數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)理當(dāng)以學(xué)生思維發(fā)展為核心。然而受傳統(tǒng)教學(xué)觀念和教育功利化因素影響，當(dāng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中仍存在著片面追求知識(shí)速成、解題訓(xùn)練過多過濫的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生思維離散膚淺、僵化刻板而缺乏靈性。這種狀況若不改變，必將嚴(yán)重阻礙數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高，嚴(yán)重制約高素質(zhì)人才的培養(yǎng)。在目前課堂教學(xué)仍占主導(dǎo)地位的學(xué)校教育中，如何有效開展教學(xué)活動(dòng)，以助推學(xué)生的思維發(fā)展？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，探索出以催生高效課堂為目標(biāo)、助推學(xué)生思維靈性發(fā)展為核心、培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)研究能力和團(tuán)隊(duì)精神為抓手的教學(xué)模式——微課題研學(xué)模式，與同行共同探討。

一、微課題研學(xué)模式的主要內(nèi)涵

微課題，即以學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到或出現(xiàn)的問題為研究對(duì)象，著眼于在真實(shí)的學(xué)習(xí)情境中發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題。它最大的特點(diǎn)是“切口小、可操作”，解決的是小而有研究?jī)r(jià)值、簡(jiǎn)單可行的問題。

“微課題研學(xué)”的內(nèi)涵是將課程中蘊(yùn)含的教學(xué)資源升格為可以在課堂上進(jìn)行研究的“微課題”。它是通過教師構(gòu)建位于學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的、蘊(yùn)含當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)的“微課題”作為平臺(tái)，讓學(xué)生綜合運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以定向研究的方式對(duì)“微課題”開展研學(xué)，通過自主探索、合作交流，在研究中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中研究，學(xué)生通過有益的探索，在獲取知識(shí)的同時(shí)發(fā)展思維的一種教學(xué)方式。通過對(duì)微課題的研學(xué)，學(xué)生經(jīng)歷活動(dòng)或探究過程，在活動(dòng)和探究中體驗(yàn)和感知數(shù)學(xué)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、思考問題和解決問題。

“微課題研學(xué)”課堂模式旨在充分利用新課程教學(xué)資源，設(shè)計(jì)“微課題”，通過學(xué)生在“微課題研學(xué)”中探索、發(fā)現(xiàn)和解決問題，有效轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)環(huán)境中，激發(fā)思維靈性和創(chuàng)造力，培養(yǎng)一定的科研能力；同時(shí)讓教師樹立“以人為本、張揚(yáng)個(gè)性、和諧發(fā)展”的教育理念，培育新型師生關(guān)系，從根本上改變傳統(tǒng)的教學(xué)方法，構(gòu)建真正有價(jià)值的高效課堂。

二、微課題研學(xué)模式的教學(xué)實(shí)施方略

蘇霍姆林斯基說過：特別重要的一點(diǎn)是要使學(xué)生感到自己是一個(gè)研究者、思考者，而不是消極的知識(shí)“掌握者”。微課題研學(xué)課堂模式即在教師創(chuàng)設(shè)的“微研究”環(huán)境下，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)過程中的“研究者”。學(xué)生親歷“微課題”研究，積累解決問題的外顯操作經(jīng)驗(yàn)和內(nèi)隱數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在師生合作互動(dòng)中親身體驗(yàn)尋求解決問題的方法，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)方法的有效內(nèi)化和思維能力的有效發(fā)展。落實(shí)到操作層面，如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中實(shí)施微課題研學(xué)？在微課題研學(xué)中如何適時(shí)把握助推學(xué)生思維發(fā)展的契機(jī)，以助推學(xué)生思維的發(fā)展？筆者以例行文，談一談自己的做法與體會(huì)。

1.研學(xué)概念 助推學(xué)生思維從離散達(dá)致融通

數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系形成了教學(xué)內(nèi)容的基本框架?！敖柚筛拍罴捌湎嗷ブg的關(guān)系（通常稱之為命題或原理）構(gòu)成的知識(shí)層級(jí)結(jié)構(gòu)，來(lái)證明人類頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，借此查明結(jié)構(gòu)中的錯(cuò)誤概念，由此促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步分化、合理化”。從概念理解的理論看，概念的學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)“同化”或“順應(yīng)”的過程，“同化”或“順應(yīng)”是通過概念間的聯(lián)系來(lái)實(shí)現(xiàn)的。從教與學(xué)的角度來(lái)看，概念間的邏輯聯(lián)系應(yīng)該成為最有效的聯(lián)系，這種聯(lián)系的確定不僅能促進(jìn)學(xué)生思考的深度思維參與，亦能幫助學(xué)生建立牢固的概念知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。因此，對(duì)于那些與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念有著邏輯關(guān)聯(lián)的概念，我們可以通過邏輯演繹或類比推理過程，幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)概念。

【研學(xué)案例1】圓錐曲線統(tǒng)一定義研學(xué)

在分別對(duì)圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的概念、方程、性質(zhì)研究行將結(jié)束的時(shí)候，教材不失時(shí)機(jī)地推出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義。仔細(xì)研讀教材可以發(fā)現(xiàn)，教材（蘇教版選修2-1p49）中先利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)圖像研究“平面上到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（F∈l）的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡”問題，并就0

此問題很有意思，結(jié)論也是肯定的，自然會(huì)引起學(xué)生探索其中的奧秘。引導(dǎo)學(xué)生先考察橢圓。讓學(xué)生回看教材橢圓定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。學(xué)生研究發(fā)現(xiàn)在利用橢圓定義推導(dǎo)橢圓方程過程中有

■+■=2a，移項(xiàng)后平方，有a2-cx=a■（*）。學(xué)生研究發(fā)現(xiàn)等號(hào)右邊的■可以看成橢圓上點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F（c，0）的距離，進(jìn)而想到將方程兩邊同時(shí)除以a，得a-■x=■，提取■（向圓錐曲線統(tǒng)一定義中的常數(shù)e靠攏），得■=■=e，由（*）式易知a2-cx>0，即■-x>0，故該式又可以寫成■=■=e，即為圓錐曲線統(tǒng)一定義形式。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用同樣的方法研究雙曲線的定義。

數(shù)學(xué)概念不是孤立的。設(shè)置概念性微課題應(yīng)充分利用概念間的邏輯聯(lián)系設(shè)置有思維價(jià)值的問題，將學(xué)生帶入“憤悱”的境地。對(duì)概念性課題的研學(xué)必須讓學(xué)生自主參與概念的產(chǎn)生、發(fā)展和融合的過程，獲得親身體驗(yàn)，逐步形成一種愛置疑、樂探究的心理傾向，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新的積極欲望。教師要理解和信任學(xué)生，要大膽放手讓學(xué)生用數(shù)學(xué)手段表征問題；在形成概念時(shí)，要留給學(xué)生充足的獨(dú)立思考的時(shí)間和空間，做必要的時(shí)間等待。在研學(xué)過程中要適時(shí)、多角度、全方位地提出有價(jià)值的問題讓學(xué)生思考；指導(dǎo)學(xué)生自主地建構(gòu)新概念；在辨識(shí)概念時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑中尋求問題的答案，在質(zhì)疑和尋求答案的過程中構(gòu)建融合的概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在研學(xué)的過程中，學(xué)生獲得的不僅是融會(huì)貫通、網(wǎng)絡(luò)清晰的概念知識(shí)體系，思考問題的方式也在悄然變化，有助于學(xué)生思維從離散達(dá)致融通。

2.本質(zhì)探源研學(xué) 助推學(xué)生思維走向深刻

強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是本輪高中課改的重要理念。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，在堅(jiān)持適度形式化的前提下，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，能夠讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，使他們自覺地將個(gè)體思維融入數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程中，由此及彼、由表及里、去粗取精、去偽存真，讓學(xué)生思維從膚淺走向深刻，洞察研究對(duì)象和事實(shí)的實(shí)質(zhì)，深刻領(lǐng)悟蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法。培養(yǎng)學(xué)生的思維深度，就是要引導(dǎo)學(xué)生刨根問底，追本溯源，而不是單純的模仿和機(jī)械地訓(xùn)練。

【研學(xué)案例2】圓的對(duì)稱性的解析表述研究——三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

在日常聽評(píng)課中，筆者發(fā)現(xiàn)許多教師對(duì)《三角函數(shù)誘導(dǎo)公式》一節(jié)的教學(xué)處理是從“對(duì)于范圍內(nèi)非銳角的三角函數(shù)，能否轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)呢？如果能，轉(zhuǎn)化公式是什么？”這一角度展開教學(xué)。教學(xué)中，由于誘導(dǎo)公式太多，學(xué)生記不住，教師又將其進(jìn)一步概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，試圖通過記憶強(qiáng)化和模仿、反復(fù)訓(xùn)練讓學(xué)生掌握誘導(dǎo)公式。這種做法學(xué)生學(xué)得很累，教學(xué)效果還大打折扣。

讓我們先看一下教材（蘇教版必修4p18）是怎么處理的：先從定義的角度給出第一組誘導(dǎo)公式：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等；隨即給出問題：“除此之外還有一些角，它們的終邊具有某種特殊關(guān)系，如關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱等。那么它們的三角函數(shù)值有何關(guān)系呢？”這樣的做法其實(shí)是從誘導(dǎo)公式的本質(zhì)（圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性和軸對(duì)稱性的解析表述）出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，但如果直接拋出教材上的問題，可能會(huì)讓學(xué)生感到有點(diǎn)“懸”：你是怎么想到提出這樣的問題的？筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)置微課題供學(xué)生研究：三角函數(shù)刻畫了單位圓上點(diǎn)的變化規(guī)律?？梢韵胂螅幕拘再|(zhì)與圓的幾何性質(zhì)有著內(nèi)在的必然聯(lián)系。大家知道，圓的最重要的性質(zhì)就是它的對(duì)稱性，如：以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，以任意直徑為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形等。這種對(duì)稱性如何用三角函數(shù)進(jìn)行刻畫呢？在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考教材上的問題，讓學(xué)生通過研究單位圓上點(diǎn)的對(duì)稱并從解析的角度進(jìn)行刻畫。如此處理，誘導(dǎo)公式水到渠成，學(xué)生有著獨(dú)立思考、自主探索的機(jī)會(huì)，經(jīng)歷了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，其對(duì)公式的理解必然是精透的，又何愁其不能熟練把握？

3.問題拓展中研學(xué) 助推學(xué)生思維走向靈活

傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)中，教師比較注重以“知識(shí)概要→范例分析→學(xué)生模仿→鞏固強(qiáng)化”為特征的流程式教學(xué)，學(xué)生處于被動(dòng)同化認(rèn)知狀態(tài)，知識(shí)難以得到有效內(nèi)化。長(zhǎng)此以往，學(xué)生思維容易僵化、刻板而喪失靈活性。筆者在教學(xué)實(shí)踐中，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生立足教材問題的再拓展研學(xué)，于引申中品味，于切磋中發(fā)現(xiàn)，于比較中鑒別，于反饋中深入，于拓展中激發(fā)，于聯(lián)想中感悟，于創(chuàng)新中陶冶，讓學(xué)生伴隨著對(duì)問題解答經(jīng)歷多次螺旋式循環(huán)探究，不斷地進(jìn)行有意義的知識(shí)與方法構(gòu)建而達(dá)到舉一反三、觸類旁通之效，有助于學(xué)生思維從刻板走向靈活。

【研學(xué)案例3】酒杯中的解析幾何問題研學(xué)

蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第63頁(yè)“探究·拓展”題8：一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）。在杯內(nèi)放入一只玻璃球，要使球觸及酒杯底部（如圖1所示），那么玻璃球的半徑r應(yīng)滿足什么條件？

在學(xué)生完成的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生將該題進(jìn)行延伸研究。

（1）軸截面為直角形酒杯（或橢圓形酒杯）（如圖2所示）。如果將一個(gè)玻璃球放入杯中，玻璃球的半徑滿足什么條件時(shí)，玻璃球一定會(huì)觸及酒杯的杯底？

（2）設(shè)想在軸截面為拋物線形酒杯x2=2y（0≤y≤20）中，放入一根粗細(xì)均勻，長(zhǎng)度為3的光滑鋼針（如圖3所示，端點(diǎn)與酒杯壁之間的摩擦忽略不計(jì)），那么當(dāng)鋼針最后達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，其在酒杯中的位置如何？

（3）在上述問題的基礎(chǔ)上，再拓展為更一般的問題：如果鋼針的長(zhǎng)度為l，那么對(duì)于不同的l值，鋼針的平衡狀態(tài)又將如何？你能說明理由嗎？

（4）如果將拋物線形酒杯換成直角酒杯或橢圓形酒杯（如圖4所示），結(jié)論又將如何？

（5）假設(shè)鋼針粗細(xì)不均勻（不妨設(shè)其重心在三等分點(diǎn)處），若將一根這樣的鋼針放入直角形酒杯（或橢圓形酒杯）中，那么當(dāng)最后達(dá)到平衡時(shí)，鋼針在酒杯中的位置如何？

讓學(xué)生參與教材習(xí)題改編拓展研究，把問題的本來(lái)面目暴露給學(xué)生，不僅能幫助學(xué)生透過現(xiàn)象看清本質(zhì)，避免了就題論題的宿命，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生思維的開闊性。把問題從個(gè)案向一般化方向拓展，符合學(xué)生的一般認(rèn)知習(xí)慣，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)、研究的積極性；在問題拓展和解決的同時(shí)，也給了學(xué)生思考和研究問題的方式，這也正是我們常規(guī)教育所難以企及的高度。

4.知識(shí)延伸研學(xué) 助推學(xué)生思維通達(dá)廣闊

仔細(xì)研讀新課標(biāo)教材（以蘇教版為例），我們不難發(fā)現(xiàn)，教材通過設(shè)置思考·運(yùn)用、探究·拓展、實(shí)習(xí)作業(yè)等內(nèi)容，對(duì)知識(shí)發(fā)展、背景問題、思想方法方面進(jìn)行整合，呈現(xiàn)出以教材核心內(nèi)容為課題進(jìn)行拓展延伸的基本框架，意在讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)、感知數(shù)學(xué)、建立數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)。教材中蘊(yùn)含的豐富教學(xué)資源，為創(chuàng)造性地開展教學(xué)活動(dòng)提供了廣闊的空間。

【研學(xué)案例4】從函數(shù)的奇偶性到對(duì)稱性研學(xué)

函數(shù)奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)。教材從函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、關(guān)于軸對(duì)稱出發(fā)，提煉抽象出函數(shù)奇偶性的概念：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，對(duì)？坌x∈A，f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），f（x）則稱為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。根據(jù)定義，我們很自然地想到：f（x）圖像關(guān)于y軸對(duì)稱？圳對(duì)？坌x∈A，f（-x）=f（x）；f（x）圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱？圳對(duì)？坌x∈A，f（-x）=-f（x）。給出微課題：對(duì)于一般意義下的函數(shù)圖像對(duì)稱，如函數(shù)f（x）圖像關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱或關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱（其中a為常數(shù)），你能得到什么結(jié)論？

經(jīng)過上述系列過程研究，學(xué)生對(duì)一般意義下的軸對(duì)稱問題有了更清晰、更深刻的認(rèn)識(shí)，這是結(jié)論式教學(xué)所無(wú)法匹及的。有了這樣的基礎(chǔ)，學(xué)生研究函數(shù)f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱（其中a為常數(shù)）問題將易如反掌。課后還可以布置學(xué)生思考：函數(shù)f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱（其中a，b為常數(shù)），結(jié)論又將如何？讓學(xué)生在課堂研學(xué)的基礎(chǔ)上，學(xué)科知識(shí)和研究問題的思想、方法得到進(jìn)一步的升華，有助于學(xué)生的思維從囿隅通達(dá)廣闊。學(xué)生獲得的不僅是知識(shí)的延伸，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善，更是思想方法的升華。

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是要讓學(xué)生的思維得到切實(shí)有效的發(fā)展。微課題研學(xué)課堂上，在教師不斷深入的引導(dǎo)和激勵(lì)下，學(xué)生的思維活動(dòng)由表層數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)思想方法的形成過程。當(dāng)研究成為自覺行動(dòng)時(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效發(fā)展也就成為必然。表面上，微課題研學(xué)課堂上學(xué)習(xí)（研究）的內(nèi)容并不多，但思維容量大，思維價(jià)值高，更有助于學(xué)生思維的有效發(fā)展。相信這樣的思維訓(xùn)練才真正符合高效課堂理念。

參考文獻(xiàn)

[1] 蘇霍姆林斯基.給教師的建議（修訂版）.杜殿坤譯.北京：教育科學(xué)出版社，1984.

[2] 章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010（3～5）.

[3] 羅強(qiáng).讓學(xué)生更多地學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2002（9）.

[4] 王曉東.高三復(fù)習(xí)課中的“課題研究式”教學(xué).中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011（12）.

[5] 王升.現(xiàn)代教學(xué)論.石家莊：河北人民出版社，2006.

[6] 陳唐明.微課題研學(xué)催生靈動(dòng)高效的數(shù)學(xué)課堂.教育理論與實(shí)踐，2011（6）.

[7] 陳唐明.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的有效實(shí)施.教學(xué)與管理（中學(xué)版），2010（12）.

（責(zé)任編輯 劉永慶）