摘 要：橢圓、雙曲線和拋物線方程一直是高考的熱點，本文就如何在極坐標系中使橢圓、雙曲線、拋物線方程達到統(tǒng)一，提出自己的觀點.

關鍵詞：極坐標；橢圓；雙曲線；拋物線方程；統(tǒng)一

《數(shù)學教學通訊》（中等教育）2013年4期發(fā)表的郭新祝老師的論文《在極坐標系中橢圓、雙曲線、拋物線方程的統(tǒng)一》中探究的教材（蘇教版選修4-4）中，給出的圓錐曲線極坐標方程僅僅是極點建立在橢圓的左焦點（雙曲線的右焦點）情況下的方程，而對于另外三種形態(tài)，即極點分別建立在橢圓的右、上、下焦點的情況，則沒有探究，下面筆者就帶領大家一起去進一步探討挖掘！

（一）如圖1，當極點建立在橢圓的右焦點（雙曲線的左焦點）時，

ρ=■（Ⅱ）

當0

當e=1時，方程（Ⅱ）表示開口向左的拋物線，定點F是該拋物線的焦點，定直線l是該拋物線的準線；此時，ρ=■，拋物線焦點極坐標為（0，0），頂點極坐標為■，0；拋物線準線方程為ρcosθ=p.

當e>1時，方程（Ⅱ）表示雙曲線，定點F是該雙曲線的左焦點，定直線l是該雙曲線的左準線. 與方程（Ⅰ）情形相同，對于雙曲線中的a，b，c結果也不變，即a=■，b=■，c=■，即雙曲線的實軸長為■，虛軸長為■，焦距為■，此時，雙曲線中心極坐標為■，0；雙曲線的左焦點極坐標為（0，0），右焦點極坐標為■，0；雙曲線的左頂點極坐標為■，0，雙曲線右頂點極坐標為■，0；雙曲線的左準線方程為ρcosθ=p，右準線方程為ρcosθ=■；

綜上所述，對于方程ρ=■，當e≠1即方程不表示拋物線時，

有結論（?。゛=■，c=■，b=■；

？搖？搖？搖（ⅱ）橢圓或雙曲線的中心極坐標為■，0；

？搖？搖？搖（ⅲ）橢圓的左（雙曲線的右）焦點極坐標為■，0，橢圓的右（雙曲線的左）焦點極坐標為（0，0）；

（ⅳ）橢圓的左（雙曲線的右）頂點極坐標為■，0，橢圓的右（雙曲線的左）頂點極坐標為■，0；

（ⅴ）橢圓的左（雙曲線的右）準線方程為ρcosθ=■，橢圓的右（雙曲線的左）準線方程為ρcosθ=p.

（二）如圖2，當極點建立在橢圓的上焦點（雙曲線的下焦點）時，如圖3，

ρ=■（Ⅲ）

■

圖2

當0

當e=1時，方程（Ⅲ）表示開口向下的拋物線，定點F是該拋物線的焦點，定直線l是該拋物線的準線；此時，ρ=■，拋物線焦點極坐標為（0，0），頂點極坐標為■，■；

拋物線準線方程為ρsinθ=p.

當e>1時，方程（Ⅲ）表示雙曲線，定點F是該雙曲線的下焦點，定直線l是該雙曲線的下準線，此時，a=■，b=■，c=■；雙曲線的實軸長為■，虛軸長為■，焦距為■；此時，雙曲線中心極坐標為■，■；雙曲線的上焦點極坐標為■，■，下焦點極坐標為（0，0）；雙曲線的上頂點極坐標為■，■，雙曲線下頂點極坐標為■，■；雙曲線的上準線方程為ρsinθ=■，下準線方程為ρsinθ=p；

綜上所述，對于方程ρ=■，當e≠1即方程不表示拋物線時，

有結論（?。゛=■，c=■，b=■；

？搖？搖？搖（ⅱ）橢圓或雙曲線的中心極坐標為■，■；

（ⅲ）橢圓的上（雙曲線的下）焦點極坐標為（0，0），橢圓的下（雙曲線的上）焦點極坐標為■，■；

（ⅳ）橢圓的上（雙曲線的下）頂點極坐標為■，■，橢圓的下（雙曲線的上）頂點極坐標為■，■；

（ⅴ）橢圓的上（雙曲線的下）準線方程為ρsinθ=p，橢圓的下（雙曲線的上）準線方程為ρsinθ=■.

（三）如圖3，當極點建立在橢圓的下焦點（雙曲線的上焦點）時，？搖

ρ=■（Ⅳ）

當0

當e=1時，方程（Ⅳ）表示開口向上的拋物線，定點F是該拋物線的焦點，定直線l是該拋物線的準線；此時，ρ=■；

拋物線焦點極坐標為（0，0），頂點極坐標為■，■；拋物線準線方程為ρsinθ=-p.

當e>1時，方程（Ⅳ）表示雙曲線，定點F是該雙曲線的上焦點，定直線l是該雙曲線的上準線. 此時，a=■，b=■，c=■，雙曲線的實軸長為■，虛軸長為■，焦距為■，此時，雙曲線中心極坐標為■，■或■，■，雙曲線的上焦點極坐標為（0，0），下焦點極坐標為■，■或■，■，雙曲線的上頂點極坐標為■，■，雙曲線下頂點極坐標為■，■或■，■；雙曲線的上準線方程為ρsinθ=-p，下準線方程為ρsinθ=■；

綜上所述，對于方程ρ=■，當e≠1即方程不表示拋物線時，

有結論（?。゛=■，c=■，b=■；

（ⅱ）橢圓或雙曲線的中心極坐標為■，■；

（ⅲ）橢圓的上（雙曲線的下）焦點極坐標為■，■，橢圓的下（雙曲線的上）焦點極坐標為（0，0）；

（ⅳ）橢圓的上（雙曲線的下）頂點極坐標為■，■，橢圓的下（雙曲線的上）頂點極坐標為■，■；

（ⅴ）橢圓的上（雙曲線的下）準線方程為ρsinθ=■，橢圓的下（雙曲線的上）準線方程為ρsinθ=-p.