一類特殊數(shù)列通項(xiàng)的普遍求法的研究

現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列一直是高考的必考點(diǎn)，而數(shù)列解答題中出現(xiàn)的第一個(gè)問(wèn)題一般就是求數(shù)列通項(xiàng).求數(shù)列通項(xiàng)大致有三種情況：一是根據(jù)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出該數(shù)列的通項(xiàng)，二是利用等差或等比數(shù)列的性質(zhì)求通項(xiàng)，三是已知數(shù)列前幾項(xiàng)求通項(xiàng)及

利用遞推式求通項(xiàng).其中第三種情況比較復(fù)雜，但應(yīng)用也較廣.本文主要對(duì)已知遞推式求通項(xiàng)進(jìn)行一下探討.

一、遞推式化成類似an-an-1=f（n）的形式.這種形式可以用累加法來(lái)求通項(xiàng)

例2.設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解析：給出的遞推式是關(guān)于an，an+1的二次齊次式，我們可以采用因式分解，找出an，an+1的直接關(guān)系.上式因式分解可得：

（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0

這種方法關(guān)鍵是如何找出輔助數(shù)列，這時(shí)往往要用待定系數(shù)法來(lái)求輔助數(shù)列，當(dāng)然這得對(duì)給出的遞推式進(jìn)行觀察分析，找出輔助數(shù)列的特征，大致有以下幾種情形.

1.an+1=pan+q型（p，q為常數(shù)，且p不為0）.

觀察其特征可引入一等比數(shù)列，設(shè)an+1=pan+q可變形為an+1-t=p（an-1）.

例3.{an}中，a1=1，an=3an-1+2（n>1），求an.

解析：設(shè)an-t=3（an-1+1），∴t=-1∴遞推式可化為an+1=3（an-1+1）

∴{an+1}是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a1+1=2，公比為3，則不難求出通項(xiàng)公式.

3.an+2=pan+1+qan型.先用待定系數(shù)法，an+2=pan+1+qan可變形為an+2-man+1=t（an+1-man），即an+2=t（m+t）an+1-mtan，∴m+t=pmt=-q，求出m，t，從而{an}是公比為t的等比數(shù)列，將其轉(zhuǎn)化為類型2，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為類型1.

例5.已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，且Sn+1=4an+2，求an.

解析：本題給出的不是遞推式，但由于Sn的表達(dá)式可得出式a2=S2-S1=5，an+2=4an+1-4an，設(shè)an+2-man+1=t（an+1-man），即有m+t=4mt=4

（作者單位 陜西省興平市南郊中學(xué)）