摘　　要：本文先用實(shí)例說(shuō)明什么是常規(guī)思維和創(chuàng)造性思維以及它們之間的關(guān)系；其次，論述了用創(chuàng)造性思維解測(cè)量井深與繩長(zhǎng)的“古代問(wèn)題”，并引出互逆思維的創(chuàng)造性思維方法；最后，用“雞兔同籠”問(wèn)題的創(chuàng)造性思維來(lái)說(shuō)明創(chuàng)造想象在創(chuàng)造性思維中的特殊、重要的作用.

關(guān)鍵詞：常規(guī)思維；創(chuàng)造性思維；互逆思維；聯(lián)想；想象

波利亞說(shuō)：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練.”　本文提出的是要加強(qiáng)解應(yīng)用題的思維訓(xùn)練.

■常規(guī)解與創(chuàng)造性思維解的比較

例1　甲、乙兩地相距36千米，某人騎自行車(chē)去時(shí)是一段上坡路與另一段坡度相同的下坡路，去時(shí)用2小時(shí)40分鐘，回來(lái)時(shí)只用了2小時(shí)20分鐘，并知走下坡路比走上坡路每小時(shí)快6千米，問(wèn)上坡路每小時(shí)多少千米？

筆者把小黑板的例1往上一放，全班學(xué)生正拿草稿紙作，小芳與小華在黑板兩邊也開(kāi)始板書(shū).

小華用的是常規(guī)思維的解法：設(shè)上坡路每小時(shí)x千米，　下坡路y千米，　則依題意有下列分式方程組

■+■=2■，（1）■+■=2■，（2）

教師：你這個(gè)分式方程組是怎么來(lái)的？你的方程組如何以語(yǔ)言信息的形式來(lái)表達(dá)呢？

小華：第一個(gè)分式方程是去時(shí)一段上坡路某人騎自行車(chē)去時(shí)所花的時(shí)間加上他下坡路所走的時(shí)間和是2小時(shí)40分鐘；第二個(gè)分式方程是他下坡路所花時(shí)間加上他上坡路所走的時(shí)間和是2小時(shí)20分鐘.

小芳用創(chuàng)造性思維的解法：設(shè)上坡路速度為每小時(shí)x千米，　并把一去一回視為一個(gè)整體.　一去一回上坡與下坡路程都是36千米，依題意得分式方程■+■=5，（3）

教師：你這個(gè)分式方程是怎么來(lái)的？用語(yǔ)言敘述方程組是如何轉(zhuǎn)化而來(lái)的？

小芳：把一去一回視為一個(gè)整體.　去時(shí)的上坡路與回來(lái)時(shí)的上坡路之和是36千米，所用時(shí)間是■；回來(lái)時(shí)的下坡路與去時(shí)的下坡路之和也是36千米，　所用時(shí)間是路程除以速度得下坡路所用時(shí)間是■，一去一回的總時(shí)間是2小時(shí)40分鐘，加2小時(shí)20分鐘，剛好是5小時(shí).

教師（問(wèn)全班學(xué)生）：如何解分式方程組呢？小華與小芳分別列出的分式方方程組、分式方程有什么聯(lián)系呢？

小慧：（1）+（2）？圯（3），換句話說(shuō)，　只要解出（3）來(lái)，分式方程組不就解出來(lái)了嗎？

這幾句“言簡(jiǎn)意賅”的話迎得一陣熱烈的撐聲.

教師（總結(jié)）：什么是創(chuàng)造性思維呢？是新穎的、獨(dú)特的、有價(jià)值的（智力價(jià)值、理論價(jià)值、經(jīng)濟(jì)價(jià)值）的思維.　對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，一般不是對(duì)某種新東西的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)造的成就，　而只是對(duì)已知東西的再發(fā)現(xiàn)，如上面的小芳的解題方法是創(chuàng)造性思維.

創(chuàng)造性思維是思維活動(dòng)的一種，它對(duì)問(wèn)題的思考不是直接從頭腦中已有的思維形式和思維方法去找答案，而是從問(wèn)題的本身去進(jìn)行分析，進(jìn)行一系列探索性思維活動(dòng)，將已有的思維形式和思維方法大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問(wèn)題的新辦法.　小慧“一針見(jiàn)血”地指出了常規(guī)思維的解法與創(chuàng)造性思維解法的內(nèi)在與外在的聯(lián)系.

如何解（3）的分式方程呢？只要把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，但要注意增根與減根即可.

例2　　2000年入夏以后，湖北地區(qū)旱情嚴(yán)重，為緩解甲、乙兩地旱情，某水庫(kù)計(jì)劃向甲、乙兩地送水，甲地需水量為180萬(wàn)立方米，乙地需水量為120萬(wàn)立方米，現(xiàn)已兩次送水，往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84萬(wàn)立方米；往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81萬(wàn)立方米；問(wèn)完成向甲、乙兩地送水任務(wù)還各需多少天？

為了讓學(xué)生自主探索、自主思維、自主尋找思路、自主總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，擺脫“教師講，學(xué)生聽(tīng)”的傳統(tǒng)講解模式，筆者讓學(xué)生通過(guò)自己的思維來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

設(shè)完成往甲地送水任務(wù)還需x天，　完成往乙地送水任務(wù)還需y天.　用代數(shù)式表示每天往甲地運(yùn)水，已運(yùn)送5天如何表示？■.　用代數(shù)式表示每天往乙地運(yùn)水，已運(yùn)送5天如何表示？■.　這時(shí)有兩種列方程組的方案：

以小芳為首的學(xué)生列出方程組

■×3+■×2=84，（1）■×2+■×3=81，（2）

以小慧為首的學(xué)生用換元法列出方程組3t+2z=84，2t+3z=81??？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，2t+3z=81？圯z=15，t=18.

當(dāng)小芳還在列完分式方程組，　正考慮如何解時(shí)，　小慧已經(jīng)完成第一次解方程組，　而正要代入求另一方程組的解：■=18，■=15？圯18x+18×5=180，15y+15×5=120？圯x=5，y=3.

小華又在小慧的解答基礎(chǔ)上改進(jìn)成了如下更先進(jìn)、簡(jiǎn)潔、漂亮的好方法：

3t+2z=84，（3）2t+3z=81，（4）？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，（5）2t+3z=81，（6）？圯（6）-（5），t+2z=48，（7）t+z=33，（8）？圯z=15，t=18.

筆者善于通過(guò)“對(duì)比”來(lái)評(píng)價(jià)兩種解應(yīng)用題方法的優(yōu)劣：小慧的創(chuàng)新之處在于她觀察到（3）與（4）的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和的特殊性——它們都能被5整除，從而巧妙地得出（5）式，小華在小慧的解答基礎(chǔ)上改進(jìn)了什么呢？（當(dāng)全班學(xué)生看到（7）、（8）式時(shí)，不由得引起一陣熱烈的撐聲）小芳是常規(guī)思維的解法，小慧與小華是屬于創(chuàng)造性思維的解法.

筆者又說(shuō)：“眾里尋他千百度，　驀然回首，那人卻在燈火闌珊處.”?。ㄓ钟瓉?lái)一陣熱烈的掌聲）

最后筆者用波利亞的話來(lái)引導(dǎo)出換元法：“原來(lái)的問(wèn)題是我們要達(dá)到的目的，而輔助問(wèn)題只是我們?cè)噲D達(dá)到的目的的手段.　一只飛蟲(chóng)企圖穿過(guò)窗戶(hù)玻璃逃出去，它在同一扇窗戶(hù)上試了又試，而不去試試附近打開(kāi)的窗戶(hù)，而那扇窗戶(hù)就是它進(jìn)來(lái)的那扇.　人能夠或者至少能夠行動(dòng)得更聰明些.　人的高明之處就在于當(dāng)他碰到一個(gè)不能直接克服的障礙時(shí)，他會(huì)繞過(guò)去；當(dāng)原來(lái)的問(wèn)題看起來(lái)似乎不好解時(shí)，就想出一個(gè)合適的輔助問(wèn)題.　構(gòu)造一個(gè)輔助問(wèn)題是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng).　舉出一個(gè)有助于另一問(wèn)題的清晰的新問(wèn)題，能夠清楚地把達(dá)到另一目標(biāo)的手段設(shè)想成一個(gè)新目標(biāo)，這都是運(yùn)用智慧的卓越成就.”

這段話是用變量替換作手段來(lái)解方程（方程組）的.　當(dāng)然變量替換還可以分解因式，如將x2y2－5x2y－3xy2+15xy－14x2+5y2+57x－25y－70分解因式.　初看起來(lái)“雜亂無(wú)章”，“理不出頭緒”和無(wú)法下手；若用創(chuàng)造性思維，并先用“分解與重新組合”的方法，再視為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，則看起來(lái)井然有序，條理清楚，主次分明.

（x2－3x+5）y2－5（x2－3x+5）y－14（x2－3x+5）=（x2－3x+5）（y2－5y－14）=（x2－3x+5）·（y+2）（y－7）.

要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的解法，必須分三歩走：扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)是創(chuàng)造性思維的解法的基礎(chǔ)，分式方程式解法的基礎(chǔ)知識(shí)是轉(zhuǎn)化成整式方程，區(qū)分増根，要學(xué)會(huì)驗(yàn)根；其次是了解整式方程的代入消元法與加減消元法，以及將二者結(jié)合起來(lái)的“既加再除”的新穎方法.　第二，敏銳的觀察力是訓(xùn)練創(chuàng)造性思維的前提，如例1的（1）+（2）→（3）就需要敏銳的觀察力.　第三，豐富的想象力是創(chuàng)造性思維的設(shè)計(jì)師，在例1中，把一去一回視為一個(gè)整體就是發(fā)揮豐富的想象力，并將去的上坡路與回的上坡路視為36里，又將回的下坡路與去的下坡路也視為36里，都是發(fā)揮豐富的想象力.　愛(ài)因斯坦說(shuō)：“提出新問(wèn)題，新的可能性，從新的角度看舊的問(wèn)題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步”.　第四，發(fā)散思維是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的源泉.

■古代問(wèn)題的創(chuàng)造性思維的解法

數(shù)學(xué)教師從講故亊開(kāi)始，引出互逆思維.　逆向思維是創(chuàng)造性思維的一種，舉個(gè)有趣的生活中有發(fā)現(xiàn)意義的實(shí)例：你們吃獼猴桃是如何剝皮呢？

吃獼猴桃要?jiǎng)兤な潜娝苤氖?，如何剝皮呢？從外往里剝皮既臟又不衛(wèi)生，若想到逆向思維，　從里面往外去剝皮——即用金屬勺子在“一刀切斷”的獼猴桃中從里邊往外一勺一勺地挖獼猴桃肉，這種采用逆向思維的方法，既衛(wèi)生又高質(zhì)量完成任務(wù).　這個(gè)方法對(duì)解“古代問(wèn)題”是有啟發(fā)的.

例3　“用繩子測(cè)量井深，把繩子三折來(lái)量，井外余4尺，把繩子四折來(lái)量，井外余1尺，求井深與繩長(zhǎng)各幾何？”

能用互為逆向思維的創(chuàng)造性方法來(lái)解答嗎？

在筆者的啟發(fā)下，小慧和小華分別得出了創(chuàng)造性思維解法1與創(chuàng)造性思維解法2.

解法1：（進(jìn)的方法）把繩子三折來(lái)量，井外余4尺，4×3=12，這時(shí)可想象把井外的12尺再量井深，那么根據(jù)第二個(gè)條件，　把繩子四折來(lái)量，井外余1尺，12-4=8，可知井深為8尺.繩長(zhǎng)為36尺.

解法2：（退的方法）把繩子四折來(lái)量，井外余1尺，這時(shí)，若想象出用井內(nèi)的一折到井外來(lái)量，根據(jù)把繩子三折來(lái)量，井外余4尺，（4-1）·3-1=8，可知井深還為8尺.　繩長(zhǎng)為36尺.

可見(jiàn)，互為逆向思維的方法是創(chuàng)造性思維的一種.

創(chuàng)造性思維解法1與創(chuàng)造性思維解法2的共同點(diǎn)是創(chuàng)設(shè)情境，使兩種用繩子測(cè)量井深的方法既產(chǎn)生聯(lián)系，又產(chǎn)生思維碰撞，既要引出新舊亊物之間的聯(lián)系，又要引出新舊亊物之間的矛盾，新舊亊物之間的聯(lián)系是啟發(fā)學(xué)生思維的基礎(chǔ)；新舊亊物之間的矛盾是啟發(fā)學(xué)生思維的核心.

■雞兔同籠問(wèn)題的創(chuàng)造性思維解法

例4　　今有雞兔若干，它們共有50個(gè)頭和140只腳，問(wèn)雞兔各有若干只？

解法1：發(fā)揮豐富的想象，假設(shè)出現(xiàn)下面奇特的現(xiàn)象，所有的雞都抬起一只腳，所有的兔子都抬起兩只腳，只用兩只后腳站立，這時(shí)雞的頭數(shù)與腳數(shù)相等，而兔的腳數(shù)是頭數(shù)的2倍，腳的總數(shù)是原來(lái)腳的總數(shù)的一半，故腳的總數(shù)70減去50所得的差20，即為兔的數(shù)目，進(jìn)而易得雞為30只.

解法2：發(fā)揮豐富的想象，假設(shè)出現(xiàn)下面奇特的現(xiàn)象，所有的雞都沒(méi)有抬起一只腳，所有的兔子都抬起兩只腳，只用兩只后腳站立，這時(shí)，頭數(shù)還是50個(gè)，雞與兔子的總腿數(shù)是總頭數(shù)的2倍，即為100，原來(lái)的總腿數(shù)140減去現(xiàn)在的總腿數(shù)100剛好是兔數(shù)的2倍，40÷2=20剛好是兔數(shù)，雞數(shù)為50-20=30只.

這兩種創(chuàng)造性思維的解法都是發(fā)揮豐富的想象.　可以說(shuō)，“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線.”

綜上所述，從行程問(wèn)題、分配問(wèn)題、古代問(wèn)題和雞兔同籠問(wèn)題，我們都用到了創(chuàng)造性思維解法，多么靈活，多么發(fā)散，多么發(fā)人深??！但要使初中生具有創(chuàng)造性思維，教師必須有長(zhǎng)遠(yuǎn)的規(guī)劃：“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線.”　在常規(guī)思維中注意探索，它是基礎(chǔ)，在教授創(chuàng)造性思維之前，教學(xué)生觀察、聯(lián)想是非常必要的，觀察是入門(mén)的向?qū)?，分析是進(jìn)入創(chuàng)造性思維之門(mén)的鑰匙；在教授創(chuàng)造性思維之中，要教會(huì)學(xué)生發(fā)揮想象力，要教會(huì)學(xué)生從新的角度去看舊的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生看新的可能性；最后，要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，它是創(chuàng)造性思維源泉.