摘　　要：解析幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)中一直是重點(diǎn)、難點(diǎn)，學(xué)生往往懼怕其兩點(diǎn)，其一是解析幾何問題如何從條件中迅速找尋突破口，將問題轉(zhuǎn)化為能解決的數(shù)學(xué)語言；其二是令人望而生畏的運(yùn)算.　本文從一個(gè)公開課的試題出發(fā)，以小見大，探索教學(xué)中如何指導(dǎo)學(xué)生解決常規(guī)的解析幾何問題.

關(guān)鍵詞：解析幾何；探索；韋達(dá)定理；數(shù)形結(jié)合

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，它溝通了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，頗為精妙，但代數(shù)語言與幾何背景的轉(zhuǎn)化互譯對學(xué)生的思維能力要求較高，一直以來學(xué)生均視之為畏途.　如何才能幫助學(xué)生探索其中的規(guī)律，學(xué)會快速找到解析幾何問題的突破口，筆者也一直在探索中.　近期筆者在本市一節(jié)公開課中是以以下這則教學(xué)片段進(jìn)行的一次嘗試，深刻地挖掘了代數(shù)幾何之間在圓錐曲線中的聯(lián)系，廣受好評，現(xiàn)與讀者一起分享．

■教學(xué)片斷

……

例題　　已知拋物線C：y2=4x，以M（1，2）為直角頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接Rt△MAB．

（1）求證：直線AB過定點(diǎn)；

（2）過點(diǎn)M作AB的垂線交AB于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的軌跡方程．

教師：首先請簡要分析題意及問題1．

學(xué)生1：點(diǎn)M為Rt△MAB的直角頂點(diǎn)，所以MA⊥MB，則斜率kMA，kMB必存在且有kMA·kMB=－1．

教師：很好，說明你掌握了從條件入手將幾何問題代數(shù)化的思想，還有誰補(bǔ)充的？

學(xué)生2：問題1要求證直線AB過定點(diǎn)，可以先求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式直線方程求直線AB的方程來找定點(diǎn)．

教師：如何求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)？

學(xué)生2：可以設(shè)斜率kMA=k，則kMB=?。?，得MA，MB的點(diǎn)斜式直線方程，再聯(lián)立拋物線方程即可．

教師：從問題出發(fā)，基本思路已經(jīng)成形，請大家動筆試算一下．?。ㄎ宸昼姾鬅o一人能解出定點(diǎn)，學(xué)生一片嘩然，感嘆運(yùn)算能力確非一日之功）

教師：那么有沒有別的方法來縮減計(jì)算量呢？（學(xué)生思考中）

■合縱連橫

教師：請同學(xué)們變換角度思考，看能否找到計(jì)算相對簡便的方法呢？回想，我們曾經(jīng)做過一些直線過定點(diǎn)的問題，如：已知直線x+my+3m－1=0，求證：無論m取何值，該直線必過定點(diǎn)．　這一題如何解？

學(xué)生4：直線過定點(diǎn)（1，－3）．

教師：將此方法類比到問題1，有同學(xué)找到思路了嗎？

學(xué)生5：求證直線AB過定點(diǎn)，是不是也可以設(shè)直線AB的含參方程呢？

教師：不妨一試.

學(xué)生5：這里kAB有可能不存在，可以設(shè)x=my+a，m一定存在，可以避免分類討論．

教師：（鼓掌）精彩，你為大家展現(xiàn)了你的思維過程，而且分析確有依據(jù)，那么大家一起沿著這個(gè)思路來嘗試解題吧．

（5分鐘后多數(shù)學(xué)生遇到了瓶頸）

■顯出原形

教師：讓我們互相交流看看問題所在．

學(xué)生6：我的問題是，消元并提取出韋達(dá)定理，但之后就沒有方向了．

學(xué)生7：（踴躍舉手）我之前也有這個(gè)問題，但我發(fā)現(xiàn)韋達(dá)定理反映的是點(diǎn)坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，而問題的關(guān)鍵條件MA⊥MB借助平面向量垂直的坐標(biāo)表示也正可以化為點(diǎn)坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，因此，我設(shè)了A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），利用■·■=0得到了x1x2－（x1+x2）+y1y2－2（y1+y2）+5=0，韋達(dá)定理就可以用了．

教師：很好，那么消元并提取出韋達(dá)定理的步驟你用了幾次？

學(xué)生7：（會意地笑了）A，B兩點(diǎn)在拋物線C上，所以點(diǎn)坐標(biāo)滿足x=■，所以x1x2，x1+x2用y1y2，y1+y2來表示，消元并提取出韋達(dá)定理的步驟只需要用一次．

教師：很好……

學(xué)生7：（迫不及待）但我的問題在韋達(dá)定理應(yīng)用后，得到關(guān)于a，m的方程a2－6a+5－4m2－8m=0，就不知道怎么辦了．?。▽W(xué)生一片啞然，無人回答）

教師：解題進(jìn)行到這里，需要反思，為什么要這樣做？設(shè)直線AB的含參方程，通過分離參數(shù)來求定點(diǎn)，但由于條件所限，我們設(shè)的是“雙參數(shù)方程”，無法直接進(jìn)入分離系數(shù)的步驟了，但卻得到了關(guān)于a，m的一個(gè)等量關(guān)系式，等價(jià)關(guān)系可以起到什么作用？

學(xué)生8：消元！

教師：對，消元的本質(zhì)是用一個(gè)變量來表示另一個(gè)變量．?。ōh(huán)顧四周，已有學(xué)生開始演算）

學(xué)生9：我把它看成a的一元二次方程，用公式法解出了a關(guān)于m的表達(dá)式a=3±2（m+1），分別代入直線AB的方程，當(dāng)a=3+2（m+1）時(shí)，得到定點(diǎn)坐標(biāo)為（5，－2）；當(dāng)a=3－2（m+1）時(shí)定點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），即點(diǎn)M，應(yīng)該舍去，所以得證直線AB必過定點(diǎn)（5，－2）．?。ń處燑c(diǎn)頭贊許了生9，馬上又有人舉手）

學(xué)生10：老師，我的方法只需要把關(guān)于a，m的方程配方為（a－3）2=4（m+1）2，就可以得到a=3±2（m+1）了．

教師：很好，不論公式法還是配湊法，同學(xué)們都了解到二元等式消元的作用，它幫助我們實(shí)現(xiàn)了已知向未知的轉(zhuǎn)變，那么我們來總結(jié)這一小題帶來的收獲吧．

……

■案例啟示

1.　因勢利導(dǎo)　自然成行

學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就像海綿吸水，一塊干的海綿，要讓它吸飽水分，不能將它一丟入水盆就迅速撈起，而需要等待片刻，才能看到它逐漸鼓脹．　我們的教學(xué)，特別是解題教學(xué)，不能采取“注入”的方式，而應(yīng)采取“浸入”的方式，逐漸讓學(xué)生自行消化吸收解題時(shí)產(chǎn)生的可行性經(jīng)驗(yàn)．　案例中，學(xué)生在多次嘗試定式思維后碰壁，教師適時(shí)拋出一系列問題與提示，使學(xué)生自行反思與優(yōu)化思維過程，一步步看似進(jìn)展緩慢，實(shí)則在學(xué)生頭腦中形成了思維風(fēng)暴，圍繞題設(shè)條件展開了地毯式搜索，通過不斷篩選相關(guān)的解題技巧，終使解題思路自然成型．　這種碰壁、折返、修正的曲折的思維過程比教師一氣呵成的完整示范更令人印象深刻．

2.　建立信心　一題多試

解析幾何“不難也繁”的解題特征容易引發(fā)學(xué)生一些不良心理現(xiàn)象，如對問題的無端畏懼、對計(jì)算的厭惡、解題初獲成功便疏忽大意等等．　這就需要教師在課堂教學(xué)時(shí)去呈現(xiàn)一種水到渠成的解題態(tài)勢．　本案例中，在教師引導(dǎo)之下學(xué)生自行解出答案的整個(gè)教學(xué)過程其實(shí)帶給學(xué)生一種成功暗示，給學(xué)生樹立一個(gè)范例，“原來這樣思考是可以最終解決問題的”，在問題面前首先樹立起解題的信心，這很重要．　同時(shí)，最終解決方法優(yōu)于前一種方法，也給學(xué)生一種“一題多解亦是有跡可循”的印象，這種印象產(chǎn)生的正能量促使學(xué)生在今后解題時(shí)從開闊的視野去探尋解題思路，而不是苦苦掙扎于一隅而不得法．

3.　思維聚合　望穿秋水

本案例中，師生對話從開始的師問生答、師點(diǎn)（撥）生（分）析到之后的生問生答與師贊（賞）生辨（析），學(xué)生逐漸站在了課堂的主導(dǎo)地位，思維的參與度愈來愈高，且解題的整個(gè)思辨過程得以充分暴露，體現(xiàn)了思維本身就是一個(gè)不斷提問、不斷解答、不斷追問、不斷明朗的過程．　這個(gè)過程的最終結(jié)果是，學(xué)生都通過自身的思維活動真正構(gòu)建起自己對該題的理解，學(xué)生的小結(jié)不再是就題論題式的，而是站在了一定高度從“解題觀”上進(jìn)行了自我總結(jié)，用自己的語言去理解、概括和提煉了解題中所得到的知識，這就是一種自然思維活動的升華．