—1879）分布等特例，廣義瑞利分布又稱萊斯（美國通信理論專家，Stephen " Steve" Oswald Rice，1907—1986）分布（Rice distribution or Rician distribution），當(dāng)v=0時萊斯分布退化為瑞利分布；④貝塔分布（B-分布）；⑤F-分布：1934年美國數(shù)學(xué)家和統(tǒng)計學(xué)家斯內(nèi)德克（George Waddel Snedecor，1881—1974）首創(chuàng)，為彰顯英國統(tǒng)計學(xué)家和遺傳學(xué)家費(fèi)歇爾（Sir Ronald Aylmer Fisher，1890—1962，方差分析的發(fā)明者）的貢獻(xiàn)，后來以其名字命名；⑥t-分布（又稱學(xué)生氏分布）：1908年由英格蘭統(tǒng)計學(xué)家戈塞特（William Sealy Gosset，1876—1937）首創(chuàng)，因他以Student為筆名發(fā)表論文而得名；⑦對數(shù)正態(tài)分布；⑧極值分布：包括重指數(shù)分布和威布爾（瑞典數(shù)學(xué)家，Ernst Hjalmar Waloddi Weibull，1887—1979）─格涅堅科分布（參見本文第73節(jié)“極差法”）等；⑨柯西（法國數(shù)學(xué)家，Augustin Louis Cauchy，1789—1857）分布；⑩辛普森（英國數(shù)學(xué)家，Tomas Simpson，1710—1761）分布（又稱三角形分布）等。此外還有反正弦分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布、梯形分布、直角分布、橢圓分布和雙三角分布等。多維概率分布則主要有：①多項(xiàng)分布；②均勻分布；③n（n≥2）維正態(tài)分布等。

因彼得斯公式法、極差法、最大誤差法、最大殘差法和最大方差法均只給出了正態(tài)分布下的標(biāo)準(zhǔn)差估計的系數(shù)因子，故它們一般不適用于非正態(tài)分布時的情形。

4 統(tǒng)計推斷

統(tǒng)計推斷是指根據(jù)隨機(jī)性的觀測數(shù)據(jù)（樣本）以及問題的條件和假設(shè)（模型），對未知事物作出的、以概率形式表述的推斷。統(tǒng)計推斷是由樣本的信息來推測總體（又稱母體）性能的一種方法，它是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的主要任務(wù)，其理論和方法構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的主要內(nèi)容。統(tǒng)計推斷分為參數(shù)估計和假設(shè)檢驗(yàn)兩大類問題。參數(shù)估計是假設(shè)檢驗(yàn)的前提，沒有參數(shù)估計，也就無法完成假設(shè)檢驗(yàn)。

41 參數(shù)估計

運(yùn)用從總體獨(dú)立抽取的隨機(jī)樣本對總體分布中的未知參數(shù)做出估計，稱為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)上的參數(shù)估計，它是統(tǒng)計推斷的一種基本方法。參數(shù)估計方法主要分為點(diǎn)估計法（根據(jù)樣本構(gòu)造一個統(tǒng)計量，用以對總體參數(shù)進(jìn)行估計）和區(qū)間估計法（又稱范圍估計法，主要是根據(jù)置信度求置信區(qū)間）兩大類。點(diǎn)估計構(gòu)造統(tǒng)計量（估計量）的常用方法有：①順序統(tǒng)計量法（又稱次序統(tǒng)計量法）：主要包括最大順序統(tǒng)計量法和最小順序統(tǒng)計量法兩種。②貝葉斯法（又稱貝葉斯公式、逆概率公式、事后概率公式或原因概率公式）：1763年英國統(tǒng)計學(xué)家貝葉斯（Thomas Bayes，1702—1761）在其遺作《論有關(guān)機(jī)遇問題的求解》一文中首先提出。③最小二乘估計法（又稱最小平方估計法）：它可使殘差的平方和為最小，1795年德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）首先提出其方法，1806年法國數(shù)學(xué)家勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752—1833）首先用公式表示出最小二乘原理，1900年由俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫（Andrey Andreyevich Markov，1856—1922）加以發(fā)展。④矩估計法（又稱矩法估計、數(shù)字特征法）：以樣本矩的某一函數(shù)代替總體矩的同一函數(shù)來構(gòu)造估計量的方法稱為矩估計法，1894年英國數(shù)學(xué)家和統(tǒng)計學(xué)家卡爾·皮爾遜（Karl Pearson，1857—1936，被譽(yù)為“現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)之父”）首先提出。一個樣本可確定一個經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，由這個經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)可確定樣本的各階矩。稱統(tǒng)計量S=1nni=1Xi為子樣一階原點(diǎn)矩（簡稱一階矩，即子樣均值）；稱統(tǒng)計量Sk=1nni=1Xki為子樣k階矩；稱統(tǒng)計量S=1nni=1（Xi-）2為子樣二階中心矩（即子樣方差）；稱統(tǒng)計量Sk=1nni=1（Xi-）k為子樣k階中心矩。⑤最小χ2法：χ2檢驗(yàn)由卡爾·皮爾遜于1900年首先提出，故χ2統(tǒng)計量又稱皮爾遜公式。⑥最大似然估計法（maximum likelihood estimation method，又稱極大似然估計法）：一種重要而普遍的統(tǒng)計量估計方法，其基本思想始于1821年高斯提出的誤差理論，1912—1922年英國統(tǒng)計學(xué)家和遺傳學(xué)家費(fèi)歇爾首先將其應(yīng)用于參數(shù)估計并證明了它的一些性質(zhì)[9-10]，其后他在工作中加以發(fā)展并使其臻于完善[11]。該估計方法在統(tǒng)計推斷中無須有關(guān)事前概率的信息，克服了貝葉斯法（Bayes estimation method）的致命弱點(diǎn)，是統(tǒng)計學(xué)史上的一大突破。標(biāo)準(zhǔn)差σ的最大似然估計值是=1nni=1（xi-）2=1nni=1v2i， 其中=1nni=1xi。與最大似然估計法相類似的統(tǒng)計估計方法還有極小極大后驗(yàn)估計法、最小風(fēng)險法和極小化極大熵法等。

常用于衡量點(diǎn)估計法是否優(yōu)良的五大準(zhǔn)則是：無偏性[12]、有效性、一致性（又稱相合性）[13]、漸近性和充分性。無偏估計和一致估計（又稱相合估計、相容估計）都屬于優(yōu)良點(diǎn)估計法。衡量區(qū)間估計法的優(yōu)良準(zhǔn)則有一致最精確準(zhǔn)則、一致最精確無偏性準(zhǔn)則和平均長度最短準(zhǔn)則等。如果把參數(shù)估計用于統(tǒng)計決策，還可采用統(tǒng)計決策理論中的優(yōu)良準(zhǔn)則（如容許性準(zhǔn)則、最小化最大準(zhǔn)則、貝葉斯準(zhǔn)則和最優(yōu)同變性準(zhǔn)則等）。

標(biāo)準(zhǔn)差的現(xiàn)代統(tǒng)計估計方法通常可將其歸納為一般估計方法和穩(wěn)健估計（robust estimation，又稱抗差估計）方法兩大類[14]。一般估計方法（均屬標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的A類評定方法）主要包括貝塞爾公式法、彼得斯公式法、極差法、最大誤差法、最大殘差法、較差法和最大方差法等，其中貝塞爾公式法最為常用，極差法、彼得斯公式法和最大殘差法次之，最大誤差法特別適用于比較特殊的場合（如一次性破壞實(shí)驗(yàn)等），較差法和最大方差法的應(yīng)用場合則相對較少。穩(wěn)健估計方法基本上可分為三類：M估計（經(jīng)典最大似然估計法的推廣，稱為廣義最大似然估計法）、L估計（即順序統(tǒng)計量線性組合估計）和R估計（即秩估計，來源于秩統(tǒng)計檢驗(yàn)）。

估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計參數(shù)，則稱其為無偏估計，否則就是有偏估計。無偏估計的系統(tǒng)誤差為零，其誤差用隨機(jī)誤差來衡量；有偏估計的誤差則用系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成（即綜合誤差）來衡量。如今，隨著計算機(jī)的日益普及和各類數(shù)學(xué)統(tǒng)計軟件（包括專用數(shù)學(xué)統(tǒng)計軟件，如SPSS、SAS和BMDP等）的廣泛應(yīng)用，數(shù)據(jù)計算繁瑣一些已無技術(shù)障礙可言。實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的獲得都要付出一定的人力、物力和財力，追求其準(zhǔn)確可靠才是其最高目標(biāo)，因此有偏估計的系統(tǒng)誤差應(yīng)盡可能地予以剔除。對于無偏估計來說，其統(tǒng)計量的方差越小則越好（表示其精密度和有效性越高）。

42 假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)（又稱顯著性經(jīng)驗(yàn)、統(tǒng)計檢驗(yàn)）一般分為參數(shù)檢驗(yàn)（適用于總體分布形式已知的情形）和總體分布類型檢驗(yàn)（又稱分布擬合檢驗(yàn)）兩大類。參數(shù)檢驗(yàn)方法主要有u檢驗(yàn)法（又稱z檢驗(yàn)法，即正態(tài)分布檢驗(yàn)法）、t檢驗(yàn)法、χ2檢驗(yàn)法（又稱皮爾遜檢驗(yàn)法）和F檢驗(yàn)法（又稱費(fèi)歇爾檢驗(yàn)法）等；總體分布類型檢驗(yàn)方法主要有概率紙法（包括正態(tài)概率紙、對數(shù)正態(tài)概率紙、威布爾概率紙和二項(xiàng)概率紙等）和χ2檢驗(yàn)法（適用于任意分布）等。在正態(tài)性檢驗(yàn)法中，以夏皮羅（美國統(tǒng)計學(xué)家，Samuel Sanford Shapiro，1930—）─威爾克（加拿大統(tǒng)計學(xué)家，Martin Bradbury Wilk，19221218—）檢驗(yàn)法（1965年，又稱W檢驗(yàn)，適用于樣本數(shù)n≤50時的情形）[15]、達(dá)戈斯提諾（美國生物統(tǒng)計學(xué)家，Ralph BDAgostino， Jr，19290331—20010818）檢驗(yàn)法（1971年，又稱D檢驗(yàn)，一種比較精確的正態(tài)檢驗(yàn)法）[16]和夏皮羅─弗朗西亞（Shapiro-Francia）檢驗(yàn)法（1972年，又稱W′檢驗(yàn)，適用于樣本數(shù)50 兩個樣本是否來自于同分布總體的假設(shè)檢驗(yàn)方法主要有符號檢驗(yàn)法和秩和檢驗(yàn)法等。

當(dāng)未知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ時，判別粗大誤差的準(zhǔn)則（即異常數(shù)據(jù)取舍的檢驗(yàn)方法）主要有：①格拉布斯準(zhǔn)則：1950年由美國統(tǒng)計學(xué)家格拉布斯（Frank Ephraim Grubbs，1913—2000）首創(chuàng)[18]，并于1969年加以發(fā)展[19]；②狄克遜準(zhǔn)則（又稱Q檢驗(yàn)準(zhǔn)則）：1950年由美國統(tǒng)計學(xué)家狄克遜（Wilfred Joseph Dixon，1915—2008）首創(chuàng)[20]，并于1951年和1953年加以改進(jìn)[21-23]；③偏度─峰度檢驗(yàn)準(zhǔn)則：偏度檢驗(yàn)法適用于單側(cè)情形，峰度檢驗(yàn)法則適用于雙側(cè)情形[24]；④羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則（又稱t檢驗(yàn)準(zhǔn)則、3S檢驗(yàn)準(zhǔn)則）：前蘇聯(lián)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家、塔什干數(shù)學(xué)學(xué)派創(chuàng)始人羅曼諾夫斯基（Vsevelod Ivanovich Romanovsky，1879—1954）首創(chuàng)，其檢驗(yàn)效果最好[25]；⑤3σ準(zhǔn)則：僅早期采用，只適用于大樣本數(shù)時的情形，因其理論上欠嚴(yán)謹(jǐn)且樣本數(shù)n<11時便失效[26-27]，故現(xiàn)已淘汰不用；⑥肖維勒準(zhǔn)則：1863年由美國數(shù)學(xué)家肖維勒（William Chauvenet，1820—1870）首創(chuàng)[28]，因其理論的嚴(yán)密性有所欠缺，故現(xiàn)已較少采用；⑦重標(biāo)極差（R/S）檢驗(yàn)準(zhǔn)則：以樣本極差R和標(biāo)準(zhǔn)差S之比作為統(tǒng)計量[29-30]。當(dāng)已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ時，可采用1948年由印度學(xué)者奈爾（Keshavan Raghavan Nair，1910—1995）首創(chuàng)的Nair準(zhǔn)則[31-32]。格拉布斯檢驗(yàn)法、狄克遜檢驗(yàn)法、偏度─峰度檢驗(yàn)法和奈爾檢驗(yàn)法已被列入中國國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 4883—2008[33]。以下5種常用檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)效果優(yōu)劣排序依次是：羅曼諾夫斯基檢驗(yàn)法、格拉布斯檢驗(yàn)法、峰度檢驗(yàn)法、狄克遜檢驗(yàn)法、偏度檢驗(yàn)法[25]。

估計標(biāo)準(zhǔn)差s=1n-2ni=1（y-）2主要應(yīng)用于回歸分析和假設(shè)檢驗(yàn)中[34]。

5 測量不確定度

測量不確定度（measurement uncertainty，簡稱不確定度）是測量結(jié)果帶有的一個非負(fù)參數(shù)，用以表征合理地賦予被測量值的分散性。它是說明測量水平的主要指標(biāo)，是表示測量質(zhì)量的重要依據(jù)。不確定度越小，測量結(jié)果的質(zhì)量就越高，使用價值就越大。“不確定度”一詞起源于1927年德國理論物理學(xué)家和哲學(xué)家海森堡（Werner Karl Heisenberg，1901—1976，1932年度諾貝爾物理學(xué)獎獲得者）在量子力學(xué)中提出的不確定度關(guān)系，即著名的測不準(zhǔn)原理（uncertainty principle）。自國際計量委員會CIPM（法文Comité International des Poids et Mesures）授權(quán)國際計量局BIPM（法文Bureau International des Poids et Mesures）于1980年10月提出《實(shí)驗(yàn)不確定度表示建議書INC-1》（1992年被納入國際標(biāo)準(zhǔn)ISO 10012，1997年和2003年分別予以修訂，中國國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 19022—2003等同采用ISO 10012 ∶ 2003[35]）以后，經(jīng)過30多年的研究和發(fā)展，現(xiàn)代不確定度理論現(xiàn)已形成較為完整的理論體系。

根據(jù)2008年版《測量不確定度表示指南》（GUM=Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement）中的規(guī)定：不確定度可以用測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差（即標(biāo)準(zhǔn)不確定度，它具有可傳播性。當(dāng)一個測量結(jié)果用于下一個測量時，其不確定度可作為下一個測量結(jié)果不確定度的分量，這就是不確定度的可傳播性）表示，也可以用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)或說明其置信水平區(qū)間的半寬度（即擴(kuò)展不確定度expanded uncertainty，曾譯為延伸不確定度、伸展不確定度）表示。無論采用哪種方法，都需要獲得標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值。

不確定度一般由若干分量組成，其中一些分量可根據(jù)一系列測量值的統(tǒng)計分布，按不確定度的A類評定方法進(jìn)行評定（標(biāo)準(zhǔn)不確定度基于統(tǒng)計方法所進(jìn)行的評定稱為A類評定，又稱統(tǒng)計不確定度），并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差（即有限次測量時總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計值，又稱樣本標(biāo)準(zhǔn)差、子樣標(biāo)準(zhǔn)差，主要應(yīng)用于抽樣推斷和假設(shè)檢驗(yàn)中）和自由度表征（必要時應(yīng)給出其協(xié)方差）。而另一些分量則可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或其他信息假設(shè)的概率分布，按不確定度的B類評定方法進(jìn)行評定[標(biāo)準(zhǔn)不確定度基于非統(tǒng)計方法（技術(shù)規(guī)范、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和科學(xué)知識等）所進(jìn)行的評定稱為B類評定，又稱非統(tǒng)計不確定度]，也用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差表征（必要時應(yīng)給出其協(xié)方差），一般情況下可以不給出其自由度。

貝塞爾公式法和極差法是兩種主要的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的A類評定方法[36-43]，其中文獻(xiàn)[39]給出的結(jié)論是：①當(dāng)A類評定不確定度分量不是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度中唯一占優(yōu)勢的分量時，則無論測量次數(shù)多少（筆者注：因合成時采用方差相加的方法），（修正前）貝塞爾公式法優(yōu)于極差法。②當(dāng)A類評定不確定度分量是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度中唯一占優(yōu)勢的分量時，則兩種方法的優(yōu)劣與測量次數(shù)有關(guān)：當(dāng)測量次數(shù)n<10時（筆者注：參見表73-2，此處寫成“n≤10”則更為準(zhǔn)確），極差法優(yōu)于（修正前）貝塞爾公式法，當(dāng)測量次數(shù)n≥10時（筆者注：參見表73-2，此處寫成“n>10”則更為準(zhǔn)確），（修正前）貝塞爾公式法優(yōu)于極差法。

標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的B類評定方法主要有倍數(shù)法、正態(tài)分布法、均勻分布法（修約誤差、修約前的被修約值、數(shù)字儀表的量化誤差等均服從此類分布）、反正弦分布法、二點(diǎn)分布法、梯形分布法、三角分布法和投影分布法等[44-46]，它更多的是依賴于經(jīng)驗(yàn)的積累和判斷。B類評定方法常應(yīng)用于計量基準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)、儀器研制和在無法對比測量的情況下。

不確定度報告應(yīng)該包括測量模型、估計值、測量模型中與各個量相關(guān)聯(lián)的測量不確定度、協(xié)方差、所用的概率密度函數(shù)的類型、自由度、測量不確定度的評定類型和包含因子等。

在實(shí)際應(yīng)用工作中，有效數(shù)字的正確取位十分重要，但這個問題卻往往被忽視。測量結(jié)果總是以數(shù)字形式出現(xiàn)的，而能準(zhǔn)確反映測量結(jié)果的是其有效數(shù)字。有效數(shù)字的末位數(shù)總是由下一位數(shù)進(jìn)位或舍去而得來的，這就是數(shù)字修約。有效數(shù)字的定義是：一個數(shù)的修約誤差不大于其末位數(shù)的半個單位，則該數(shù)的左邊第一個非零數(shù)字起至右邊最末一位數(shù)字都是其有效數(shù)字。不確定度的有效數(shù)字只能取1位或2位[47-49]。

6 自由度

自由度（degrees of freedom）的定義是：在方差的計算中，和的項(xiàng)數(shù)減去對和的限制數(shù)[36，50]。自由度反映了實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的可信賴程度，自由度越大，實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的可信賴程度就越高。由于不確定度是用標(biāo)準(zhǔn)差來表征的，故自由度可用于衡量不確定度評定的質(zhì)量，它也是計算擴(kuò)展不確定度的依據(jù)。當(dāng)對標(biāo)準(zhǔn)差σ取A類評定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度s的值時，不確定度的自由度計算公式為[46]：

式（6-1）是自由度估計值的計算公式（此估計值與理論值相比偏小，隨著樣本數(shù)n的增大，其估計值越來越接近于理論實(shí)際值），其中D（X）/E（X）為統(tǒng)計量X的相對標(biāo)準(zhǔn)差，u（x）為被測量x的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，u[u（x）]為標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x）的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。顯然，自由度與標(biāo)準(zhǔn)不確定度的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度有關(guān)，即自由度與不確定度的不確定度有關(guān)，或者說自由度是一種二階不確定度。

不確定度是測量結(jié)果的一個參數(shù)，而自由度則是不確定度的一個參數(shù)，它表征了所給不確定度的可信賴程度。算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的自由度和單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的自由度是相同的。

自由度具有尺度變換下的不變性（即隨機(jī)變量乘以非零常數(shù)，其自由度不變）。對于合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差，其自由度為各組自由度之和，即v=m（n-1）。當(dāng)用測量所得的n組數(shù)據(jù)按最小二乘法擬合的校準(zhǔn)曲線確定t個被測量值時，其自由度v=n-t；若t個被測量值之間另有r個約束條件，則其自由度v=n-t-r。

各種估計總體標(biāo)準(zhǔn)差方法的自由度如下表所示。

每個不確定度都對應(yīng)著一個自由度，按A類評定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的自由度就是實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的自由度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc（y）的自由度稱為有效自由度veff，它說明了評定uc（y）的可信賴程度，veff越大，表示評定的uc（y）越可信賴。一般情況下，按B類評定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量可以不給出其自由度。但在以下情況時需要計算有效自由度veff：①當(dāng)需要評定擴(kuò)展不確定度Up為求得包含因子kp時；②當(dāng)用戶為了解所評定的不確定度的可信賴程度而提出此要求時。

7 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定方法

標(biāo)準(zhǔn)差是評定測量結(jié)果精密度的一個極其重要的參數(shù)，關(guān)于各種估計總體標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計方法的精密度分析，前人已多有研究[52-56]，但都缺乏深度和廣度，其系統(tǒng)性和準(zhǔn)確性也不夠（有時甚至出現(xiàn)一些差錯和遺漏，詳見下文中的相關(guān)描述）。下面筆者將詳細(xì)闡述各種估計總體標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計方法的由來和原理，嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出其標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計算公式，力圖以科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)和求實(shí)的態(tài)度，分別對其系統(tǒng)地做出全面而準(zhǔn)確的評介、對比和分析。

71 貝塞爾公式法

貝塞爾公式法（Bessel formula method）[57-63]是一種最為常見的估計總體標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計方法。根據(jù)nj， k=1j≠kδjδk=0來推導(dǎo)貝塞爾公式長期以來被一些學(xué)者所認(rèn)同，現(xiàn)已證明其為偽證[64-65]。筆者現(xiàn)根據(jù)誤差理論、概率論和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的基礎(chǔ)知識，從誤差和標(biāo)準(zhǔn)差的本質(zhì)和作用入手，利用數(shù)學(xué)期望和方差公式，采用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來推導(dǎo)出貝塞爾公式。

n次測量值的算術(shù)平均值為：=1nni=1xi

算術(shù)平均值是μ的一致最小方差無偏估計，且不存在比它一致性更好的其他估計量。

德國天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家貝塞爾（Friedrich Wilhelm Bessel，17840722—18460317）是天體測量學(xué)的奠基人之一，以其專著《天文學(xué)基礎(chǔ)》（1818年）為標(biāo)志發(fā)展了實(shí)驗(yàn)天文學(xué)，他重新訂正布拉德雷（英國天文學(xué)家，James Bradley，1693—1762）星表并編制基本星表（后人加以擴(kuò)充后成為《波恩巡天星表》），測定恒星視差（1838年）并預(yù)言暗伴星的存在，導(dǎo)出修正子午環(huán)安裝誤差的貝塞爾公式[即式（71-4）]，導(dǎo)出用于天文計算的內(nèi)插法貝塞爾公式（此式中的系數(shù)被稱為貝塞爾系數(shù)），編制大氣折射表并導(dǎo)出大氣折射公式。首創(chuàng)貝塞爾歲首（又稱貝塞爾年首）、貝塞爾假年（又稱貝塞爾年）、貝塞爾日數(shù)（又稱貝塞爾星數(shù)）和貝塞爾要素等概念，沿用至今。其研究成果還有貝塞爾方程（1817—1824，一類二階常微分方程）、貝塞爾不等式（1828年）和貝塞爾地球橢球體（1841年）等。1938年2月24日發(fā)現(xiàn)的國際編號為1552（1938DE）號的小行星后被命名為“貝塞爾星（Bessel）”，這是對他最好的紀(jì)念和褒獎。

貝塞爾方程兩個獨(dú)立的解分別稱為第一類貝塞爾函數(shù)Jn（x）和第二類貝塞爾函數(shù)Yn（x），Hn（x）=Jn（x）±iYn（x）則稱為第三類貝塞爾函數(shù)，其中第二類貝塞爾函數(shù)又稱為諾伊曼（Carl Gottfried Neumann，1832—1925）函數(shù)或韋伯（Heinrich Martin Weber，1842—1913）函數(shù)，第三類貝塞爾函數(shù)又稱為漢克爾（Hermann Hankel，1839—1873）函數(shù)。諾伊曼、韋伯和漢克爾均為德國數(shù)學(xué)家。

在規(guī)范化的常規(guī)測量中，若在重復(fù)性條件下對被測量X作n次測量，并且有m組這樣的測量結(jié)果，由于各組之間的測量條件可能會稍有不同，因此不能直接用貝塞爾公式對總共m×n個測量值計算其實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，而必須計算其合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差（又稱組合實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差）[77]，即：

上式中，xjk是第j組第k次測量值，j是第j組n個測量值的算術(shù)平均值。

當(dāng)各組所包含的測量次數(shù)不完全相同時，則應(yīng)采用方差的加權(quán)平均值，權(quán)重（即自由度）為（nj-1），此時的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差為：

上式中，nj是第j組的測量次數(shù)，s2j是第j組nj個測量值的樣本方差。

在一些常規(guī)的日常校準(zhǔn)或檢定工作中，采用合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差往往會取得良好的效果[79-81]。

以下選用最為常用的修正前后貝塞爾公式法作為其他各種估計總體標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計方法的比較基準(zhǔn)。

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[作者簡介]朱安遠(yuǎn)（1964—），男，湖南邵東人，工學(xué)學(xué)士（工業(yè)電氣自動化專業(yè)），高級工程師，高級銷售經(jīng)理，現(xiàn)任北京金自天正智能控制股份有限公司市場營銷部副部長兼華東區(qū)區(qū)域經(jīng)理，主要從事工業(yè)自動化（尤其是冶金自動化三電系統(tǒng)）領(lǐng)域的市場營銷和應(yīng)用工作。近期三大研究主題：低壓變流器電流過載能力指標(biāo)（關(guān)注此事始于1999年）、諾貝爾獎獲得者（喜好此事源自1981年）和總體標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計估計方法（研究興趣來自筆者1987年對此事的系統(tǒng)性歸納和總結(jié)）。業(yè)余愛好：數(shù)學(xué)，自稱諾迷（類似于球迷、郵迷、歌迷或影迷，酷愛研究諾貝爾獎獲得者且樂此不疲），倡議在國際上創(chuàng)建諾學(xué)（類似于中國的紅學(xué)）。E-mail：1461877797@qqcom。