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三角函數(shù)的值域及其周期性有它的獨(dú)特之處，針對(duì)這一特點(diǎn)每年都設(shè)置有不同的高考試題，常見的考查形式是直接考查，在2012年的高考試題中則以數(shù)列為背景考查了這兩個(gè)性質(zhì)，難度比較大.

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一般地，解答三角函數(shù)與數(shù)列交匯的試題的思路是根據(jù)三角函數(shù)的周期性確定數(shù)列的特點(diǎn)，進(jìn)而利用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)求解.

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■ 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=ncos■+1，前n項(xiàng)和為Sn，則S2012=_____.

破解思路 本題的設(shè)問(wèn)啟發(fā)考生，這個(gè)數(shù)列必定是一個(gè)特殊的數(shù)列，于是要集中精力發(fā)現(xiàn)這個(gè)特殊性，為此必須列出一定數(shù)量的項(xiàng)，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn). 根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算得到：a1=1，a2=2×（-1）+1，a3=1，a4=4×1+1=5…. 根據(jù)三角函數(shù)的周期性可知該數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)都等于1，偶數(shù)項(xiàng)a2n=2n×（-1）n+1. 進(jìn)一步求和發(fā)現(xiàn)a1+a2+a3+a4=6，a5+a6+a7+a8=6，…. 根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，可以判斷這個(gè)特性可以推廣，得到a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6. 進(jìn)而求出S2012.

經(jīng)典答案 由已知，a4n+1=（4n+1）×cos■+1=（4n+1）×cos■+1=0+1，a4n+2=（4n+2）×cos■+1=（4n+2）×cosπ+1=-（4n+2）+1，a4n+3=（4n+3）×cos■+1=（4n+3）×cos■+1=0+1，a4n+4=（4n+4）×cos■+1=（4n+4）×cos2π+1=（4n+4）+1，所以a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6，即S2012=■×6=3018.

■ 設(shè)an=■sin■，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 25 B. 50 C. 75 D. 100

破解思路 根據(jù)正弦函數(shù)值的特點(diǎn)，可知當(dāng)00. 當(dāng)25■，所以■·sin■>■·sin■，即an-k+an+k>0，這樣的數(shù)成對(duì)出現(xiàn)，所以當(dāng)250，當(dāng)500. 即S1，S2，…，S100全都是正數(shù).

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圖1

經(jīng)典答案 對(duì)于1≤k≤25，ak≥0（唯a25=0），所以Sk>0（1≤k≤25）都為正數(shù). 當(dāng)26≤k≤49時(shí)，令■=α，則■=kα，其終邊兩兩關(guān)于x軸對(duì)稱，即有sinkα=-sin（50-k）α，所以Sk=■sinα+■sin2α+…+■sin23α+■sin24α+0+■sin26α+■sin27α+…+■sinkα=■sinα+■sin2α+…+■-■sin24α+■-■sin23α+…+■-■·sin（50-k）α，其中k=26，27，…，49，此時(shí)0<50-k0，又0<（50-k）α≤24α<π，所以sin（50-k）α>0，從而當(dāng)k=26，27，…，49時(shí)，Sk都是正數(shù)，S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 對(duì)于k從51到100的情況同上，可知Sk都是正數(shù). 綜上，答案選D.

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已知數(shù)列{an}（n∈N？鄢）滿足：a1=1，an+1-sin2θ·an=cos2θ·cos2nθ，其中θ∈0，■.

（1）當(dāng)θ=■時(shí)，求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的條件下，若數(shù)列{bn}中，bn=sin■+cos■（n∈N？鄢，n≥2），且b1=1，求證：對(duì)于？坌n∈N？鄢，1≤bn≤■恒成立.