摘 要：數(shù)學(xué)公式是一類用純數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)概念之間數(shù)量關(guān)系且在一定范圍內(nèi)恒成立的數(shù)學(xué)命題. 公式是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分. 本文從一節(jié)課例出發(fā)，嘗試探尋公式教學(xué)過(guò)程中各個(gè)環(huán)節(jié)的策略，為公式教學(xué)提供一些建議.

關(guān)鍵詞：課堂實(shí)錄；數(shù)學(xué)公式；教學(xué)策略

筆者近期聽(tīng)取了一節(jié)名為《三角函數(shù)誘導(dǎo)公式》的錄像課，現(xiàn)以本節(jié)課為例，談?wù)劰浇虒W(xué)的策略問(wèn)題. 本課由南京師范大學(xué)附屬中學(xué)劉洪璐老師執(zhí)教，所用教材為普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（江蘇教育出版社2008年出版，以下簡(jiǎn)稱教材）必修4.

課堂實(shí)錄分析

1. 問(wèn)題情境，引入課題

片斷一：

T：同學(xué)們，在前面的學(xué)習(xí)當(dāng)中，咱們已經(jīng)將角的概念由銳角擴(kuò)充到任意角了，而且也已經(jīng)知道了任意角三角函數(shù)的定義.那么任意角三角函數(shù)值怎么去求呢？先來(lái)看問(wèn)題1：求出390°的正弦值、余弦值（PPT給出），請(qǐng)同學(xué)們思考.

T：那么和30°角終邊相同的角的同名三角函數(shù)值都相等嗎？？搖？搖

S2：相等. 終邊相同的角計(jì)算三角函數(shù)值時(shí)都可以取終邊與單位圓的交點(diǎn)，結(jié)果相同.

分析：進(jìn)行公式教學(xué)時(shí)，應(yīng)首先關(guān)注公式的來(lái)龍去脈. 所謂“來(lái)龍”不僅指對(duì)公式的推導(dǎo). 筆者認(rèn)為，公式存在的必要性也是“來(lái)龍”的一部分. 因此，公式的引入就顯得非常重要. 本課以390°的正弦值、余弦值這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題激發(fā)學(xué)生對(duì)于任意角與常用角的同名三角函數(shù)值之間關(guān)系的探討，使誘導(dǎo)公式的出現(xiàn)自然、不突兀.

2. 公式推導(dǎo)，方法總結(jié)

片斷二：

T：非常好，這兩個(gè)角的數(shù)量間有什么關(guān)系，它們角的終邊間有什么關(guān)系？

S4：30°+150°= 180°，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.

T：那就有sin（180°-30°）=sin30°. 同學(xué)們思考，式子中的30°用α替換是否成立？

S5：任作一個(gè)角的終邊與單位圓交于P，作終邊關(guān)于y軸的對(duì)稱線與單位圓的交點(diǎn)P′，P與P′縱坐標(biāo)相同（如圖2），這兩個(gè)終邊表示的角的正弦值相同. （教師幾何畫(huà)板展示）

T：很好，總結(jié)一下，剛才我們?cè)趺吹玫焦降模?/p>

S8：先作單位圓，找到α與180°-α的終邊與單位圓交點(diǎn)，它們關(guān)于y軸對(duì)稱，那么橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，就有了正弦值、余弦值的關(guān)系，正切可由余弦與正弦得到.

T：非常好，我們得到如下的關(guān)系轉(zhuǎn)化圖.

（板書(shū)）？搖 角的關(guān)系→對(duì)稱關(guān)系→坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值間的關(guān)系

下面同學(xué)們沿著這個(gè)思路，找找還有哪些角的終邊與α在坐標(biāo)系中有特殊的對(duì)稱關(guān)系？它們的同名三角函數(shù)值有沒(méi)有特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

S9：（板演，作答）我研究的關(guān)于x軸對(duì)稱，如果α在第一象限，關(guān)于x軸對(duì)稱的角就在第四象限，可以用-α來(lái)表示，這時(shí)P′點(diǎn)橫坐標(biāo)與P點(diǎn)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)（如圖3），就可得到sin（-α）= -sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.

分析：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是具有相關(guān)并列關(guān)系的公式群，相互之間結(jié)構(gòu)類似，若通過(guò)死記硬背，往往容易產(chǎn)生混淆.

本例中通過(guò)師生合作找到了研究的共同出發(fā)點(diǎn)——圖形中終邊的對(duì)稱關(guān)系. 從單位圓這一公共圖形中開(kāi)辟了一條相同的研究方法.學(xué)生通過(guò)自主探究，經(jīng)歷從數(shù)量關(guān)系到圖形關(guān)系再到數(shù)量關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，從而生成新的公式. 同時(shí)在公式記憶時(shí)，學(xué)生可將公式的代數(shù)映象轉(zhuǎn)換為視覺(jué)映象，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化. 整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生能主動(dòng)用所掌握的知識(shí)進(jìn)行師生、生生間的交流，由此學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與學(xué)習(xí)自信心得到增強(qiáng).

3. 公式運(yùn)用，深化理解

T：請(qǐng)同學(xué)們完成下列練習(xí)：

例1 求下列三角函數(shù)值

（2）cos（-60°）；

（3）tan（-855°）

（學(xué)生板演） ……

分析：本課練習(xí)只安排了例1.題目設(shè)置與本課的問(wèn)題引入“求出390°的正弦值、余弦值”保持了呼應(yīng)，使得整節(jié)課有問(wèn)有答，前后呼應(yīng). 同時(shí)三個(gè)小題涉及不同情況下角的轉(zhuǎn)化，對(duì)誘導(dǎo)公式進(jìn)行了基本運(yùn)用，且教師引導(dǎo)學(xué)生探尋不同的轉(zhuǎn)化途徑，題與題之間保證了統(tǒng)一性.

數(shù)學(xué)公式的教學(xué)策略

1. 公式引入的策略

在新公式的引入階段，為了激發(fā)學(xué)生的意義學(xué)習(xí)，加深對(duì)所學(xué)公式的感知和理解，教師應(yīng)盡力創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生集中注意、激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的情境，并以此情境為契機(jī)，促進(jìn)學(xué)生調(diào)動(dòng)原有知識(shí)結(jié)構(gòu)與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)積極同化新公式.

（1）創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境

在新公式學(xué)習(xí)之前，教師可以從與原有知識(shí)類似但原有知識(shí)無(wú)法解決的問(wèn)題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，促進(jìn)學(xué)生溫故知新. 學(xué)生若能以新舊知識(shí)的聯(lián)系為橋梁，以新舊知識(shí)的區(qū)別為突破口，對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生探究的渴望，那么這一情境的創(chuàng)設(shè)就是成功的. 如由“390°的正弦值、余弦值”引入誘導(dǎo)公式；再如由兩角和與差的正余弦公式引入二倍角公式.

（2）創(chuàng)設(shè)生活實(shí)際情境

數(shù)學(xué)公式往往很多最初都來(lái)源于生活世界，但是當(dāng)它們?cè)诮滩闹谐尸F(xiàn)時(shí)，這些生活面貌大多已經(jīng)隱去了. 如果教師能在公式展示之前賦予這些公式生活的背景，那么學(xué)生就能從被動(dòng)轉(zhuǎn)為主動(dòng). 此時(shí)數(shù)學(xué)公式的外表往往也能更加親和、容易接近，從而降低學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的畏懼程度，消除他們對(duì)新知識(shí)的抵抗心理. 如教材必修5第39頁(yè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的引入“某倉(cāng)庫(kù)堆放的一堆鋼管，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計(jì)算這堆鋼管的總數(shù)？”

（3）創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)操作情境

公式引入也可以以一些簡(jiǎn)單的、可操作的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)呈現(xiàn).數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)并不一定要以嚴(yán)密的邏輯推理或證明形式呈現(xiàn). 教師可以設(shè)計(jì)與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的、便于課堂實(shí)施的實(shí)驗(yàn)，以此為索引，引導(dǎo)學(xué)生操作、歸納、猜想新知識(shí)，再通過(guò)邏輯論證得到數(shù)學(xué)公式. 如空間幾何體的表面積公式的引入，可以在學(xué)生制作紙質(zhì)的常見(jiàn)幾何體，將幾何體剪開(kāi)得到側(cè)面展開(kāi)圖的操作過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生找到表面積公式.

（4）創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)史情境

古今中外典籍里有很多問(wèn)題的解決都與教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)，它們?cè)跉v史長(zhǎng)河中閃爍著智慧的光輝，教師有必要將這些無(wú)價(jià)之寶呈現(xiàn)給學(xué)生. 這一情境的創(chuàng)設(shè)過(guò)程可以是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的契機(jī)，可以是知識(shí)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中數(shù)學(xué)家所付出的努力，也可以是新知識(shí)在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的作用. 如等差數(shù)列求和公式的引入可以用一個(gè)學(xué)生熟知的高斯求1+2+3+…+100的和的故事，在學(xué)生給出答案后給出求1+4+7+…+67與求等差數(shù)列前n項(xiàng)和兩個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生逐步深入.

2. 公式推導(dǎo)過(guò)程的策略

當(dāng)學(xué)生通過(guò)各種情境對(duì)公式有初步朦朧認(rèn)識(shí)的時(shí)候，數(shù)學(xué)公式的教學(xué)就要轉(zhuǎn)向公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下感受知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展，主動(dòng)參與新知識(shí)的構(gòu)建.

（1）公式推導(dǎo)過(guò)程中的思維展現(xiàn)

教材中公式的面貌往往都是以最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言、最完善的符號(hào)來(lái)表達(dá)，而公式來(lái)源過(guò)程中那些真實(shí)存在過(guò)的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、探索、證明，以及種種嘗試、種種失敗都隱藏在完美結(jié)果的背后. 因此，教師在教學(xué)過(guò)程中必須要讓學(xué)生感受到人的思維活動(dòng)的存在，否則公式就只能是文字、符號(hào)，沒(méi)有溫度的堆砌.

公式教學(xué)過(guò)程中可以展現(xiàn)學(xué)生思考的思維活動(dòng). 每當(dāng)學(xué)生展現(xiàn)一次思維過(guò)程，教師可通過(guò)問(wèn)題系列的設(shè)計(jì)將學(xué)生帶入更深層次的思考. 公式教學(xué)過(guò)程中可以展現(xiàn)的還有數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程或數(shù)學(xué)教師的思維過(guò)程. 對(duì)于一些條件隱藏得較深、推導(dǎo)目標(biāo)又所知甚少的問(wèn)題，教師不妨還原教師或數(shù)學(xué)家推導(dǎo)公式的歷程，讓學(xué)生看到真實(shí)的思維過(guò)程是怎樣的. 如教材選修2-2推理案例賞析中的“棱臺(tái)體積的推導(dǎo). 這一過(guò)程并不一定要直接指向正確的解答，而是要讓學(xué)生看到教師或前人如何發(fā)現(xiàn)成果或如何從困境中尋找新的思路.

（2）公式推導(dǎo)過(guò)程中的思想方法總結(jié)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中蘊(yùn)涵著眾多的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，如數(shù)學(xué)方法中有給人們?nèi)绾嗡伎?、探索、發(fā)現(xiàn)的邏輯思維方法，包括一般化、歸納、類比等；有較為固定的操作步驟的操作程序方法，如待定系數(shù)法；也有解法奇妙的技巧性方法、非常規(guī)方法. 數(shù)學(xué)思想中有以相關(guān)數(shù)學(xué)概念為內(nèi)容背景的概念型數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)思想、方程思想、公理化思想等.

在公式的教學(xué)過(guò)程中，教師要努力讓公式課成為以知識(shí)為明線，以思想為暗線的發(fā)展過(guò)程. 隨著多節(jié)課在不同公式、不同知識(shí)點(diǎn)中反復(fù)分析、提煉、概括、反思，學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)得將不再是難事，公式的教學(xué)價(jià)值也將得以充分發(fā)揮.

3. 數(shù)學(xué)公式運(yùn)用的教學(xué)策略

學(xué)生在掌握了公式的來(lái)龍去脈后將進(jìn)入公式運(yùn)用階段. 這一階段教師要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由單一到多重、從抽象到實(shí)際的問(wèn)題背景，促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的理解.

（1）公式運(yùn)用中呈現(xiàn)載體的選擇

根據(jù)數(shù)學(xué)背景的不同可分為純數(shù)學(xué)題與應(yīng)用題. 公式運(yùn)用的呈現(xiàn)載體可以是在數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)內(nèi)部，也可以是在實(shí)際中. 例如，“已知直角梯形ABCD，AB∥CD，AB=9 m，CD=15 m，∠CAD=45°，求直角梯形的一條腰BD的長(zhǎng)”，這是一條純數(shù)學(xué)題，給它賦予不同的實(shí)際背景便得到教材必修4第103頁(yè)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題例5：“如圖4，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9 m和15 m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之間的距離BD”.

（2）公式運(yùn)用中的認(rèn)知層次

可變形為a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，也可變形為a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.

公式教學(xué)應(yīng)是公式自然出現(xiàn)、公式探索推導(dǎo)、公式靈活運(yùn)用三位一體的過(guò)程. 每個(gè)環(huán)節(jié)都需要教師精心設(shè)計(jì)，學(xué)生充分參與，長(zhǎng)此反復(fù)，公式教學(xué)才能成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)動(dòng)力、情感源泉.