摘 要：評(píng)價(jià)一堂數(shù)學(xué)課的好壞是多方面的，但數(shù)學(xué)方面的評(píng)價(jià)是最重要的，數(shù)學(xué)課不僅要讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，還要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的思想方法. 函數(shù)奇偶性教學(xué)中要讓學(xué)生體會(huì)局部把握整體的思想、定義的邏輯必要性，及其在知識(shí)結(jié)構(gòu)中的地位. 教師要清楚定義判斷與特值法判斷非奇非偶思維層次上的差異性.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；知識(shí)結(jié)構(gòu)；邏輯必要性；函數(shù)奇偶性

近來(lái)筆者聽(tīng)了富陽(yáng)市某高中陳老師的一節(jié)《函數(shù)奇偶性》的公開(kāi)課，富陽(yáng)市基本普及了高中教育，該所學(xué)校高中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诟魂?yáng)市所有學(xué)生中居中等. 筆者深知，要教好數(shù)學(xué)，做好學(xué)情分析當(dāng)然是必要的，只有搞清了學(xué)情，才能知道學(xué)生在學(xué)習(xí)中哪塊知識(shí)會(huì)成為難點(diǎn)，最近發(fā)展區(qū)在哪兒. 但聽(tīng)了公開(kāi)課后，筆者深切地感受到，讀懂?dāng)?shù)學(xué)同學(xué)情分析同樣重要，只有讀懂?dāng)?shù)學(xué)，才能知道教什么，為什么教. 只有讀懂?dāng)?shù)學(xué)，才能看清數(shù)學(xué)的本質(zhì). 中學(xué)數(shù)學(xué)看似簡(jiǎn)單，實(shí)則不然，要讀懂并不容易.因?yàn)楹?jiǎn)單的背后往往蘊(yùn)藏著深刻的思想與方法；只有在讀懂的基礎(chǔ)上進(jìn)行的教學(xué)才有可能抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而進(jìn)行有效的、優(yōu)質(zhì)的教學(xué).

教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)述

1.回顧初中學(xué)過(guò)的中心對(duì)稱和軸對(duì)稱知識(shí)，并求P（3，2）關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo). 一般地，求P（a，b）關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

2. 出示函數(shù)f（x）=x2，f（x）=x的圖象，均有f（1）=f（-1），f（-2）=f（2），f（-3）=f（3），對(duì)于任意的x，有f（-x）=f（x），歸納出偶函數(shù)的定義，并歸納出偶函數(shù)的兩個(gè)特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

3. 類似地，歸納出奇函數(shù)的定義和特征.

4. 例題：判斷下列函數(shù)的奇偶性

（1）f（x）=x3；

（2）f（x）=2x2+1；

（4）f（x）=x-1（教師用f（-1）≠±f（1），說(shuō)明函數(shù)非奇非偶）

5. 判斷一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例的奇偶性.

6. 歸納小結(jié)，布置作業(yè).

這是函數(shù)奇偶性教學(xué)的常見(jiàn)流程，這一過(guò)程有幾個(gè)問(wèn)題值得我們思考.

教學(xué)過(guò)程的評(píng)述

1. 函數(shù)奇偶性蘊(yùn)涵的思想方法

函數(shù)的奇偶性蘊(yùn)涵有用局部把握整體的思想方法，為了使數(shù)學(xué)思想方法顯化，安排這樣的例題是必須的：已知奇偶函數(shù)的一半圖象，求另一半圖象. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)1》（必修）（人教版）（以下簡(jiǎn)稱人教版教材）在這一點(diǎn)上做得很好，不僅給出了思考題，還給出了相應(yīng)的練習(xí)題. 我們一線教師教學(xué)中要明白教材編寫(xiě)的意圖，把思想方法顯化. 上面教學(xué)過(guò)程中，省略相關(guān)的題目是不妥的，是沒(méi)有讀懂奇偶性知識(shí)所蘊(yùn)涵的思想方法的表現(xiàn).

2. 定義判斷函數(shù)奇偶性的邏輯必要性

如果函數(shù)的圖象是給出的，并且圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱的，這樣的函數(shù)就是偶函數(shù)；如果圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則是奇函數(shù). 如果給出一個(gè)函數(shù)的圖象，是很容易判斷函數(shù)的奇偶性的. 人教版教材就是從幾何直觀導(dǎo)出函數(shù)奇偶性的定義的. 我們把這種用圖象來(lái)判斷奇偶性的方法叫做幾何方法.

問(wèn)題是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等圖象是清楚的，能否用幾何方法進(jìn)行判斷？用幾何方法判斷以后，是否還需要用定義進(jìn)行嚴(yán)格的證明呢？我們認(rèn)為是必須用定義重新證明的. 這是因?yàn)?，?dāng)初我們畫(huà)的圖象是通過(guò)描點(diǎn)法得到的，是不精確的、粗略的，從而由這些圖象得到的結(jié)論也是靠不住的，是有可能存在問(wèn)題的. 定義證明能嚴(yán)格地保證關(guān)于y軸對(duì)稱或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而用定義得到的結(jié)論就是科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)? 否則，現(xiàn)在有了圖形計(jì)算器，所有函數(shù)的圖象都是可以畫(huà)出來(lái)的，是否都可以用幾何方法來(lái)直觀判斷？

通過(guò)這樣的思考，就得到了研究函數(shù)奇偶性定義的邏輯必要性，并且清楚了在給出函數(shù)的奇偶性定義后，有必要對(duì)初中學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等進(jìn)行奇偶性的判斷，因?yàn)橹挥信袛嘁院蟛拍芊判牡卣f(shuō)，這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)，或者是非奇非偶函數(shù)，從而明確函數(shù)圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱還是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 從這個(gè)意義上，上面的教學(xué)處理非常合理. 而人教版教材例5之后，最好再增加一個(gè)例題.

例 判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）y=kx+b（k≠0）；

（2）y=ax2+bx+c（a≠0）；

當(dāng)然，加了這個(gè)例題以后，人教版教材P36練習(xí)中的例4就可以刪掉了.

3. 函數(shù)奇偶性在知識(shí)結(jié)構(gòu)中的地位

讀懂了奇偶性定義的邏輯必要性，對(duì)把握函數(shù)奇偶性教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)也是有幫助的，如偶函數(shù)的定義“如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)”，重點(diǎn)是理解“定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x）”中x的任意性，同數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)類似，對(duì)任意性的理解也應(yīng)當(dāng)是難點(diǎn).

因?yàn)榭荚囍粫?huì)考到函數(shù)奇偶性判斷，陳老師的教學(xué)設(shè)計(jì)中，把“奇偶性的判斷”作為重難點(diǎn)，這是受應(yīng)試教育影響的結(jié)果.

我們把“x的任意性”作為難點(diǎn)，為了突破難點(diǎn)，作為教學(xué)鋪墊，我們就要在學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)中去尋找生長(zhǎng)點(diǎn). 復(fù)習(xí)初中的中心對(duì)稱和軸對(duì)稱知識(shí)是突破難點(diǎn)的一個(gè)有效手段.這樣把所學(xué)知識(shí)納入到學(xué)生的已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去了，或讓新知識(shí)有了生長(zhǎng)點(diǎn)：讓函數(shù)的奇偶性從中心對(duì)稱和軸對(duì)稱知識(shí)中自然地生長(zhǎng)出來(lái). 從這個(gè)意義上，上面的流程相比人教版教材的設(shè)計(jì)更加合理.

但由上面教學(xué)過(guò)程2得到f（-x）=f（x）后，最好回到圖象上去，說(shuō)明圖象上所有點(diǎn)都是關(guān)于y軸對(duì)稱的. 這樣也能把復(fù)習(xí)過(guò)的中心對(duì)稱和軸對(duì)稱知識(shí)用上，從而使教學(xué)的結(jié)構(gòu)更流暢，邏輯性更強(qiáng)，進(jìn)一步分析，若學(xué)生基礎(chǔ)較好，上述知識(shí)還可以拓展到一般地軸對(duì)稱與中心對(duì)稱如何用代數(shù)方法進(jìn)行判斷，從而更好把函數(shù)奇偶性納入到中心對(duì)稱和軸對(duì)稱這一知識(shí)結(jié)構(gòu)中去.

4. 促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展

上面流程中，教師用f（-1）≠±f（1），說(shuō)明函數(shù)非奇非偶，是一種反證法，是逆向思維，相比于直接用f（-x）≠±f（x）來(lái)說(shuō)明函數(shù)非奇非偶難度更大一點(diǎn). 如果只為了考試，用定義來(lái)說(shuō)明非奇非偶要好；但從兼顧知識(shí)目標(biāo)和能力目標(biāo)、促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的角度看，還是用f（-1）≠ ±f（1）來(lái)說(shuō)明非奇非偶要好.

總之，只有讀懂了教材，了解學(xué)生，才能更合理地安排例習(xí)題，才能更有效地滲透數(shù)學(xué)思想，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，才能實(shí)施更有效的教學(xué).