數(shù)學(xué)概念本身有著嚴(yán)密的體系，且總是隨著客觀事物的發(fā)展變化和研究的深入而不斷發(fā)展演變。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，也需要隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)程度的提高，由淺入深，逐步深化。因此，教師必須處理好概念自身的連續(xù)性和學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性之間的矛盾，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，關(guān)注學(xué)生對同系概念含義的更新與重構(gòu)，使概念趨于完善。然而在現(xiàn)實中，教師往往比較注重概念的階段性學(xué)習(xí)，而忽視了在后續(xù)教學(xué)中的關(guān)聯(lián)、更新與重構(gòu)，造成概念順應(yīng)上的“脫節(jié)”，使學(xué)習(xí)效果大打折扣。下面筆者以“乘除法意義的發(fā)展”為例，通過列舉學(xué)生在解決小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法問題時出現(xiàn)的常見錯誤，分析學(xué)生在學(xué)習(xí)乘除法意義時的思維過程，進而提出改進策略。

一、問卷引發(fā)的思考

筆者曾對五、六年級學(xué)生作過一項問卷調(diào)查，了解學(xué)生對乘除法意義的掌握及相應(yīng)的解決問題能力的情況。為了便于比較，問卷以題組形式呈現(xiàn)。

題組1：

一種餅干的售價為每千克15元，3千克這樣的餅干售價是多少？

一種餅干的售價為每千克15元，0.3千克這樣的餅干售價是多少？

題組2：

2升橘汁的售價為8元，每升橘汁的售價是多少？

升橘汁的售價為4元，每升橘汁的售價是多少？

題組3：

某種農(nóng)藥2千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑6公頃麥地需要多少千克農(nóng)藥？

某種農(nóng)藥千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑公頃麥地需要多少千克農(nóng)藥？

應(yīng)該說，這種以相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的問題是很有暗示性的，且題目也是一些基礎(chǔ)題，然而問卷結(jié)果卻表現(xiàn)出了明顯的差異：40位被測學(xué)生中，每項題組中的第一題綜合正確率高達98.3%，而第二題的綜合正確率僅為67.5%。這說明，學(xué)生對第一學(xué)段學(xué)習(xí)的乘除法問題掌握得較好，進入第二學(xué)段卻暴露出了問題。具體看學(xué)生的錯誤類型，都是不知道該選擇乘法還是除法來解決相應(yīng)的問題，或是選擇了除法，但不知哪個數(shù)是被除數(shù)（如題組2第二題，很多學(xué)生用4×或÷4來解決）。筆者以為，此類問題的存在固然可以從數(shù)量關(guān)系教學(xué)這一角度去分析，但這不應(yīng)被等同于學(xué)生的實際思維過程，只有立足于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，探求已有經(jīng)驗對學(xué)生產(chǎn)生的影響及數(shù)域擴展后給學(xué)生帶來的乘除法學(xué)習(xí)障礙，才能真正厘清學(xué)生的思維走向，進而對癥下藥。

二、分析與詮釋

毫無疑問，在乘除法教學(xué)中，意義的教學(xué)是首要的。縱觀整個小學(xué)階段，乘除法意義實際上呈現(xiàn)了不斷發(fā)展的特點，這同時又可看成一個更為漫長的發(fā)展過程中的一個環(huán)節(jié)（如負(fù)數(shù)、無理數(shù)等概念引進后的擴展）。從宏觀的角度看，二年級的乘除法意義學(xué)習(xí)階段性十分明顯，教師無疑會限于并強調(diào)“同數(shù)連加”的意義，這時學(xué)生所形成的內(nèi)在表征就會有較大的局限性。特別是由于學(xué)生在開始學(xué)習(xí)乘除法時所接觸到的都是比較簡單的情況，也即主要局限于正整數(shù)的乘除，從而就很容易形成以下觀念：“乘法總是使數(shù)變大，除法則總是使數(shù)變?。怀顺ㄖ懈鞑糠侄际钦麛?shù)?！钡搅说诙W(xué)段，數(shù)概念得到了進一步擴展，此時教師更多關(guān)注的是計算本身，對乘除法運算意義一般都只是寥寥數(shù)語帶過，或簡單地以“與整數(shù)乘除法意義相同”走過場，而恰恰忽視了乘除法運算意義在新數(shù)域的推廣過程及所獲得的新的含義。以乘法為例，增加了“已知整體求部分”，如“6的是多少”，相應(yīng)的除法則是“求整體”，如“已知一個數(shù)的是4，求這個數(shù)”。

顯然，從這樣的角度去分析，前面所提及的錯誤的發(fā)生也就不足為奇了，因為這在很大程度上反映了這樣的現(xiàn)實：題組1中，學(xué)生依據(jù)直覺意識到第二個問題的答案應(yīng)小于15，進而，按照他們已建立的觀念，乘法總是使數(shù)變大，而只有除法才能使數(shù)變小，因此，選擇了除法；題組2中出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，而學(xué)生頭腦中的乘除法各部分應(yīng)是整數(shù)，所以一下子就變得茫然，即便正確選擇了除法，也不知該將哪個數(shù)放在前面；題組3第二題則是與學(xué)生之前建立的“同數(shù)連加”的乘法意義相沖突，因為這時分?jǐn)?shù)的乘法顯然已不能看成“重復(fù)的加法”，而是“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，因此就容易出錯。

事實上，盡管通過分析找到了學(xué)生思維出錯的根源，但也應(yīng)看到這種錯的“合理性”，站在學(xué)生的角度，他們不過是將僅僅適用于正整數(shù)乘除的某些“規(guī)律”錯誤地推廣到了正有理數(shù)中運用，這當(dāng)然應(yīng)當(dāng)被看成是學(xué)生思維發(fā)展的一個必然過程。關(guān)鍵是，作為教師應(yīng)清楚地認(rèn)識到學(xué)生在乘除法意義學(xué)習(xí)中的局限性和遇到的困難，采取適當(dāng)?shù)拇胧┮龑?dǎo)學(xué)生較為自覺地去實現(xiàn)對乘除法意義的必要的推廣與更新。

三、小學(xué)階段推廣乘除法意義的策略

（一）豐富原型，加深對意義的多角度理解

對于乘除法意義本身而言，其內(nèi)容是很枯燥的，但它植根于現(xiàn)實的沃土，意蘊豐富。在第二學(xué)段的教學(xué)中，教師仍應(yīng)牢牢把握情境這條主線，實現(xiàn)乘除法意義的內(nèi)涵發(fā)展。

在小學(xué)階段，乘除法意義大致有以下幾種。

1.等量組的聚集。即通常所說的“連加”。在這一情境下，兩個因數(shù)的地位并不相同，也就是過去所說的“每份數(shù)”“份數(shù)”，因此，也就有了兩種不同的除法逆運算，即通常所說的“平均分”“包含除”。

2.倍數(shù)問題。

3.配對問題。

4.長方形的面積。

這幾種原型在第一學(xué)段均已出現(xiàn)，但在學(xué)生頭腦中的印象是淺顯、零散的，僅限于正整數(shù)，且并未形成對乘法意義的階段性完整認(rèn)識。隨著學(xué)生數(shù)概念的發(fā)展，相應(yīng)的乘法意義應(yīng)與其相互促進。在教學(xué)中，教師仍應(yīng)努力豐富學(xué)生頭腦中的乘除法意義原型，提高其對意義的表征能力。

如在五年級上冊“小數(shù)乘法”單元中，筆者設(shè)計了這樣一道題：請用你喜歡的情境表達“1.3×5”的意義。

經(jīng)過充分的思考、討論、交流，學(xué)生中產(chǎn)生了很多想法：有的編制了購物、長度、質(zhì)量、面積等數(shù)學(xué)問題，有的畫實物圖或線段圖，有的用文字或加法算式直接說明。作品很多，但均從不同角度反映了不同個體對乘法意義在小數(shù)領(lǐng)域中的認(rèn)識表征。此時，筆者不失時機地引導(dǎo)學(xué)生對作品進行歸類，尋找異同，理解作品背后所表示的意義。學(xué)生在整理后發(fā)現(xiàn)：1.3×5既可以表示5個1.3相加（等量組的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍數(shù)問題），還可以用在面積計算中等。也正是在這樣的交流共享中，學(xué)生原先停留在正整數(shù)領(lǐng)域中的乘法意義有了進一步的發(fā)展，在豐富的原型中體會到乘法意義在小數(shù)領(lǐng)域的推廣與延伸。

（二）制造沖突，促進學(xué)生對概念的主動更新

建構(gòu)主義者認(rèn)為，對于學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中發(fā)生的錯誤不應(yīng)單純依靠正面的示范或反復(fù)練習(xí)去糾正，而應(yīng)以引發(fā)主體內(nèi)在的“觀念沖突”為必要前提，使其經(jīng)歷“自我否定”的過程。高年級學(xué)生正處于形象思維向抽象思維發(fā)展的過渡階段，已經(jīng)具備一定的思考能力，如果教師只是簡單地將乘除法意義“教”給學(xué)生，缺少學(xué)習(xí)主體的自我內(nèi)化過程，那么概念的發(fā)展就如浮光掠影。因此，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)能引發(fā)學(xué)生概念沖突的情境，引燃學(xué)生思維的火花，引導(dǎo)學(xué)生主動對先前的乘除法意義的認(rèn)識作出必要的調(diào)整，將新的含義引入到已有的知識體系中。

以分?jǐn)?shù)乘法的教學(xué)為例，一位教師在教學(xué)中展示這樣一組情境：

（1）我的繩子長米，小明的繩長是我的3倍，小明的繩子有多長？

（2）我的繩子長3米，小明的繩長是我的，小明的繩子有多長？

引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、討論得出算式，反饋時，教師適時追問：都是×3，表示的意義相同嗎？這就引發(fā)了學(xué)生的思維沖突：如果說第一題可用“3個”解釋，那么后一題顯然不能，這題的意義又該怎樣表述？這樣，在對同一算式不同含義的挖掘中，學(xué)生很直接地感受到只用以前的“同數(shù)連加”的乘法意義已不足以解釋分?jǐn)?shù)乘法中出現(xiàn)的新問題，產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，有了擴展新含義的需要。

在此基礎(chǔ)上，教師及時引導(dǎo)學(xué)生對第二題的算式意義進行研究，注意其發(fā)展變化，并指出在引入分?jǐn)?shù)以后，“倍”的概念發(fā)展了，既包含了原來的“整數(shù)倍”“小數(shù)倍”，也包括了這節(jié)課所學(xué)的“一個數(shù)的幾分之幾是多少”。這樣，學(xué)生經(jīng)歷了“沖突—建構(gòu)—順應(yīng)”的學(xué)習(xí)過程，新概念的融入便不再是教師強加，而是主動的更新與順應(yīng)。

（三）提取本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換關(guān)注視角

前文的分析中曾提及，學(xué)生在數(shù)域擴展后，容易將在整數(shù)乘除法意義學(xué)習(xí)中的一些“規(guī)律”錯誤地推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法學(xué)習(xí)中，繁雜的數(shù)據(jù)構(gòu)成了學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法中的一大障礙。面對新題目，學(xué)生往往更多地關(guān)注情境中所包含的數(shù)量，而不注意其中的文字內(nèi)容，以及內(nèi)容背后的運算意義。對此，教師不妨立足學(xué)生的思維方式，化繁為簡，抓住本質(zhì)，以此修正認(rèn)識誤區(qū)。

基于這樣的思考，筆者在實踐中進行了嘗試。以分?jǐn)?shù)的除法意義教學(xué)為例，教材在編排中已經(jīng)考慮到了學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，采用由整數(shù)乘除法改編數(shù)據(jù)后過渡到分?jǐn)?shù)乘除法的方式，幫助學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同”，即“分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運算”。從表面上看，學(xué)生通過已有知識已經(jīng)促成了對新知的理解，而事實上，學(xué)生此時的理解僅僅是在特定題組中，脫離了題組這根“拐杖”，學(xué)生又會受到數(shù)據(jù)的干擾。因此，筆者緊接著出示了一組題，要求學(xué)生只列式不計算。

（1）把平均分成2份，每份是多少？

（2）里面有幾個？

（3）10是的幾倍？

（4）一個數(shù)的是8，這個數(shù)是多少？

（5）兩個因數(shù)的積是，其中一個因數(shù)是，另一個因數(shù)是幾？

可以發(fā)現(xiàn)，這組題雖然脫離了具體的情境，但都直指除法意義本身。在學(xué)生列式后，筆者追問：你是憑什么選擇用除法計算的？是否用除法計算，與題目中的數(shù)據(jù)有關(guān)嗎？這時，學(xué)生就會走出情境，思考題目背后的意義，思考自己選擇的初衷?！胺?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法相同”，但具體表現(xiàn)在哪些地方呢？“平均分”“包含除”“倍數(shù)問題逆運算”“已知部分求整體”等，這些都是除法意義在具體問題中的結(jié)構(gòu)本原。學(xué)生知道了這一點，也就能避開數(shù)據(jù)產(chǎn)生的干擾，而更關(guān)注于問題本身的含義，將視角從“關(guān)注數(shù)據(jù)”轉(zhuǎn)換到“關(guān)注意義”中來，進而，在面對復(fù)雜的情境、復(fù)雜的數(shù)據(jù)時，能以運算意義為依托，將問題簡化。

綜上所述，小學(xué)階段乘除法意義的教學(xué)應(yīng)著力在階段性與發(fā)展性之間尋求平衡。換言之，對于任何數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師都要立足于學(xué)生的思維狀態(tài)，關(guān)注其對概念的不斷更新、發(fā)展、重構(gòu)，及時排除概念發(fā)展中的障礙，從而達成概念教學(xué)效果的最大化。