摘　　要：在課堂教學(xué)中，常常會出現(xiàn)學(xué)生解題由于思維受阻，一時難以下手的情況，這時需要教師用簡練、恰當(dāng)?shù)恼Z言啟迪學(xué)生的思維，促使學(xué)生產(chǎn)生“頓悟”，也即“點撥”.　巧妙、恰當(dāng)?shù)狞c撥，是課堂教學(xué)中重要的一環(huán)，教師要努力做到“點”在思維的臨界點，“撥”在問題的關(guān)鍵處，使教學(xué)具有藝術(shù)性.

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué)；思維；知識；點撥；反思

《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教師應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者、合作者，為學(xué)生的發(fā)展提供良好的環(huán)境和條件，其主旨強調(diào)了教師的作用和地位，即在學(xué)生迫切需要的時候給予指引、幫助、暗示、提醒等一系列巧妙、恰當(dāng)?shù)狞c撥，精妙的點撥是課堂教學(xué)中重要的一環(huán)，教師要努力做到“點”在思維的臨界點，“撥”在問題的關(guān)鍵處.　例如，高一數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》部分三角恒等變換的教與學(xué)具有變化形式多、公式變形靈活等特點，是考查邏輯思維能力、反映思維品質(zhì)的良好載體，這些決定了學(xué)好這一部分不僅需要足量的練習(xí)以加強知識技能培養(yǎng)，而且注重教師的引導(dǎo)、點撥，幫助學(xué)生揭示解題的思維和認(rèn)知過程，讓學(xué)生自己以模仿、探究、掌握、體驗等方式不斷富有創(chuàng)新地完成學(xué)習(xí).　以下是筆者的一個相關(guān)教學(xué)實例和反思.

■突破思維的臨界點，產(chǎn)生“茅塞頓開”之感

在一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，從學(xué)生思維走向的情況來看，學(xué)生感知教材或具體題目后，開始進(jìn)入思維狀態(tài)，此時學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)思維由活躍到受阻、停滯的過程，我們不妨把這種膠著狀態(tài)稱之為學(xué)生思維的臨界點，此時教師應(yīng)當(dāng)把準(zhǔn)臨界點，及時點撥，讓學(xué)生突破思維的臨界狀態(tài)，完成思維質(zhì)的突破，帶學(xué)生進(jìn)入“柳暗花明又一村”的佳境.

例題1　　已知cosα+cosβ=■，sinα-sinβ=■，求cos（α+β）.

教師讓學(xué)生思考，并觀察學(xué)生的反應(yīng)，有的學(xué)生一籌莫展.

教師可點撥：請學(xué)生回顧公式Cα+β和cos2α+sin2α=1與本題的聯(lián)系.

學(xué)生A：將已知條件中兩式平方后構(gòu)造出cosαcosβ與sinαsinβ，求和并用cos2α+sin2α=1后，逆用公式Cα+β得2cos（α+β）=-■，即cos（α+β）=-■.

筆者對學(xué)生A的回答表示贊許，并請他板演過程（略），同時巡視其他學(xué)生的完成情況.

反思：課堂上擺出這個問題后，筆者給予了學(xué)生充分的時間思考，在巡視學(xué)生的完成過程中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生感到疑惑，“僵局”在此出現(xiàn)，也就是在學(xué)生思維的迷茫之際（即思維的臨界點）進(jìn)行了點撥.　此次點撥，點在了學(xué)生思維的斷裂之處，有利于學(xué)生思維的開通、開竅與延伸，完成思維上的質(zhì)的突破.“教師之教，不在于全盤講授，而在于相機誘導(dǎo)”（葉圣陶），所謂“相機誘導(dǎo)”，也就是適時點撥，使學(xué)生的思維在臨界點發(fā)生質(zhì)的飛躍，取得良好的教學(xué)效果.

■建構(gòu)知識的生長點，產(chǎn)生“思路接通”的效應(yīng)

我們常常埋怨學(xué)生經(jīng)啟發(fā)后仍然無動于衷，其實是由于在我們的教學(xué)過程中，學(xué)生的思維尚未進(jìn)入“憤”、“悱”狀態(tài)，教師啟發(fā)的“機”與“時”把握得不準(zhǔn)而造成的.　如果點撥的時機過早，學(xué)生缺乏一定的思維主動，不能建構(gòu)新舊知識的生長和聯(lián)系，達(dá)不到思路的接通效應(yīng)，思維過程則是由教師直接強加的，我們稱之為“被思維”或者“偽思維”.如果學(xué)生經(jīng)過自己的思考，完成了思維的全過程，得到了正確的結(jié)論，那么，教師就不必講授，這就節(jié)約了時間，提高了教學(xué)效率.

例題1中應(yīng)用了cos2α+sin2α=1和公式Cα+β，依此例請學(xué)生們練習(xí)一題，增加對上述一類公式的理性認(rèn)識：已知8sinα+5cosβ=6，sin（α+β）=■，求8cosα+5sinβ.?。ň毩?xí)1）

經(jīng)過幾分鐘思考，有些學(xué)生舉手想發(fā)表其見解.

學(xué)生C：我由例題受到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)8sinα+5cosβ=6?。?）的左邊與所求當(dāng)中sinαcosα和cosβsinβ的系數(shù)相同，故設(shè)8cosα+5sinβ=k?。?），（1）2+（3）2此過程中利用公式cos2α+sin2α=1，Sα+β和sin（α+β）=■　（2）式，進(jìn)而求出k.?。?0或-10）.

大多數(shù)學(xué)生表示贊同，于是教師讓學(xué)生C板演，同時給出例題2.

例題2　　已知cos（α+β）=■，cos（α-β）=-■，且■π<α+β<2π，■<α－β<π，求sin2α和sin2β.

筆者給出時間讓學(xué)生思考和互相討論后，發(fā)現(xiàn)已有不少學(xué)生似乎有了什么發(fā)現(xiàn)，想表達(dá).

學(xué)生D：聯(lián)系到已知式，將sin2α和sin2β分別用倍角公式展開……

學(xué)生E：按D的思路做題勢必?zé)┈?

學(xué)生B：我發(fā)現(xiàn)已知角α+β和α-β與所求sin2α，sin2β中的2α，2β有關(guān)系：2α=（α+β）+（α-β）；2β=（α+β）-（α-β），再用公式Sα+β，Sα-β解決.

教師：思路正確，請你（學(xué)生E）板演過程.

學(xué)生E：因為cos（α+β）=■，■π<α+β<2π，所以sin（α+β）=-■=?。?　同理，sin（α-β）=■，所以sin2α=sin［（α+β）+（α-β）］=■，sin2β=［（α+β）-（α-β）］=0.

反思：上述過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，如果教師總是一點一滴地“點撥”學(xué)生．　“看到這個條件，能想到什么結(jié)論？要證明這個結(jié)論，需要什么條件？”這種“引君入甕”般點撥的教學(xué)并沒有讓學(xué)生整體地面對問題、整體地思考問題、獨立地探究問題，因而不能在新舊知識上建構(gòu)知識生長點，學(xué)生缺失建立思路的可能性，更談不上接通思路了；顯然，這樣的教學(xué)是不利于學(xué)生發(fā)展的.　在學(xué)生思維的臨界點處點撥或給予鼓勵的語言，也能幫助學(xué)生掌握新的知識，形成新的經(jīng)驗，提升他們學(xué)習(xí)的主觀能動性.

■激活思維的興奮點，產(chǎn)生“得寸進(jìn)尺”的欲望

教學(xué)過程是師生相互交流的過程，學(xué)生苦思冥想，解決不了問題時，我們的點撥就會像及時雨那樣澆灌學(xué)生的心靈，激活學(xué)生思維的興奮點，讓學(xué)生產(chǎn)生“得寸進(jìn)尺”的欲望.　當(dāng)然，如果我們一味地調(diào)動學(xué)生的胃口，不能及時點撥，也會給學(xué)生造成心理的障礙，使學(xué)生害怕解決數(shù)學(xué)問題，導(dǎo)致失去興趣.

練習(xí)2：已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求cos2α+cos2β的值.

思考一段時間后，有幾位學(xué)生發(fā)表自己的見解.

學(xué)生F：由以上三題的啟示，此題將sinα+sinβ=1？搖（1），cosα+cosβ=0？搖（2）平方后求和得2+2cos（α-β）=1，即cos（α-β）=　-■；將（1）（2）式平方后求差得cos2α+cos2β+2cos（α+β）=-1?。?），cos2α+cos2β=cos［（α+β）+（α-β）］+cos［（α+β）-（α-β）］=…=2cos（α+β）cos（α-β），可見求出cos（α+β）和cos（α-β）即可，但cos（α+β）無法由（3）直接求出，此時我想到未知cos（α+β）是因為（3）中有cos2α+　cos2β，而它不正是我們所要求的嗎？于是設(shè)cos2α+cos2β=k，則（3）式即k+2cos（α+β）=-1，再由k=2cos（α+β）·cos（α-β）推出k=1.

教師啟發(fā)點撥：除了學(xué)生F的思路，有無更好的處理方式？

學(xué)生E：將（1）（2）式平方再求差得（3）式：cos2α+cosβ+2cos（α+β），即用公式Cα+β，從而求cosα，sinβ，cosβ，sinβ就可以了，于是再看（1），（2）式由（1）可得sinα=1-sinβ.　由（2）可得cosα=-cosβ，于是根據(jù)sin2α+cos2α=1，有1=1-2sinβ+si81d552d784ff9149f530009fd0543b5f5033ead5f08c0bb5cf01ab4423714527n2β+cos2β=2-2sinβ，推出sinβ=■，sinα=■，cosα=±■，cosβ=±■；注意到（2）式中cosα，cosβ互為相反數(shù)，所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-■－■=?。?，所以cos2α+cos2β=1.

教師繼續(xù)點撥：我們?nèi)艨傃刂?xí)慣的道路前行，只能走向平庸，有沒有捷徑？

學(xué)生G：前兩種思路太繁，剛學(xué)過倍角公式，有cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β，可先求出sinα，sinβ（學(xué)生E已求出），則有cos2α+cos2β=1-2sin2α+1-2sin2β=2-2■2+■2=1.

其他學(xué)生有的驚呼“上當(dāng)”，有的則贊許學(xué)生G，感到獲益良多.

教師：用倍角公式解決此題，簡潔、明了，克服了前幾題產(chǎn)生的思維定式.

反思：首先讓學(xué)生獨立思考問題，當(dāng)學(xué)生達(dá)到“憤”與“悱”的狀態(tài)時，我們可以進(jìn)行點撥.　兩種思路對比后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來如此，此時學(xué)生心情非常愉悅，思維也達(dá)到了興奮的狀態(tài).　這時筆者繼續(xù)點撥，情境發(fā)生了變化，然而解決問題時如果能利用化歸思想、轉(zhuǎn)化的方法，往往可以更好、更快捷地解決類似的問題，學(xué)生此處的收獲就會很大，效率更高，超越了一個題目自身的解決價值，讓學(xué)生有“得寸進(jìn)尺”的解題欲望，而非懼怕數(shù)學(xué)的心理.

■總　結(jié)

中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會學(xué)生思考”，“教師對學(xué)生的幫助要不多不少”，應(yīng)當(dāng)“不顯眼地幫助學(xué)生”，“應(yīng)該順其自然”（《怎樣解題》——數(shù)學(xué)家波利亞）.　學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)思維受阻，難以下手的情況，就需要教師用簡練、精當(dāng)?shù)恼Z言點撥啟迪學(xué)生，促使學(xué)生“頓悟”.　首先，教師要有良好的教學(xué)機智，敏銳地捕捉到學(xué)生思維的信息并進(jìn)行迅速、深入地加工、提煉，面對學(xué)生思維活動中的停滯、定式、中斷等問題，能迅速判斷，及時點撥，以促使學(xué)生思維品質(zhì)得到不斷提升.　其次，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不但要突出思維過程和認(rèn)知環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，同時要關(guān)注每一位學(xué)生的情感和學(xué)習(xí)態(tài)度，尊重他們的學(xué)習(xí)成果，并作出及時評價、鼓勵，而不應(yīng)把解決當(dāng)前的問題當(dāng)成教學(xué)的唯一目標(biāo)，急于“推銷”自己的想法，把學(xué)生的思維納入自己預(yù)先設(shè)計的軌道，其結(jié)果容易讓學(xué)生以套路和程式生搬，產(chǎn)生思維定式的負(fù)效應(yīng).　點撥是讓學(xué)生走出解題迷宮的有效方法，點撥是否恰當(dāng)?shù)轿?，是反映一個教師的教學(xué)智慧是否已走向成熟，教學(xué)是否具有藝術(shù)性的重要標(biāo)準(zhǔn)之一.　隨著新課程改革的深入，課堂教學(xué)中以生為本，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，并在學(xué)生最為需要時給予思路的指引、方法的點撥，是提高課堂教學(xué)有效性的重要環(huán)節(jié)和藝術(shù)！